Kann man magnetische Monopole ohne Dirac-Saiten einführen?

Um magnetische Monopole in Maxwell-Gleichungen einzuführen, verwendet Dirac spezielle Strings, die Singularitäten im Raum sind, wodurch Potentiale Eichpotentiale sein können. Eine Folge davon ist die Quantisierung der Ladung.

Okay, es sieht toll aus. Aber ist dies der einzige Weg, magnetische Monopole einzuführen?

Antworten (4)

Wenn Sie eine Quelle für radiale Magnetfelder haben B ∼ Q M / r 2 , dann kann man beweisen, dass das Vektorpotential EIN → kann nicht einwertig sein. Es ist, weil B → = c u r l EIN → für eine gut definierte EIN → automatisch erfüllt d ich v   B → = 0 . Jedoch, Q M / r 2 hat eine Kräuselung proportional zur Delta-Funktion am Ursprung.

Trotzdem verschwindet diese Delta-Funktion überall außer bei einem Dirac-String (und das Leerzeichen minus dem Dirac-halbunendlichen String wird einfach verbunden), also mit dem Dirac-String, EIN → kann überall definiert werden. EIN → ändert sich noch unter der Schleife um die Dirac-Saite. Auf diese Weise wird der magnetische Monopol durch einen sehr langen magnetischen Dipol ersetzt. Zwei Pole werden mit einem dünnen Solenoid verbunden und einer der Monopole wird ins Unendliche geschickt und wird irrelevant. Die Dirac-Saite, dh ein sehr dünner Solenoid, wird auch für Interferenzexperimente unbeobachtbar (solange der eingeschlossene magnetische Fluss richtig quantisiert ist).

Die obigen Argumente sind wasserdicht und Sie können sie nicht umgehen. Wenn Sie also fragen, ob es eine Möglichkeit gibt, einen magnetischen Monopol einzuführen, so dass das Vektorpotential einwertig wäre, ist die Antwort ein klares Nein, ähnlich wie wenn Sie fragen, ob es möglich ist, die Zahl 4 so einzuführen es ist nicht gleich 2+2.

Man kann jedoch versuchen, nach Lösungen für ähnliche, weniger singuläre Probleme zu suchen. In Theorien mit Higgses kann man die Delta-Funktion etwas "verdünnen" und findet nicht-singuläre Lösungen von Yang-Mills-Theorien mit Higgs-Feldern, den sogenannten

http://en.wikipedia.org/wiki/%27t_Hooft%E2%80%93Polyakov_monopole

't Hooft-Polyakov-Monopol, der nicht singulär, aber nicht vom Dirac-Monopol zu unterscheiden ist, wenn Sie sehr weit vom Zentrum der Lösung entfernt sind, relativ zu seiner charakteristischen Längenskala. Auch diese Lösung hat verschiedene Verallgemeinerungen.

Das Einführen magnetischer Ladung in Maxwell-Gleichungen ist überhaupt kein Problem und erfordert keine Zeichenfolgen usw. Außerdem macht es Maxwell-Gleichungen symmetrisch in Bezug auf magnetische und elektrische Felder / Ladungen. Die Gleichungen lauten wie folgt:

c u r l ⁡ E + ∂ H ∂ t = − J m c u r l ⁡ H − ∂ E ∂ t = J e d ich v ⁡ E = J e 0 d ich v ⁡ H = J m 0

Die Einführung einer magnetischen Ladung führt jedoch zu einer Divergenz von Magnetfeldern ungleich Null, wodurch es unmöglich wird, das Magnetfeld als eine Kräuselung eines Vektorpotentials darzustellen. Wie Sie in Ihrer Frage angegeben haben, hat Dirac eine Singularität eingeführt, um die Beschreibung des Phänomens durch die Eichpotentiale zu bewahren.

Die Verwendung von Eichpotentialen wird durch eine hervorragende Übereinstimmung von QED-Vorhersagen und experimentellen Daten in allen Aspekten gerechtfertigt, die nicht mit der Identifizierung von Massen- und Ladungswerten von Teilchen aus der Theorie zusammenhängen. Die einfache Berechnung führt zu Unendlichkeiten, und das Renormierungsverfahren hilft nicht bei der Identifizierung von Massen- und Ladungswerten.

Elementarteilchen, die experimentell beobachtet wurden, haben bekanntermaßen eine magnetische Ladung von Null, aber ein magnetisches Moment ungleich Null. Daher kann es "innerhalb" der Partikel eine von Null verschiedene Verteilung der magnetischen Ladungsdichte geben, wenn Sie zugeben, dass Partikel nicht punktförmig sind. Dieser Ansatz kann unter Verwendung der Gordon-Zerlegung des aus Dirac-Spinoren konstruierten Vektorstroms entwickelt werden. Siehe zum Beispiel hier .

Und wir erwarten, dass das Magnetfeld die Kräuselung eines Vektorpotentials ist (sogar in Anwesenheit von magnetischen Monopolen, die noch nie jemand gesehen hat): weil sie Spaß machen oder aus einem fundamentalen Grund?
Nach dem Satz von Helmholtz ist jedes 3D-Vektorfeld (z. B. Magnetfeld B sowie elektrisches Feld E ) kann als Summe aus Gradient des Skalarfelds und Kräuselung eines Vektorfelds dargestellt werden. Daher wenn d ich v B nicht null ist, muss ein zusätzliches Skalarfeld eingeführt werden, das der Kräuselung des (reellwertigen) Vektorpotentials hinzugefügt wird: B = c u r l EIN + g r a d Φ , wo Φ ist nicht dasselbe wie Skalarpotential ϕ Wird verwendet, um das elektrische Feld zu definieren (in einem statischen Fall E = − g r a d ϕ ).
Das macht die Theorie etwas komplizierter. Sie müssen entweder komplexwertige 4-Potentiale verwenden (siehe z. B. Mignani und Recami, Il Nuovo Cimento, Bd. 30 (1975), S. 533) oder ein Paar reellwertiger 4-Potentiale (siehe arxiv.org/ pdf/math-ph/0203043).
Ich glaube nicht, dass es einen grundlegenden Grund gibt, das Einführen magnetischer Ladungen usw. zu vermeiden. Dies liegt nur daran, dass QED für eine bestimmte Klasse physikalischer Probleme sehr gut funktioniert (wenn Partikel als punktförmig betrachtet werden und aufgrund einer (gesamten) magnetischen Ladung von Null). bekannter Partikel). Ich bin sicher, dass eine magnetische Ladungsdichte ungleich Null in die Theorie eingeführt werden muss, die die intrinsische Struktur von Partikeln beschreibt und die Werte ihrer Massen / Ladungen erklärt.
Sagen Sie mir, wenn ich falsch liege: Elektrische Monopole und magnetische Monopole sind nicht wirklich symmetrisch, wie wir es uns gewünscht hätten, erstere brauchen nur einen Punkt als Singularität, letztere brauchen eine Dirac-Saite; also können wir E und B wegen der Dirac-Saite nicht durch eine lineare Kombination von sich selbst permutieren, oder?
Ein elektrischer Monopol muss kein Punkt sein. Der magnetische Monopol im Dirac-Modell muss nur eine Zeichenfolge sein, um die reellwertige 4-Potenzial-Beschreibung zu erhalten. Elektrische und magnetische Ladungen/Felder sind nur Real- und Imaginärteile von allgemeineren komplexwertigen Feldern. Lassen Sie uns definieren F = E − ich B , J μ = J e μ − ich J m μ . Dann können Maxwell-Gleichungen in der Form geschrieben werden: d ich v F = J 0 , c u r l F + ich ( ∂ F ∂ t + J ) = 0 .

Es gibt auch den geometrischen Ansatz für magnetische Monopole vom Dirac-Typ mit einem singulären Kern, der von Wu und Yang entwickelt wurde und der die Dirac-Saite vermeidet, indem er eine nicht triviale Topologie, Faserbündel und lokal definierte Eichpotentiale einführt. Es führt zu den gleichen physikalischen Vorhersagen, zB Ladungsquantisierung , wie das Verfahren von Dirac.

(Das Obige sollte nicht mit magnetischen Monopolen vom Typ 't Hooft-Polyakov mit einem regulären Kern in Verbindung gebracht werden, vgl. die Antwort von Lubos Motl und diesen Phys.SE-Beitrag.)

Verweise:

  1. TT Wu und CN Yang, Konzept nicht integrierbarer Phasenfaktoren und globale Formulierung von Eichfeldern, Phys. Rev. D 12 (1975) 3845.

  2. TT Wu und CN Yang, Dirac Monopol ohne Saiten: Klassische Lagrange-Theorie, Phys. Rev. D 14 (1976) 437.

  3. M. Nakahara, Geometrie, Topologie und Physik, 1990.

Im Folgenden wird erklärt, wie eine stringfreie Monopoltheorie konstruiert werden kann.

Monopole wurden in Experimenten nicht gefunden. Die zu definierende Hauptfragestellung sind daher die Prinzipien, die als Eckpfeiler für die erforderliche Monopoltheorie verwendet werden.

Der erste Schritt besteht darin, eine theoretische Definition von Monopolen zu formulieren. Dies geschieht durch die wohlbekannte Dualitätstransformation. Wendet man diese Transformation auf das Maxwellsche System aus elektrischen Ladungen und elektromagnetischen Feldern an, erhält man ein Maxellianisches System aus Monopolen und elektromagnetischen Feldern (ohne Ladungen). Der nächste Schritt besteht darin, eine einheitliche Ladungsmonopoltheorie zu konstruieren.

Betrachten wir zwei Postulate, die sich auf die erforderliche Ladungsmonopoltheorie beziehen:

(A) Für ladungslose Systeme muss die vereinheitlichte Theorie eine Form annehmen, die vollständig dual zur Theorie der Ladungen und Felder ist, und für Systeme ohne Monopole muss sie die Form der Maxwellschen Elektrodynamik annehmen.

(B) Elektromagnetische Felder eines Monopolsystems und eines Ladungssystems haben identische dynamische Eigenschaften.

Man könnte versucht sein, beide Postulate (A) und (B) als grundlegende Elemente der Theorie zu verwenden. Es stellt sich jedoch heraus, dass dieser Weg nicht erreichbar ist, da sich aus Postulat (A) (ohne (B)) und aus Postulat (B) (ohne (A)) unterschiedliche Sätze von Bewegungsgleichungen ergeben.

Es kann bewiesen werden, dass Postulat (A) eine String-freie Ladungsmonopoltheorie ergibt, die mit dem Variationsprinzip konsistent ist, und Postulat (B) Dirac-Strings liefert.

Informationen zu wissenschaftlichen Artikeln, die diese Fragen behandeln, finden Sie auf der Seite, auf die der folgende Link verweist.

http://www.tau.ac.il/~elicomay/mono.html

E. Comay

Kann man magnetische Monopole ohne Dirac-Saiten einführen?
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