Notation für Abschnitte von Vektorbündeln

Bearbeiten : Ich habe festgestellt, dass das, was ich geschrieben habe, nicht wirklich korrekt war, also lassen Sie mich den Text ein wenig ändern. Ich werde die Ergänzungen kursiv markieren , damit der alte Text als Referenz erhalten bleibt.

Ich habe eine (teilweise) Antwort darauf in der Aktualisierung meiner Antwort auf Ihre vorherige Frage gegeben , also lassen Sie mich diese Antwort kopieren und einfügen (mit einigen Änderungen):

Die Antwort auf die erste Frage ist nein , aber aus einem anderen Grund als ich im obigen Link und im Text unten angegeben habe! . Es gibt keine solche Notation und um zu sehen, warum, müssen wir zuerst verstehen, woher die "koordinatenfreie" Vektorinvarianz kommt. Der$v$In Ihrer Frage ist ein Abschnitt eines Tangentenbündels$TM$und wir zerlegen es in Bezug auf einen Abschnitt des kanonischen Tangentenrahmenbündels$FM$, die auch eine natürliche Aktion der Gruppe trägt$GL_k({\mathbb{R}})$(Die Aktion ist ein lokaler Basiswechsel und$k$ist der Rang von$TM$). Mit anderen Worten, wir haben eine$GL_k({\mathbb{R}})$-Struktur hier.

Die Situation ist oberflächlich ähnlich mit$\psi$: Es ist ein Abschnitt eines Vektorbündels$\pi: V \to M$der ein trägt$U(1)$-Struktur. An dieser Stelle sollte auch klar sein, wo der Unterschied zwischen den beiden Fällen liegt: Bei ersterem hat man zwei Bundles$TM$Und$FM$während es in letzterem nur gibt$\pi: V \to M$. Es macht also keinen Sinn danach zu fragen$\psi$unveränderlicher zu sein, als es bereits ist: Sie haben nichts, in Bezug auf das Sie es zerlegen könnten. Also anstatt darüber nachzudenken$\psi$als Analogon des Abschnitts von$TM$, betrachten Sie es stattdessen als ein Analogon eines Abschnitts von$FM$.

Ich habe einen Fehler in der obigen Argumentation gemacht, weil im Fall von eindimensional$U(1)$die Konzepte von$V$Und$F(V)$(zugehöriges Rahmenbündel) zusammenfallen. So hat man auch im zweiten Fall zwei Bundles. Aber der Unterschied kommt von der Tatsache, dass$TM$ist ein ganz besonderes Vektorbündel: seine Struktur kommt von der Mannigfaltigkeit$M$selbst, während$V$ist eine äußere Struktur. Eine Zerlegung bzgl. Koordinatenableitungen bekommt man also sicher nicht hin$M$wie es der Fall ist$TM$.

Zur zweiten Frage: In Eichtheorien legt man normalerweise Eichungen vorher fest (man denke an Lorenz- oder Coulomb-Eichung) und arbeitet ewig darin. Sie erhalten hier nicht wirklich etwas Interessantes, wenn Sie auf eine "lehrenfreie" Weise arbeiten (oder zumindest weiß ich nichts davon). Diese Dinge sind also wirklich kein Problem, zumindest bis zu dem Punkt, an dem Sie auf QFT stoßen und sich fragen, wie Sie all diese enorme Messgerätefreiheit berücksichtigen können. Und da ist es tatsächlich ein großes Problem, das angegangen werden muss, und es kann auf verschiedene Weise angegangen werden (einschließlich der Befestigung von Messgeräten). Aber nichts davon ist an dieser Stelle für Sie relevant, denke ich.

Entschuldigung, ich habe gerade Ihren Kommentar zu einer früheren Frage bemerkt, in der Sie angegeben haben, dass Sie eine separate Frage stellen würden. Hier ist eine Antwort. (Entschuldigung für eventuelle Überschneidungen mit marek's.)

So wie man, um über Vektoren in einem n-dimensionalen Vektorraum als n-Tupel von Zahlen zu sprechen, zuerst die Basis wählen muss, um konkret über Abschnitte von Vektorbündeln zu sprechen, muss man einen "Rahmen" wählen.$\{e_a\}$(was nur eine ausgefallene Art ist, eine Familie von Basisvektoren / -abschnitten zu sagen). Dann ist die Notation genau wie zuvor ein Abschnitt$s$sieht aus wie$s^a e_a$(summiert$a$).

In Ihrem Beispiel einer Wellenfunktion für ein geladenes Teilchen ist das Vektorbündel eindimensional (komplex), also der einzelne Basisvektor$e$wird normalerweise aus der Notation gestrichen. Aber es sollte moralisch da sein, wie Sie bemerken.

Eine Messgerättransformation von$\chi$läuft darauf hinaus, Ihren Basisvektor zu ändern$e$indem Sie es mit multiplizieren$\exp(-i\chi)$, also der (invariante) Vektor$\Psi = \psi e$hat Koordinate$\psi \exp(i\chi)$in der neuen Basis. Das Messfeld$A_\mu$ist eine 1x1-Matrix und muss durch Addition verändert werden$\exp(i\chi)\partial_\mu \exp(-i\chi) = -i\partial_\mu \chi$. Dieser Weg$D_\mu \Psi = \partial_\mu \psi + iqA_\mu \psi$macht immer Sinn, wo$q$ist die Ladung (oder Darstellung, die sagt, wie$A$wirkt auf$\psi$- dh durch Multiplikation mit$q$vor).

Hoffe das hat geholfen.