Was ist die physikalische Bedeutung der Aussage, dass "Photonen keine Positionen haben"?

Wir könnten ewig damit verbringen, mit all den verwirrenden/verwirrten Aussagen zu spielen, die zu diesem Thema in Physikforen und anderswo auftauchen. Stattdessen biete ich eine allgemeine Perspektive an, die zumindest für mich erfrischend klärend war.

Ich beginne mit der Überprüfung eines allgemeinen No-Go-Ergebnisses, das für alle relativistischen QFTs gilt, nicht nur für Photonen. Dann werde ich erklären, wie die analoge Frage für Elektronen beantwortet werden würde, und schließlich werde ich die Antwort auf Photonen erweitern. Der Grund dafür, dies in dieser Reihenfolge zu tun, wird wahrscheinlich im Nachhinein klar sein.

Ein generelles No-Go-Ergebnis

Zunächst ist hier ein Überblick über das grundlegende No-Go-Ergebnis für relativistische QFT in flacher Raumzeit:

• In der QFT werden Observablen Regionen der Raumzeit zugeordnet (oder einfach dem Raum im Schrödinger-Bild). Diese Assoziation ist Teil der Definition jeder gegebenen QFT.

• In der relativistischen QFT impliziert das Reeh-Schlieder-Theorem , dass eine Observable, die in einem begrenzten Bereich der Raumzeit lokalisiert ist, den Vakuumzustand nicht vernichten kann. Intuitiv liegt dies daran, dass der Vakuumzustand in Bezug auf den Ort verschränkt ist.

• Partikel werden relativ zum Vakuumzustand definiert. Per Definition hat der Vakuumzustand null Teilchen, daher impliziert das Reeh-Schlieder-Theorem, dass eine Observable, die die Anzahl der Teilchen in einem bestimmten begrenzten Bereich der Raumzeit darstellt, nicht existieren kann: Wenn eine Observable in einem begrenzten Bereich der Raumzeit lokalisiert ist, dann kann sie es Im Vakuumzustand werden nicht immer null Teilchen registriert.

Das ist das No-Go-Ergebnis, und es ist sehr allgemein. Es ist nicht auf masselose Teilchen oder Helizitätsteilchen beschränkt$\geq 1$. Dies gilt beispielsweise auch für Elektronen. Das No-Go-Ergebnis besagt, dass wir nicht beide Anforderungen erfüllen können: In der relativistischen QFT können wir keinen Detektor haben, der beides ist

• vollkommen zuverlässig,

• in einem streng begrenzten Bereich lokalisiert.

Aber hier ist die wichtige Frage: Wie nahe können wir an die Erfüllung dieser beiden Anforderungen herankommen?

Aufwärmen: Elektronen

Betrachten Sie zunächst die QFT von nicht wechselwirkenden Elektronen mit Lagrange$L\sim \overline\psi(i\gamma\partial+m)\psi$. Die Frage betrifft Photonen, und darauf komme ich noch, aber fangen wir mit Elektronen an, denn dann können wir die Elektronenmasse verwenden$m$um eine Längenskala zu definieren$\hbar/mc$mit denen andere Größen verglichen werden können.

Um Observable zu konstruieren, die Elektronen zählen, können wir die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren verwenden. Das kennen wir von QFT$101$wie man Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren aus den Dirac-Feldoperatoren konstruiert$\psi(x)$, und wir wissen, dass diese Beziehung aufgrund der Funktion nicht lokal (und nicht lokalisierbar) ist$\omega(\vec p) = (\vec p^2+m^2)^{1/2}$im Integranden, wie von Reeh-Schlieder versprochen.

Für Elektronen mit ausreichend niedrigem Impuls könnte diese Funktion jedoch genauso gut sein$\omega\approx m$. Wenn wir ersetzen$\omega\to m$im Integranden wird die Beziehung zwischen den Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren lokal. Durch diese Ersetzung wird das Modell von relativistisch zu nicht-relativistisch geändert, sodass das Reeh-Schlieder-Theorem nicht mehr gilt. Deshalb können wir elektronenzählende Observable haben, die beide obigen Anforderungen in nichtrelativistischer Näherung erfüllen.

Anders gesagt: Observable, die wechselseitig raumähnlichen Regionen zugeordnet sind, müssen miteinander pendeln (die Anforderung der Mikrokausalität ). Die Längenskala$\hbar/mc$ist die Skala, über die Kommutatoren unserer quasi-lokalen Detektorobservablen mit zunehmendem raumartigen Abstand abfallen. Da die Nicht-Null-Schwänze dieser Kommutatoren exponentiell mit der charakteristischen Länge abfallen$\hbar/mc$, wir werden sie in Experimenten mit niedriger Energie/niedriger Auflösung im Vergleich zu nicht bemerken$\hbar/mc$.

Anstatt die strikte Lokalisierung zu kompromittieren, können wir stattdessen die strikte Zuverlässigkeit kompromittieren: Wir können Observable konstruieren, die in einem streng begrenzten Bereich lokalisiert sind und den Vakuumzustand fast vernichten. Eine solche Observable repräsentiert einen leicht verrauschten Detektor. Das Rauschen ist wiederum für Detektoren mit niedriger Auflösung vernachlässigbar – das heißt für Detektorobservable, deren Lokalisierungsbereich viel größer als der Maßstab ist$\hbar/mc$.

Deshalb funktioniert die nicht-relativistische Wenig-Teilchen-Quantenmechanik – für Elektronen.

Photonen

Betrachten Sie nun die QFT des elektromagnetischen Feldes an sich, die ich QEM nennen werde. Alle Observablen in diesem Modell können in Form von elektrischen und magnetischen Feldoperatoren ausgedrückt werden, und wieder wissen wir von QFT$101$wie man Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren konstruiert, die definieren, was "Photon" in diesem Modell bedeutet: Sie sind die positiven/negativen Frequenzteile der Feldoperatoren. Diese Beziehung ist offensichtlich nicht-lokal. Das sehen wir am expliziten Ausdruck, aber wir können es auch allgemeiner vorwegnehmen: Die Definition von positiver/negativer Frequenz beinhaltet die unendliche Vergangenheit/Zukunft, und dank des Zeitscheibenprinzips impliziert dies den Zugang zu beliebig großen raumartigen Regionen.

In QEM gibt es keine charakteristische Skala analog zu$\hbar/mc$, Weil$m=0$. Die oben für Elektronen verwendeten Ideen funktionieren immer noch, außer dass die Abweichungen von der Lokalisierung und / oder Zuverlässigkeit nicht mit einer charakteristischen Skala exponentiell abfallen . Stattdessen fallen sie wie eine Macht der Ferne ab.

Was diese Frage betrifft, so ist das wirklich der einzige Unterschied zwischen dem Elektron-Fall und dem Photonen-Fall. Das ist ein ausreichender Unterschied, um uns daran zu hindern, ein Modell für Photonen zu konstruieren, das der nicht-relativistischen Quantenmechanik für Elektronen entspricht, aber es ist kein ausreichender Unterschied , um zu verhindern, dass Observable für die Photonendetektion für die meisten praktischen Zwecke sowohl lokalisiert als auch zuverlässig sind. Je größer wir seinen Lokalisierungsbereich zulassen, desto zuverlässiger (weniger verrauscht) kann ein Photonendetektor sein. Unsere Definition von „wie gut ist gut genug“ muss auf etwas anderem basierenaußer QEM selbst, weil QEM keine eigene charakteristische Längenskala hat. Das ist kein Hindernis dafür, relativ gut lokalisierte Photonen-Observables in der Praxis zu haben, denn die reale Welt umfasst mehr als nur QEM.

Positionsoperatoren

Was ist ein Positionsoperator? Nichts, was ich oben gesagt habe, bezieht sich auf so etwas. Stattdessen wurde alles, was ich oben gesagt habe, in Form von Observablen ausgedrückt, die Teilchendetektoren (oder Zähler) darstellen . Ich habe das getan, weil der Ausgangspunkt die relativistische QFT war und die QFT in Form von Observablen ausgedrückt wird, die in begrenzten Regionen lokalisiert sind.

Eigentlich kann man auch nicht-relativistische QM so ausdrücken. Beginnen Sie mit der traditionellen Formulierung in Bezug auf den Positionsoperator$X$. (Ich betrachte der Einfachheit halber nur eine Dimension.) Dieser einzelne Operator$X$ist wirklich nur eine bequeme Möglichkeit, eine Gruppe von Projektionsoperatoren, nämlich die Operatoren, zu verpacken und zu kennzeichnen$P(R)$die eine Wellenfunktion projizieren$\Psi(x)$auf das Teil mit$x\in R$, Abschneiden der Teile mit$x\notin R$. In ausgefallener Sprache wird die kommutative von Neumann-Algebra erzeugt von$X$ist dasselbe wie die kommutative von Neumann-Algebra, die von allen erzeugt wird$P(R)$s, also abgesehen davon, wie Dinge mit "Eigenwerten" bezeichnet werden, stellen sie beide dieselbe Observable dar, soweit es die Bornsche Regel betrifft. Wenn wir uns ansehen, wie nicht-relativistische QM von ihren relativistischen Wurzeln abgeleitet wird, sehen wir, dass die$P(R)$s sind innerhalb der Region lokalisiert$R$nach der QFT-Definition von "lokalisiert" — zumindest soweit die nicht-relativistische Annäherung gültig ist. In diesem Sinne wird die nichtrelativistische Einzelteilchen-QM wie die QFT in Form von Observablen ausgedrückt, die mit begrenzten Raumregionen verbunden sind. Die traditionelle Formulierung von Einzelpartikel-QM verschleiert dies.

Hier ist der Punkt: Wenn wir in einem nicht-relativistischen Modell von einem Ortsoperator für ein Elektron sprechen, sprechen wir implizit von den Projektionsoperatoren$P(R)$, die begrenzten Raumregionen zugeordnet sind. Der Positionsoperator$X$ist eine nette Möglichkeit, all diese Projektionsoperatoren zu verpacken und sie mit einer praktischen räumlichen Koordinate zu kennzeichnen, sodass wir präzise Statistiken wie Mittelwerte und Standardabweichungen verwenden können, aber Sie können es nicht haben$X$ohne auch die Projektionsoperatoren zu haben$P(R)$, weil die Existenz des ersteren die Existenz des letzteren impliziert (durch den Spektralsatz oder durch die von-Neumann-Algebra-Phantasie, die ich oben erwähnt habe).

Also ... kann ein Photon einen Positionsoperator haben? Wenn wir mit Positionsoperator so etwas wie die Projektionsoperatoren meinen$P(R)$, die beide (1) in einem streng begrenzten Bereich lokalisiert und (2) als "Detektoren" von Dingen in diesem Bereich absolut zuverlässig sind, lautet die Antwort nein. Ein Photon kann aus dem gleichen Grund, aus dem ein Photon keine nicht-relativistische Näherung haben kann, keinen Positionsoperator haben: Für ein Photon gibt es keine analoge charakteristische Längenskala$\hbar/mc$mit der die Größe eines Lokalisationsbereichs verglichen werden kann, ohne sich auf etwas anderes als das elektromagnetische Feld selbst zu beziehen. Was wir tun können, ist, die üblichen Photonenerzeugungs-/-vernichtungsoperatoren zu verwenden, um Photonen erkennende/zählende Observable zu konstruieren, die nicht streng in einer begrenzten Region lokalisiert sind, deren "Schwänze" jedoch im Vergleich zu allem anderen, was uns wichtig ist (außerhalb von QEM), vernachlässigbar sind. , wenn der Quasilokalisierungsbereich groß genug ist.

Was ist eine körperliche Folge?

Was ist eine physikalische Folge der Nichtexistenz eines strikten Positionsoperators? Real lokalisierte Detektoren sind zwangsläufig verrauscht. Je lokalisierter sie sind, desto lauter müssen sie sein. Reeh-Schlieder garantiert dies sowohl für Elektronen als auch für Photonen, wobei der Hauptunterschied darin besteht, dass bei Elektronen der Effekt mit zunehmender Größe des Lokalisierungsgebiets exponentiell abnimmt. Für Photonen nimmt sie nur potenziert von der Größe ab.

Die Idee "Photonen haben keinen Positionsoperator" kann mehr Bedeutung haben, je nachdem, wen Sie fragen.

Für mich bedeutet diese Aussage etwas sehr Spezifisches: EM-Strahlung besteht nicht aus Teilchen, die irgendwo im Weltraum beobachtet und beschrieben werden könnten$\psi(r_1,r_2,...r_N)$Funktion im Sinne der Bornschen Interpretation. Stattdessen ist die EM-Strahlung selbst überall und wird durch eine Funktion von 3 räumlichen Koordinaten richtig beschrieben - das zu untersuchende Ding ist das EM-Feld, nicht einige Lichtteilchen. Das Feld kann eine c-Zahl oder eine q-Zahl sein, aber der Punkt ist, dass die zu beschreibende Entität ein Feld ist, nicht irgendein Satz von Teilchen. Diese Sichtweise bedeutet, dass in Wasserstoffmolekülen keine eigentlichen "Strahlungsteilchen" fliegen, im Gegensatz zu Elektronen, von denen in jedem neutralen Wasserstoffmolekül zwei vorhanden sind.

"Lichtteilchen" oder "Photonen" ist ein etwas problematisches Wort, weil es kein klares, allgemein akzeptiertes Konzept dahinter hat. Der Urheber des Wortes meinte etwas ganz anderes als das, wofür wir diesen Begriff nach Ende der 1920er Jahre verwenden. Heute wird es oft als Abkürzung für "Energiebrocken" bezeichnet$hf$zwischen Materie und Frequenzstrahlung übertragen$f$„; es kann in einer bestimmten Region des Raums verteilt sein, aber es ist nicht an einem einzigen Punkt des Raums lokalisiert.

Natürlich kann man zu den einfachen Beispielen gehen und über Dinge wie „1 Photon im Modus (1,1,1,1), 2 Photonen im Modus (2,2,2,2)“ als Zustand von EM sprechen Feld in einer Kiste, aber diese Zustände gehören zum ganzen System, man kann nicht genauer als "in der Kiste" einige reale Dinge an irgendeinem Punkt des Raums innerhalb der Kiste finden.

Wenn ein optisches Experiment mit einem Laserstrahl durchgeführt wird, ist es durchaus sinnvoll, davon zu sprechen, dass sich Photonen im Strahl befinden.

Übliches Laserlicht wird gut durch eine klassische EM-Welle mit definiertem elektrischem Stärkevektor und Wellenvektor beschrieben. Dies bedeutet, dass es keine bestimmte Anzahl von Photonen enthält, es wird (falls erforderlich) besser als kohärenter Zustand beschrieben. Man kann von Photonen in Superposition sprechen, aber dann gibt es dort keine bestimmte Anzahl von Photonen irgendeiner bestimmten Art. Die dortigen Photonen sind eine mathematische Fiktion, die sich von minus unendlich bis plus unendlich ausbreitet.

Wir können auch davon sprechen, dass ein Photon von einem Atom emittiert wird, in diesem Fall ist es offensichtlich in der Nähe des Atoms lokalisiert, wenn die Emission auftritt.

Ja, aber diese Region ist riesig, ihre Größe ist größer als die Wellenlänge der emittierten Strahlung. Die Behauptung ist, dass es keinen Sinn macht, dieser emittierten Strahlung innerhalb dieser Region eine Position zuzuordnen.

Außerdem hat man bei der üblichen Analyse des Doppelspaltexperiments zumindest implizit eine Wellenfunktion für das Photon, die das Abiturergebnis erfolgreich wieder herstellt.

Ja, das liegt daran, dass die Beugung am Spalt grob mit vereinfachten Modellen wie der Beugung des Skalarfelds analysiert werden kann. Dies bedeutet nicht unbedingt, dass die Wellenfunktion von Photonen ein nützliches Konzept bei allgemeinen Problemen der Wechselwirkung von Licht und Materie ist. Versuchen Sie, die spontane Emission als "Wellenfunktion des Photons" zu beschreiben.

Tatsächlich gibt es trotz des No-Go-Ergebnisses einen Positionsvektor für Photonen; aber es ist im gleichen Sinne singulär, wie Kugelkoordinaten singulär sind.

Das Problem kann am besten angegangen werden, indem man sich die Wigner-Klassifikation ansieht - aber eher im Rahmen der symplektischen Geometrie als der Hilbert-Räume.

Die wirkliche Bedeutung und Bedeutung des No-Go-Theorems ist, dass die Wigner-Klasse, zu der Photonen gehören (die ich unten als helikale Unterfamilie der Luxonen oder "Helionen" bezeichne), keine Spin-Orbit-Zerlegung hat, so dass die Übliche Ausdrücke für Spin und Position können für Helionen nicht entwickelt werden. Die symplektische Geometrie für die Helion-Unterklasse teilt viele Merkmale mit der symplektischen Geometrie für magnetische Monopole (letztere wird in LNP 107 diskutiert), außer dass die Rollen der (q,p)-Koordinaten umgekehrt sind.

Wie bei allen symplektischen Geometrien zerfallen die Koordinaten für ein symplektisches Blattpaar in (q,p)-Paare, und die Helionen haben 3 Darboux-Paare, die (mit ein wenig Manipulation und Anpassung) in der üblichen Form (𝐫,𝐏) angeordnet werden können. für Ort und Impuls. Aber im Gegensatz zum Newton-Wigner-Positionsvektor ist 𝐫 singulär, wenn es als Funktion von (𝐉,𝐊,𝐏,E) = (Winkelimpuls, Bewegungsmoment, Impuls, Energie) ausgedrückt wird. Es weist eine Koordinatensingularität der oben genannten Art auf.

Die Wigner-Klassen für die Poincaré-Gruppe bestehen aus:

(0) Homogeneous classes (unnamed by Wigner) (𝐏 ≡ 𝟎, E ≡ 0),

(1) Tardions (P² < αE²), where I will use α = 1/c² here and in the following,

(2) Luxons (P² = αE²), with 𝐏 ≢ 𝟎,

(3) Tachyons (P² > αE²).

wobei sich ≡ auf Bedingungen bezieht, die auf dem symplektischen Blatt gelten, das die gegebene Darstellung charakterisiert,

(Das meiste von dem, was ich hier und unten beschreibe, gilt übrigens auch für die nicht-relativistische Theorie, indem man α = 0 annimmt; außer dass die Luxons und Tachyonen zu einer einzigen unbenannten Familie verschmelzen: den Massen-0-Darstellungen für die Bargmann-Gruppe - eine Klasse, die ich "Synchrons" nannte. Ich habe auch den Begriff "Vacuon" für Klasse (0) geprägt.)

Über alle Klassen hinweg gibt es zwei Invarianten:

m² = M² − αP² = constant: mass shell constraint,

W² − αW₀² = constant: "spin/helicity shell" constraint
(the latter name being for lack of a better term),

wobei ich der Einfachheit halber hier und im Folgenden auch M = αE für „bewegte Masse“ verwenden werde; Wo

(W₀,𝐖) = (𝐏·𝐉, M𝐉 + 𝐏×𝐊)

ist der Pauli-Lubanski-Vektor. Für Tardionen reduziert sich die zweite Invariante auf

W² − αW₀² = m² S² (tardions only)

wobei S der Spin ist; und es gibt Zerlegungen für:

Angular Momentum (Spin-Orbit): 𝐉 = 𝐫×𝐏 + 𝐒

Moving Mass Moment: 𝐊 = M𝐫 − 𝐏t + α𝐏×𝐒/(m + M)

wobei t willkürlich ausgewählt und 𝐫 entsprechend angepasst werden kann. Dies kann invertiert werden, um (𝐫,𝐒) in Bezug auf (𝐉,𝐊) auszudrücken, das Ergebnis, das als "Newton-Wigner"-Positionsvektor für Tardionen bekannt ist.

Für alle Familien (1), (2), (3) gibt es eine Unterfamilie, gegeben durch (W₀,𝐖) = (0,𝟎) Pauli-Lubanski-Vektor – genannt „Spin 0“. Auch für diese Klasse gibt es eine ähnliche Zerlegung:

Angular Momentum: 𝐉 = 𝐫×𝐏

Moving Mass Moment: 𝐊 = M𝐫 − 𝐏t

und man kann schreiben

𝐫 = 𝐊/M + 𝐯t, 𝐏 = M𝐯

Die Unbestimmtheit in t – wie sie allgemein bei Tardionen vorkommt – charakterisiert die Trajektorie einer Weltlinie:

{ (𝐫,t) ∈ ℝ³×ℝ: 𝐫 = 𝐊/M + 𝐯t }.

Für diese Unterklasse gilt 𝐖 ≡ 𝟎 und W₀ ≡ 0, was sich als sekundäre Einschränkung ergibt.

Für die quantisierte Form der symplektischen Zerlegung werden 𝐊 und M durch Operatoren dargestellt, die nicht miteinander kommutieren (ihre Klammern sind [𝐊,M] = iħα𝐏), sodass der Quotient nur bis zur "Faktor-Ordnungsmehrdeutigkeit" bestimmt ist - was hier bedeutet: bis auf ein unbestimmtes Vielfaches von 𝐏, dh also der − 𝐏t-Term im Ausdruck für 𝐊 ergibt sich schon automatisch, in der quantisierten Form der Klassifikation.

Für Tardionen mit Spin ungleich Null ist der Ausdruck für 𝐫 𝐫 = 𝐫₀ + 𝐯t, wobei 𝐫₀ ist:

The Newton-Wigner Position Vector: 𝐫₀ = 𝐊/M − α 𝐏×𝐒/(m(m + M)).

Der Ausdruck für 𝐒 ist

Spin Vector: 𝐒 = 𝐖/m − αW₀𝐏/(m(m + M))

Die wichtigsten Merkmale der Klassen und Unterklassen sind:
(a) sie sind jeweils durch die Invarianten gekennzeichnet und dadurch, welche Bedingungen für sie gelten,
(b) für Unterfamilien können auch untergeordnete Invarianten auftreten,
(c) die Anzahl der verbleibenden freien Parameter vorbei nach dem Entfernen der Beschränkungen aus dem Satz (𝐉,𝐊,𝐏,M) (oder (𝐉,𝐊,𝐏,E)) ist gerade, (d) die verbleibenden freien Parameter paaren sich in (q,p) Variablen -
which ist die wesentliche Aussage des Darboux-Theorems,
(e) bei der Quantisierung ergeben diese Paare Heisenberg-Paare - und hier kommen die Heisenberg-Beziehungen her.

Für die Klassen (1)-(3) haben die Spin-0-Systeme 4 Einschränkungen (0 Pauli-Lubanski-Vektor) und somit 6 freie Variablen, die zusammen die 3 Heisenberg-Paare (𝐫,𝐏) ergeben. Der zusätzliche Parameter t kann auf 0 normiert werden ... wie es normalerweise mit dem Newton-Wigner-Vektor gemacht wird ... und ist daher unwesentlich. (In der quantisierten Version der symplektischen Klassifikation normalisiert man 𝐊/M − 𝐏t auf das symmetrische Produkt ½(𝐊M⁻¹ + M⁻¹𝐊).)

Für Klasse (0) ergeben sich Nebeninvarianten K² − αJ² und 𝐉·𝐊, so dass nur maximal 4 Parameter frei bleiben. Die Unterklassen können 2 Darboux-Koordinatenpaare (ein „Vakuum mit Spin und Moment“) oder 0 (das „Vakuum“); im letzteren Fall sind die zusätzlichen Einschränkungen nur K² = αJ² und 𝐊 ≡ 𝟎.

Für Klasse (1) haben die Spin-Nicht-Null-Unterklassen (dh wo S² > 0) 4 Darboux-Paare. Das vierte Paar entspricht der Azimutkomponente des Drehimpulses und der Länge und wird normalerweise durch die "m"-Zahl für Spinzustände quantisiert.

Ich werde Klasse (3) nicht im Detail beschreiben, da es ein Durcheinander ist. Die Spin-Unterfamilien ungleich Null haben alle 4 Darboux-Paare.

Klasse (2), die Luxons, hat 3 Unterklassen,

(a) spin 0: (𝐖, W₀) ≡ (𝟎, 0),

(b) helical: 𝐖 ∥ 𝐏, i.e. 𝐖×𝐏 ≡ 𝟎 (or equivalently, W² ≡ αW₀²), with 𝐖 ≢ 𝟎,

(c) general (or "continuous spin"), W² − αW₀² > 0

Beachten Sie, dass die Identität 𝐖·𝐏 = MW₀ aus der Definition des Pauli-Lubanski-Vektors folgt, also muss aus der Nebenbedingung M² = αP² folgen, dass W² − αW₀² ≥ 0. Gleichheit kann nur auftreten, wenn 𝐖 ∥ 𝐏, weshalb die Einschränkungen 𝐖×𝐏 ≡ 𝟎 und W² ≡ αW₀² sind äquivalent für Luxons.

Die wichtigsten Eigenschaften dieser Unterklassen sind:
(a) die Spin-0-Unterklasse hat nur 3 Darboux-Paare, die als (𝐫,𝐏) dargestellt werden können,
(b₀) Helizität (dh die Komponente von 𝐉 parallel zu 𝐏) ist a Nebeninvariante für die helikale Unterklasse,
(b₁) die helikale Unterklasse hat also auch nur 3 Darboux-Paare (!),
(c) die kontinuierliche Spin-Klasse hat 4 Darboux-Paare, und sie werden durch keine Spin-Bahn-Zerlegung repräsentiert (! !).

Photonen fallen in die helikale Unterfamilie. Dasselbe gilt für alle fundamentalen Teilchen ... in ihren wahren masselosen Zuständen, bevor sie durch Wechselwirkung mit dem Higgs mit dem Erscheinen von Masse ausgestattet werden. Der Grund dafür ist, dass die schwache Kernladung ein Vielfaches der linken Helizität für Materie und der rechten Helizität für Antimaterie ist und aufgrund ihrer Ladung in erster Linie eine unveränderliche Eigenschaft des Teilchens, also der Teilchen, sein muss können nur Helionen oder Spin 0 sein. Deshalb ist für die elektroschwache Theorie ein Higgs-Mechanismus erforderlich.

Es gibt per se keine Spin-Orbit-Zerlegung für die helikale Unterfamilie, einfach weil es nur 3 Darboux-Paare statt 4 gibt. Photonen-Helizität ist nicht Spin! Klassischerweise entspricht dies der Tatsache (wie Hehl häufig betont hat), dass das freie elektromagnetische Feld keinen Spinstrom hat und einen symmetrischen Spannungstensor darstellt. Für das wechselwirkende elektromagnetische Feld (dh das Feld in einem Medium) wäre der Spinstrom proportional zu 𝐃×𝐄 + 𝐁×𝐇, was nur dann ungleich Null ist, wenn die Stoffgesetze für (𝐃,𝐁) versus (𝐄,𝐇) ... oder (𝐄,𝐁) versus (𝐃,𝐇) ... sind nicht isotrop.

Für elektromagnetische Felder in einem Medium (wie Wasser) bewegt sich Licht im Vakuum langsamer als die Lichtgeschwindigkeit, sodass die entsprechenden gekleideten Quanten in die Tardion-Klasse fallen und Spin-Orbit-Zerlegungen aufweisen würden. In der quantisierten Version davon würde man solche "Felder innerhalb von Medien" wahrscheinlich durch effektive Lagrange darstellen, die die externen Modi, die das Medium umfassen, integrieren und die gekleideten Photonen erhalten würden - zusätzlich zu den beiden Werten m = ± 1, die herauskommen der Helizität - ein zusätzlicher Modus für m = 0 und die gekleideten Photonen würden "Masse erwerben". Dies steht in direktem Zusammenhang mit genau dem Phänomen in der Festkörperphysik, das die Idee des Higgs-Mechanismus selbst inspiriert hat.

Die Frage, die Sie stellen, lautet: Was ist mit der helikalen Unterfamilie? Da es 3 Darboux-Paare gibt, lassen sie trotz des sogenannten No-Go-Theorems eine Quantisierung zu, die 3 Heisenberg-Paare hat. Was es wirklich sagt, ist, dass es keine Spin-Bahn-Zerlegung und kein Analogon des Newton-Wigner-Positionsoperators gibt, der auf diese Weise abgeleitet werden kann.

Allerdings gibt es einen Positionsoperator, einfach aufgrund der Tatsache, dass die symplektische Darstellung 3 Darboux-Koordinatenpaare hat! Die Situation ist, wie bei der Zuordnung von Koordinaten für die Kugel, dass die Koordinaten an einem bestimmten Punkt singulär werden.

Die Kugel lässt kein global ungleich null linear unabhängiges Paar von Vektorfeldern auf ihr zu. Eine ähnliche Situation tritt bei der symplektischen Geometrie auf, die die Helionen charakterisiert. Die Ähnlichkeit seiner symplektischen Geometrie mit der des magnetischen Monopols wurde in der Literatur festgestellt. Die Situation ist analog, mit Ausnahme der (q,p)-Umkehrung.

Um einen Positionsoperator aufzuschreiben, können Sie beginnen, indem Sie einfach eine Zerlegung analog zur „Spin-Helizität“-Zerlegung für Tardionen aufschreiben:

𝐉 = 𝐫×𝐏 + η𝐏/M, 𝐊 = M𝐫 − 𝐏t ⇒ W₀ = ηP²/M, 𝐖 = η𝐏

die Helizität ist ηP/M = ηc.

Es funktioniert tatsächlich - außer dass die 𝐫-𝐫 Poisson-Klammer-Beziehungen ein Defizit erhalten, das proportional zu η ist. Es ist möglich, die Definition von 𝐫 anzupassen, um dieses Defizit zu beseitigen, was zu einem echten Heisenberg-Paarsatz für (𝐫,𝐏) führt, aber der Ausdruck für 𝐫 wird in den Komponenten von 𝐉 und 𝐊 singulär sein. Es ist eine Koordinatenunbestimmtheit, wie sie die sphärischen Koordinaten (r,θ,φ) an den Polen haben, wenn sie als Funktionen der kartesischen Koordinaten (x,y,z) ausgedrückt werden.

Möchten Sie sehen, was es ist? (Schnauzend, nach all dieser langen Diskussion, hmm?) Soll ich es dir sagen? (Tease, tease!) Nein, ich denke, ich werde die Antwort hier beenden und sie hängen lassen ...

Nun, bei zweiter Überlegung...

Sie sind irgendwo in meinen Notizen und ich muss nachsehen und überprüfen (und es genau überprüfen).

Hier ist es. Es gibt nicht die eine Lösung. Stattdessen müssen Sie einen Einheitsvektor 𝐧 auswählen. Dann kannst du die Zerlegung aufschreiben:

𝐉 = 𝐫×𝐏 + ηP²/M 𝐧×𝐏×𝐧/|𝐧×𝐏|², 𝐊 = M𝐫 − 𝐏t + η 𝐧·𝐏 𝐧×𝐏/|𝐧×𝐏|².

Dies wird erreicht, indem man das nicht angepasste 𝐫 nimmt und eine Anpassung (𝐉,𝐊) → (𝐉 + δ𝐫 × 𝐏, 𝐊 + M δ𝐫) für ein geeignetes δ𝐫 vornimmt, das das Defizit in den 𝐫-𝐫-Klammern behebt, während (W₀, 𝐖).

Die Darstellung geht singulär in Richtungen 𝐏 ∥ 𝐧, also braucht man einen zweiten 𝐧-Vektor, um diesen Bereich der symplektischen Geometrie abzudecken. Es sind mindestens zwei Koordinatenkarten und Regionen erforderlich, um die symplektische Geometrie abzudecken.

Es ist die gleiche Situation wie bei magnetischen Monopolen, und η spielt eine analoge Rolle wie das elektrisch-magnetische Ladungsprodukt.

Um 𝐫 zu finden, müssen Sie die obigen Beziehungen nach 𝐫 lösen, was ich Ihnen und dem interessierten Leser überlasse.

Wenn Sie die kleine Gruppe für diese Unterklasse untersuchen, indem Sie (𝛚,υ,𝛆,τ) verwenden, um infinitesimal (Rotationen, Boosts, räumliche Übersetzungen, zeitliche Übersetzungen) zu bezeichnen, werden Sie feststellen, dass sie enthalten ist

(1) rotations 𝛚 ∥ 𝐏,
i.e. rotations along the axis collinear with 𝐏 or "helical" rotations,

(2) spatial translations 𝛆 ∥ 𝐏
combined with time translations τ such that ε = cτ,

(3) transverse boosts/rotations, 𝛚,υ ⊥ 𝐏,
combined with a compensating translations 𝛆,
such that 𝛚 = (𝐏/P)×υ/c and 𝛆P² + η𝛚 = 𝟎.

Eigenschaften (1) und (2) heben 𝐫 als eine Schwerpunkt-Weltlinie hervor, während Eigenschaft (3), die nur ein „Null-Boost“ ist (kombiniert mit einer Übersetzung senkrecht sowohl zum Boost als auch zu 𝐏), dies zeigt Es gibt eine kompensierende Verschiebung der Weltlinie unter einem Querschub.

Wie andere Antworten angemerkt haben, besteht die erste Aufgabe darin, zu definieren, was mit Positionsoperator gemeint ist. Es hilft, mit etwas Grundlegenderem als QFT zu beginnen.

Der Begriff des Ortsoperators in der QM leitet sich vom Ortsbegriff der klassischen Physik ab. In der klassischen Physik ist dieser Begriff offensichtlich klar definiert: Sie können erkennen, wo sich ein Apfel befindet, indem Sie ihn einfach ansehen. Diese Position hat eine klar definierte Entwicklung und hängt nicht davon ab, wie Sie sie messen.

In QM wissen wir, dass Positionsoperatoren in einem Zustand keinen bestimmten Wert haben müssen. Im Prinzip könnte man so etwas vorwegnehmen: Je kleiner die Dinge, die man misst, desto schwieriger wird es, die Position zu messen, ohne sie zu stören. Wenn Sie etwas nicht messen können, ohne seinen Wert zu stören, wie können Sie dann sagen, dass es wohldefiniert ist? Diese Erwartung ist jedoch nicht das, was passiert. In der QM ist das Fehlen eines eindeutigen Positionswerts in einigen (den meisten) Zuständen nicht auf die Störung durch die Messung zurückzuführen, sondern eine grundlegende Eigenschaft unserer Quantenwelt. QM ist sehr interessant, weil diese Eigenschaft einsetzt, bevor die Messungen zu invasiv werden. Betrachten wir ein konkretes Beispiel: die Messung der Position eines nicht-relativistischen Elektrons. Wir können dies tun, indem wir ein Photon daran streuen und feststellen, wohin dieses Photon geht.$h\nu$, können wir das Elektron nach innen lokalisieren$\Delta x= c/\nu$. Angenommen, das Elektron erhält keinen relativistischen Kick vom Photon, so dass wir im nicht-relativistischen Bereich bleiben. Dafür braucht man$h\nu\ll mc^2$. Die während der Messzeit$1/\nu$das Elektron wird höchstens reisen$c/\nu$, und so ist unsere Schätzung des Messfehlers$\Delta x$ist gültig. Dieser Fehler ist$\Delta x= c/\nu\gg \frac{h}{mc}$, wobei die rechte Seite im nichtrelativistischen Limes beliebig klein ist$c\to \infty$, und somit$\Delta x$kann auch beliebig klein gemacht werden.

In der nichtrelativistischen QM-Position ist der Operator also quantenmechanischer Natur, aber es gibt kein praktisches Problem, ihn experimentell zu messen. Der wichtige Punkt ist, dass Messungen universell sind: Wir können verschiedene Messungen der Position durchführen, aber alle diese Messungen können mathematisch durch Messung des Positionsoperators beschrieben werden.

In der relativistischen QM, auch bekannt als QFT, haben wir jetzt beide Probleme: Das System ist quantenmechanisch und es gibt praktische Probleme mit der experimentellen Messung der Position. In der obigen Diskussion können wir Photonen von Energien verwenden$h\nu\sim mc^2$Elektron darin zu lokalisieren$\Delta x\sim\frac{h}{mc}$, aber wenn wir höher gehen$h\nu$, werden wir mit der Erzeugung von Elektron-Positron-Paaren beginnen, und es ist nicht mehr klar, was wir messen: Sagen wir, wenn wir ein Elektron-Positron-Paar hervorgebracht haben, welche Position von welchem ​​Elektron messen wir?

Lassen Sie mich hier einen Schritt zurücktreten und das formale Problem der Positionsbestimmung in der klassischen relativistischen Theorie mit ununterscheidbaren Teilchen erörtern. Da Teilchen nicht unterscheidbar sind, können wir nicht nach der räumlichen Position eines einzelnen Teilchens als Funktion der Zeit fragen. Stattdessen ist die einzig vernünftige Frage, die man stellen kann, "wie viele Weltlinien schneiden ein gegebenes raumähnliches Oberflächenelement?" Mit anderen Worten, wir wollen einen Strom mit konservierter Teilchenzahl definieren$J_N^\mu(x)$und messen Sie seinen Fluss durch eine raumähnliche Oberfläche$S$($S$kann eine Grenze haben und klein sein),

$$N_S = \int_S J_N^\mu(x) dS_\mu.$$

Zurück zur QFT, das Problem ist, dass es keinen Teilchenzahlstrom gibt, da die Teilchenzahl nicht durch Wechselwirkungen erhalten bleibt. Man kann etwas definieren, das nach eigenem Geschmack wie ein Teilchenzahlstrom "aussieht", aber es wird nicht die Eigenschaft haben, die durch verschiedene Experimente gemessene universelle Größe zu sein. Stattdessen messen verschiedene Experimente jeweils ihre eigene Observable, wobei diese Observablen hoffentlich in nicht-relativistischen Grenzen äquivalent sind.

Man kann fragen, was in freien Theorien passiert, wo man sich vorstellen kann, Teilchenzahloperatoren zu definieren. Die Antwort ist, dass man in einer freien Theorie nichts messen kann, da es keine Wechselwirkungen gibt. Sie können jede beobachtbare Größe schreiben und als Positionsoperator deklarieren, aber sie wird sich nicht auf irgendein Experiment beziehen. Sobald Sie sich vorstellen, ein Experiment durchzuführen, führen Sie Wechselwirkungen ein, die die Erhaltung der Teilchenzahl brechen. (Ich ignoriere hier 2D-integrierbare QFTs ohne Partikelproduktion, die vielleicht eine eigene Diskussion verdienen.)

Allerdings gibt es in der QFT Stromerhaltungen, zum Beispiel den elektrischen Strom, und es ist möglich, diese zu messen. Insbesondere für einen erhaltenen Strom$J$man kann Observablen der Form betrachten

$$Q_S = \int_S J^\mu(x) dS_\mu.$$ Diese Observablen sind ausreichend universell, da Eichfelder an konservierte Ströme koppeln und Sie Experimente entwerfen können, die über diese Eichfelder mit Ihrem System interagieren. Beispielsweise misst man bei der tiefinelastischen Streuung in guter Näherung Matrixelemente $$\langle H|J^\mu(x)|X\rangle$$ Wo$H$ist ein Hadronenzustand und$X$sind verschiedene Endzustände, und$J$ist der elektrische Strom von QCD. Dies kommt von der Streuung eines Elektrons$H$. Um die führende Ordnung in der Feinstruktur konstant zu halten, sendet das Elektron ein einzelnes virtuelles Photon aus, das wiederum ankoppelt$J$von QCD.

Einführung

Gemeint ist damit eigentlich, dass anders als in der nicht-relativistischen Quantenmechanik in relativistischen Quantenfeldtheorien (RQFTs) – wie sie etwa Photonen beschreiben – die Position eines Teilchens, einschließlich massiver Teilchen wie Elektronen, niemals möglich ist willkürlich hochinformativ sein. Das bedeutet nicht, dass es keinen Sinn macht, von Position zu sprechen, wie dies oft dargestellt wird, aber es hat Konsequenzen für die mathematische Beschreibung.

Und ich denke, ein Teil des Problems besteht darin, dass der bestehende Formalismus, der oft fraglos weitergegeben wird, konzeptionell ziemlich veraltet ist und wir in der Moderne viel bessere Möglichkeiten haben, über diese Dinge zu sprechen. Dieser Beitrag versucht auf Gedeih und Verderb, etwas von diesem altmodischen Kram zu durchbrechen und endet im Grunde als Wirbelsturm „Tour de Force“ der klassischen bis modernen Physik, weil wir uns mit so vielen anderen Konzepten verbinden müssen, um wirklich zu was zu gelangen geht hier vor und stellt es auf eine solide konzeptionelle Basis. Und ich denke, es ist eine Schande, weil ein Großteil der wahren Schönheit dieser Theorien bei der Behandlung, die sie so oft erhalten, nicht gewürdigt wird.

Um dies zu verstehen, müssen wir in einer Reihe von Dingen vorsichtig sein – Unterscheidungsvermögen üben:

1. was macht ein "Teilchen" aus,
2. was ist "Stellung",
3. was bedeutet es, "Informationen über" etwas wie die Position eines Teilchens zu haben,
4. was ist ein "quantenfeld" und
5. wie beschreiben wir "Teilchen" in Bezug auf so etwas, und wie wirkt sich eine Beschreibung in Bezug auf solches auf 1-3 oben aus.

Ohne genau zu sagen, was jede dieser Aussagen bedeutet, können wir diese Aussage weder richtig verstehen noch herausfinden, was an den verschiedenen Sticheleien aus vielen zugegebenermaßen nicht so hochwertigen Quellen falsch ist. Somit,

Was ist ein „Teilchen“?

Zum ersten Punkt sagen wir, dass wir diese Art von Begriffen eigentlich nicht vom Standpunkt der formalen Mathematik aus definieren können und sollten. Es ist genauso, wie wir allein in der theoretischen Mathematik bestimmte "primitive Konzepte" haben, wie in der axiomatischen euklidischen Geometrie, wir haben gerade Linien oder Punkte, oder sonst werden in der Mengenlehre Mengen als solche betrachtet. Sie sind nicht unbedingt "bedeutungslos", obwohl oft und meiner Meinung nach sehr wenig hilfreich behauptet wird, dass sie so behandelt werden sollten, wenn wir wirklich unsere Unterscheidungskraft ausüben müssen, um die "Bedeutung" von der Verwendung im mathematischen Formalismus zu trennen. Es ist vielmehr so, dass die Beschreibung ihrer Bedeutung den Bereich der Mathematik verlässt – allein innerhalb der mathematischen formalen Sprache("Formale Sprache" ist hier ungefähr die Sprache der mathematischen und logischen Symbole), es gibt keine "Bedeutung" in dem Sinne, dass wir keine andere formale Sprachaussage schreiben können, die sagt, was sie ist . Es ist jedoch falsch zu sagen, dass es absolut „keine Bedeutung“ hat, ohne dieses Qualifikationsmerkmal gebührend zu beachten – die Bedeutung gilt uns , nicht den Symbolen. Es wäre, als würde man sagen, dass die Wörter auf diesem Papier keine Bedeutung haben, wenn sie es eindeutig tun, oder die einzelnen Buchstaben.

Ein "Teilchen" hier hat also eine Bedeutung. Es ist eine imaginäre Entität, die wir in unserem Modell verwenden – wir wissen nicht, ob sie „wirklich existieren“, aber sie existieren in dem mentalen Modell der Realität, das wir zu erstellen versuchen. Ein Teilchen ist ein sehr kleines Objekt – so klein, dass wir ihm mathematisch die Größe Null zuordnen würden: Es nimmt eine Fläche ein, die einem Punkt entspricht.

Was ist "Stellung"?

"Position" ist etwas komplizierter zu handhaben - da es scheint, dass hier wieder sehr oft die Verschmelzung vorkommt, dass Phänomene, die wir bezüglich der Position diskutieren werden, irgendwie Einfluss auf die Größe haben, was nicht korrekt ist. Um es zu verstehen, hilft es meiner Meinung nach wirklich, Erfahrung mit Computergrafik und dem Design und der Modifikation von Computerspielen zu haben. In Computerspielen gibt es „Avatare“ oder „Objekte“, die abstrakte geometrische Objekte sind. Sie werden durch eine Geometriedatei spezifiziert, die unabhängig von ihrer Verwendung innerhalb einer Spielwelt ist. Wenn sie in solche hineingelegt werden, werden sie gegebenein Parameter namens Position, der effektiv einen Punkt im Raum der Spielwelt referenziert und eine Kopie des durch die Geometrie in der Geometriedatei beschriebenen Objekts an diesen Punkt nagelt. Der wichtige Punkt hier ist, dass die Position zwar auf einen einzelnen Punkt verweist, die Tatsache, dass es sich um einen solchen handelt, jedoch nicht dasselbe ist, wie wenn das Objekt von punktartiger Natur in der Größe ist: Die Größe des Objekts wird durch die Geometrie im Avatar definiert - Wie breit ist es, wenn Sie ein (virtuelles) Maßband von einem Ende zum anderen nehmen? Stattdessen haben wir einen Referenzpunkt auf dem Avatar und verschieben diesen so, dass er mit dem Positionspunkt zusammenfällt.

Im Falle von "Partikel" und "Position" zusammengenommen ist das Partikel ein "Avatar", der nur aus einem einzigen geometrischen Punkt besteht. Position ist dann ein Parameter, den wir diesem Avatar zuordnen werden, der uns sagt, wo er in unserem Modell der Welt erscheint, das wir in unserem Kopf haben (was in ein tatsächliches Computermodell übersetzt werden könnte, obwohl QM und insbesondere RQFT notorisch widerspenstig sind tatsächlich in der Praxis tun ). Beachten Sie, dass alles, was mit der Position passiert, keinen Einfluss auf die "Größe" des Partikels hat: Das wird durch die Geometrie im Avatar definiert, und das ändert sich nicht, selbst wenn wir den Parameter "Position" vollständig löschen würden.

(Wenn Sie Mathematik wollen, ist ein Avatar eine Reihe von Punkten, die aus einem euklidischen Raum entnommen wurden, wobei ihre metrischen Beziehungen erhalten bleiben, plus ein ausgewiesener Mittelpunkt oder Drehpunkt. Die Verwendung des Avatar-Konzepts hilft meiner Meinung nach auch sehr, wenn Sie sich mit beispielsweise klassische Starrkörper-Dynamik und die Positions- und Orientierungskoordinaten. Das „Positionieren“ des Avatars kann man sich vorstellen, indem man ihn in den Raum fallen lässt und dann geometrische Transformationen anwendet, zB Translationen und Rotationen, um den Drehpunkt auf die gegebenen Koordinaten auszurichten ist wirklich, denke ich, ziemlich veraltet, wie gesagt.)

In der klassischen Mechanik wird der Ort durch ein Tripel reeller Zahlen definiert, zB die kartesischen Koordinaten:$(x, y, z)$. Für erweiterte Avatare haben wir auch die Orientierungskoordinaten , z$(\theta_R, \theta_P, \theta_Y)$(Ja, ich stehe auf die Tait-Bryan-Winkel; verklagen Sie mich, aber sie sind intuitiver, finde ich, als die Euler-Winkel.). Für ein Partikel gibt es keine Orientierungskoordinaten oder sie sind irrelevant, da es sich um einen einzelnen Punkt handelt.

Eine solche Positionsangabe, sagen wir, erfordert unendlich viele Informationen , denn da es sich um reelle Zahlen handelt, benötigen sie unendlich viele Ziffern, um sie in einem wirklich willkürlichen, allgemeinen Fall genau aufzuschreiben. Die klassische Mechanik ist somit eine „Theorie mit unendlicher Information“.

Was bedeutet „Informationen über“ und was leistet QM?

Was jetzt in der Quantenmechanik passiert, ist, dass wir zwei Dinge ändern - zum einen müssen wir von einer "objektiven" zu einer "subjektiven" Sichtweise übergehen: Wir werden nicht mehr darüber sprechen, an welcher Position ein Teilchen "wirklich" hat ohne vielleicht ein paar qualifizierte Ausnahmen, sondern darüber, welche Informationen ein Agent – ​​eine Entität, die in der Lage ist, mit einem externen System zu interagieren und Informationen darüber zu erhalten – über die Position dieses Teilchens hat. Somit hat das Universum immer mindestens zweiElemente darin: Objekt und Agent. Wir können keinen unbedeutenden „Blick aus dem Nichts“ oder „Gottes Augentrick“ annehmen, um eine Terminologie zu verwenden, die die feministische Philosophin Donna Haraway und vielleicht andere in ähnlicher Weise widerspiegelt. Unsere „Ansicht“ kommt von „irgendwo“, und wir müssen die Interaktionen des Betrachters mit seiner Welt berücksichtigen.

Daher sprechen wir weniger von der Position des Teilchens und stattdessen mehr von der Kenntnis des Agenten über diese Position.

Wenn wir dies tun, gewinnen wir tatsächlich deskriptive Flexibilität, indem wir dann über unterschiedliche Wissensebenen durch die Maschinerie der Bayes'schen Wahrscheinlichkeits- und Informationstheorie sprechen können, "Wahrscheinlichkeit als Information", "es aus Bit" (John Archibald Wheeler), sue my Socken, es funktioniert.

Details beschönigend, führt das dazu, dass wir die übliche Koordinatenzuordnung über Bord werfen$(x, y, z)$zugunsten einer Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion

$$\psi(x, y, z)$$

stattdessen. Darüber hinaus müssen wir aus anderen Gründen, die für diese Diskussion nicht unmittelbar relevant sind, diese Funktion zu einer komplexwertigen , nicht reellwertigen Wahrscheinlichkeitsfunktion machen . Eine solche Verteilungsfunktion kann "schlechte Informationen" über die Position oder "eingeschränkte Informationen" liefern. Jetzt fragen Sie sich vielleicht, wie wir das als begrenzt bezeichnen können – ich sagte, es sei ein echter Wert, oder? Braucht es nicht immer noch unendlich viele Informationen, um es so zu beschreiben?$\psi$, wenn nicht vielleicht in gewisser Weise „noch mehr“?

Sicher, aber dann sollten wir wieder zwischen "Realität" und unserem Modell davon unterscheiden .$\psi$ist keine Information, die wir als buchstäblich von irgendetwas besessen verdinglichen können, genauso wenig wie es Sinn macht, sie als ein real vorhandenes Wellenfeld zu verdinglichen, wie es manche tun. Es ist ein Modell für die Information des Agenten, eines, das viel Redewendung hat, um über wenig zu sprechen, sozusagen viel „Lauf“, weil diese zusätzliche Redewendung es sehr nützlich machtbeim Aufbau einer genauen, prädiktiven Theorie. Aber warum genau diesen Begriff der „geringeren Information“ erfassen? Nun, die Wahrscheinlichkeit sagt uns mehr über weniger, weil sie sagt, dass es statt einer einzigen Alternative eine Reihe unterschiedlich gewichteter "möglicher" Alternativen gibt. Wenn ich sage, dass ich mir einer Sache nur zu 75 % sicher bin, ist das für Sie „weniger informativ“, als wenn ich sage, dass ich mir zu 100 % sicher bin. Ebenso gilt für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, je "breiter" sie ist und mehr Möglichkeiten umfasst, desto weniger informativ ist sie, und je "enger", desto informativer. (Der genaue „Informationsgehalt“ oder besser „Informationsentzugsgrad “ in einer PD kann durch ihre Shannon-Entropie quantifiziert werden ,$H$.)

Quantenfelder

Jetzt werde ich zugegebenermaßen das Tempo erhöhen, da ich nicht die ganze Physik in einem Beitrag rekapitulieren möchte, aber der nächste Schritt ist, so schnell wie möglich zu Quantenfeldern zu gehen. Sehen Sie, allgemein sprechen wir nicht nur von Funktionen der oben angegebenen Form für ein einzelnes Teilchen. Stattdessen sprechen wir von einem mathematischen Objekt namens Quantenzustandsvektor , das „dekodiert“ werden kann, um Wahrscheinlichkeitsverteilungen über viele verschiedene Parameter dieses Teilchens aufzudecken, wie nicht nur seine Position, sondern auch seine Geschwindigkeit, Orientierung (falls vorhanden) und so weiter her. Diese Dinge werden mit Symbolen wie bezeichnet$|\psi\rangle$, ein sogenanntes "Ket-Zeichen". "Decodierungen" davon in Positionen und Geschwindigkeiten (besser Impulse ) werden durch Operatoren beschrieben , die auf diese Vektoren einwirken - im Grunde nur Funktionen, die einen Vektor fressen und einen anderen erzeugen.

In der nicht-relativistischen QM bedeutet dies, dass es einen Positionsoperator gibt $\hat{X}$und ein Momentoperator (auch Impulsoperator genannt )$\hat{P}$.

Diese Operatoren „decodieren“ die Position und den Impuls, indem sie Quantenzustandsvektoren effektiv „markieren“, als würden sie Fälle darstellen, in denen wir unendliche Informationen über die Position bzw. den Impuls haben . das heißt, die Existenz eines Positionsoperators$\hat{X}$geht Hand in Hand mit der Existenz von Fällen$|\mathbf{x}\rangle$wo die entsprechende Wellenfunktion$\psi$ist eine Delta-Funktion mit dem Mittelpunkt$\mathbf{x}$. Diese werden als "Eigenzustände" der Position bezeichnet, und die Dekodierung erfolgt durch Erweitern eines Zustandsvektors in Komponenten, wobei diese mit einem Basissatz im Stil einer linearen Algebra behandelt werden.

Nun, dieser Formalismus funktioniert gut und gut, wenn wir ein einzelnes Partikel betrachten, aber er wird schnell schlecht, wenn es um den Umgang mit mehreren Partikeln geht - wieder ohne Details darüber, warum ich dorthin gelangen möchte, BITTE ... Und deshalb , Die Quantenfeldtheorie ist effektiv eine Möglichkeit, mit diesen mehreren Teilchen viel sauberer umzugehen, indem ein mathematisches Gerät verwendet wird, das als "Quantenfeld" bezeichnet wird.

Im Grunde bedeutet das, dass wir nicht von einem Zustandsvektor (Informationsdatum) nur eines Teilchens oder einer bestimmten Anzahl von Teilchen sprechen, sondern von einem System, das eine beliebige Anzahl von Teilchen enthalten kann und darüber hinaus Teilchen enthalten kann hinzugefügt oder entfernt werden. So funktioniert das. Wir beginnen mit einem Vakuumzustandsvektor$|0\rangle$, von dem gesagt wird, dass es keine Teilchen enthält, das einen ausreichend reichen Vektorraum einnimmt, um alles, was wir damit machen werden, durchführbar zu machen. Wir verkünden dann die Existenz eines Erstellungs- und Zerstörungsoperators (Vektor-zu-Vektor-Funktion, erinnerst du dich?)$a^{\dagger}$Und$a$. Für jeden Positionsvektor gibt es einen solchen Operator$\mathbf{x}$, z.B$a^{\dagger}(\mathbf{x})$. (Alternativ können wir auch schreiben$a^{\dagger}(x, y, z)$um die Positionskoordinaten explizit zu machen.)

Jetzt das$a^{\dagger}$fungiert effektiv als "Pinsel", mit dem wir Partikel auf das Quantenfeld "malen" können. Wenn ich mich bewerbe$a^{\dagger}(\mathbf{x})$Zu$|0\rangle$, erstellt es einen Vektor mit einem Partikel mit exakter Position (dh wie die Delta-Funktion)$\mathbf{x}$. Das heißt, der Vektor$|\phi_\mbox{1 particle}\rangle := a^{\dagger}(\mathbf{x}) |0\rangle$, repräsentiert (Information besagt, dass) das Quantenfeld ein einzelnes Teilchen mit exakter Position hält$\mathbf{x}$, also ein Teilchen, dessen Wellenfunktion

$$\psi(x, y, z)$$

ist eine Delta-Spitze bei$\mathbf{x}$. Wenn wir uns bewerben würden$a^{\dagger}$ wieder , dh sagen$a^{\dagger}(\mathbf{x}_2) |\phi_\mbox{1 particle}\rangle$, instantiieren wir nun ein zweites Teilchen im Quantenfeld mit exakter Position$\mathbf{x}_2$. Beachten Sie, dass sich das, was das Teilchen ist, nicht geändert hat : die Bezeichnung von was$a^{\dagger}$erstellt ist immer noch der Ort, an dem der Punkt-Avatar fixiert wird, nur die Mathematik, die wir verwenden, um darüber zu sprechen, und das ist etwas, das man für die letzten paar Bits hier im Hinterkopf behalten sollte.

Daher sollten Sie beachten, dass es nicht richtig ist, sich wiederholt zu bewerben$a^{\dagger}$um zu versuchen, ein Teilchen mit unterbestimmter Position zu erhalten. Stattdessen, und um wirklich zu verdeutlichen, warum ich den Begriff "Pinsel" verwende, um ein Teilchen mit unterbestimmter Position darzustellen, müssen wir eine Reihe von Ein-Teilchen- Zuständen überlagern , die durch die Operation mit erhalten werden$a^{\dagger}$ nur einmal auf den Vakuumzustand, sondern an jeder möglichen Position , was wir mit einem Integral machen:

$$|\phi_\mbox{1 fuzzily-posed particle}\rangle := \int_{\mathbb{R}^3} [\psi(x, y, z)\ dV]\ a^{\dagger}(\mathbf{x}) |0\rangle$$

Genau so würden wir das ausdrücken$\psi$Funktion in Bezug auf die Überlagerung von Positionseigenzuständen in der gewöhnlichen Quantenmechanik, um die Wellenfunktion aufzubauen, außer dass wir jetzt Zustände des Quantenfelds überlagern .

RQFTs

Was macht also die relativistische Quantentheorie? Nun, die Einführung der Relativitätstheorie bewirkt, dass etwas Komisches passiert. Effektiv, intuitiv, unser "scharfer" Pinsel$a^{\dagger}$der wohl treffender als Stift gedacht ist, wird zu einem dicken, krausen, ja zu einem "echten" Pinsel: Er selbst kann nur Zustände malen, denen Positionsinformationen im obigen Sinne fehlen, die eine nichttriviale Streuung haben (und eigentlich unendlich Unterstützung, dh sie gehen nie ganz auf Null). Noch schlimmer, Staaten mit unbegrenzten Positionsinformationen existieren gar nicht erst! Die gleiche Maltechnik wird funktionieren, aber es wird eine Art "Fuzz of Fuzz" und die Gewichtsfunktion$\psi$im Integral verliert etwas von seiner ursprünglichen Bedeutung. Das Universum hat effektiv eine starke Obergrenze dafür, wie viele Informationen jemals existieren können, um die Position eines Teilchens zu definieren, nicht nur eine Grenze für die gemeinsame Information von Position und Impuls gemäß dem Heisenberg-Prinzip.

Dies bedeutet nicht , dass die Position nicht existiert oder Unsinn ist , darüber zu sprechen, genauso wenig wie die Tatsache, dass die Position in der gewöhnlichen Quantenmechanik "unscharf" (fehlende Informationen) ist. Es bedeutet auch nicht, dass das Partikel nicht punktgroß ist - denken Sie daran, dass sich diese Frage auf den "Avatar" bezieht, den wir zuvor getrennt haben, und nicht auf das, was wir verwenden, um ihn im Raum zu positionieren, und es gibt Experimente zu diesem Effekt, die die " Größe" von Partikeln als tatsächlich sehr klein (diese arbeiten nicht durch Lokalisieren , sondern durch Streuen von Partikeln, in einer weit ausgereiften Version der Techniken, die von Rutherford entwickelt wurden, um den Atomkern zu untersuchen.).

Es erfordert jedoch eine Änderung in der mathematischen Beschreibung einer solchen "Position" - erinnern Sie sich, dass ich das gerade gesagt habe, bevor wir Ein-Teilchen-Positionen mit Operatoren beschrieben haben, die exakte Positionszustände "markiert" haben ? Nun, die haben wir nicht mehr (wenn wir welche hätten, könnten wir sie verwenden, um ein scharfes zu machen$a^{\dagger}$Pinsel, aber wir können nicht), also die ursprüngliche Idee, herauszufinden, was$\hat{X}$im Sinne von "Eigenzuständen" gemeint, ist weg! Der Operatorformalismus, den wir zuvor verwendet hatten, funktioniert nicht mehr, um über die Position von Teilchen zu sprechen! (Es funktioniert immer noch auf andere Weise , da wir oben nur den "Maloperator" verwendet haben)$a^\dagger$, nur nicht für diesen Weg!) Stattdessen müssen wir andere Werkzeuge verwenden, um die Situation zu beschreiben, "was im Weltraum vor sich geht", die einige der anderen Beiträge hier behandelt haben, und obwohl ich darauf eingehen könnte, bin ich es Ich werde jetzt ein wenig unterdrückt, und außerdem denke ich, dass dies weit genug ist, um die fragliche Aussage und ihre Bedeutung zu treffen.

(Außerdem legt dies vielleicht nahe, dass wir die Quantenfeldtheorie besser als "Pinsel-Quantenmechanik" oder "Malerphysik" bezeichnen sollten :) )

Ich werde als experimenteller Teilchenphysiker antworten. Dies ist das Einzelphoton des Doppelspaltexperiments:

Einzelphotonenkameraaufnahme von Photonen aus einem mit sehr schwachem Laserlicht beleuchteten Doppelspalt. Von links nach rechts: Einzelbild, Überlagerung von 200, 1.000 und 500.000 Bildern.

Es ist experimentell offensichtlich, dass einzelne Photonen den Bildschirm der Kamera treffen, daher ist das Problem eines Positionsoperators ein mathematisches Theorieproblem, kein experimentelles Beobachtungsproblem.

Mein Eindruck von der Quantenfeldtheorie ist, dass im Allgemeinen die Felder, die alle Teilchen darstellen, auf die Operatoren wirken, um Teilchen zu erzeugen oder zu vernichten, ebene Wellenlösungen der entsprechenden quantenmechanischen Gleichung sind: Dirac für Fermionen, Klein Gordon für Bosonen, quantisiertes Maxwell für Photonen . Wie bekannt ist, decken ebene Wellen die gesamte Raumzeit ab, daher glaube ich nicht, dass es eine Bedeutung hat, wenn Positionsoperatoren auf die Felder selbst wirken. Die Theorie muss ein Wellenpaket verwenden , um ein reales Teilchen zu definieren, das in Raum und Zeit lokalisiert ist, afaik.

Im Allgemeinen finde ich, dass die meisten theoretisch geneigten Menschen dazu neigen, die Mathematik der Theorie als Erzeuger der realen Welt zu betrachten, und nicht umgekehrt, die Mathematik modelliert die reale Welt. Die nützlichen QFT-Modelle verwenden Wellenpakete für reale Teilchen, die in Experimenten gemessen werden sollen, wenn es notwendig ist, den wahrscheinlichen Ort des Teilchens zu definieren, wie im Doppelspaltexperiment, wieder AFAIK.

Nach den richtigen Kommentaren stimme ich den anderen Antworten zum klassischen QM und zum Positionsoperator zu. Meine Antwort bezieht sich auf die Eigenzeit und die relativistische QM (QFT) und dass Photonen keine Eigenzeit haben. Sie können jedoch einen affinen λ-Parameter definieren, der entlang der lichtähnlichen Weltlinie monoton ansteigt. Aber immer noch haben Photonen keine Eigenzeit und in der relativistischen QM (QFT) wird dies (die Definition eines Positions-Eigenzustands) die Zufälligkeit verletzen.

Wie definiert man die Eigenzeit eines Photons?

Ein Punkt im Minkowski-Raum ist eine zeitliche und räumliche Position, die als "Ereignis" bezeichnet wird, oder manchmal die Position Vier-Vektor oder Vier-Position oder Vier-Position, die in einem Referenzrahmen durch einen Satz von vier Koordinaten beschrieben wird: Bei der Betrachtung physikalischer Phänomene , Differentialgleichungen entstehen natürlich; Bei der Betrachtung von räumlichen und zeitlichen Ableitungen von Funktionen ist jedoch unklar, auf welchen Bezugsrahmen diese Ableitungen bezogen werden. Es wird vereinbart, dass Zeitableitungen in Bezug auf die Eigenzeit {\displaystyle \tau } \tau vorgenommen werden. Da die Eigenzeit eine Invariante ist, garantiert dies, dass die Eigenzeitableitung jedes Vierervektors selbst ein Vierervektor ist.

https://en.wikipedia.org/wiki/Vier-Vektor

Wenn Sie keine Zeit für Photonen haben, können Sie das Differential des Vektors mit vier Positionen nicht verwenden. Sie können also keinen Ortsoperator für das Photon definieren.

Ein Photon ist ein Elementarteilchen im SM, das Quant des EM-Feldes und der Strahlung, punktförmig, ohne räumliche Ausdehnung oder Unterstruktur, der Kraftträger der EM-Kraft und masselos.

Es ist möglich, einzelne Photonen zu emittieren, also gehe ich davon aus, dass Sie danach fragen.

Wie alle Elementarteilchen lassen sich Photonen derzeit am besten durch die Quantenmechanik erklären und weisen einen Welle-Teilchen-Dualismus auf, der sowohl Eigenschaften von Wellen als auch von Teilchen aufweist. Beispielsweise kann ein einzelnes Photon von einer Linse gebrochen werden und eine Welleninterferenz mit sich selbst aufweisen, und es kann sich wie ein Teilchen mit einer bestimmten und endlichen messbaren Position oder einem messbaren Impuls verhalten, jedoch nicht beides gleichzeitig gemäß Heisenbergs Unschärferelation. Die Wellen- und Quanteneigenschaften des Photons sind zwei beobachtbare Aspekte eines einzigen Phänomens – sie können durch kein mechanisches Modell beschrieben werden;[2] eine Darstellung dieser dualen Eigenschaft des Lichts, die annimmt, dass bestimmte Punkte auf der Wellenfront der Sitz der Energie sind nicht möglich. Die Quanten in einer Lichtwelle sind nicht räumlich lokalisiert.

https://en.wikipedia.org/wiki/Photon

Nehmen wir also an, es besteht Konsens darüber, was ein Photon ist.

Beginnen wir damit, das Problem zu verstehen, warum Photonen keine Positionen haben, indem wir verstehen, wie Photonen erzeugt und vernichtet werden können (weil sie nur eine Position haben können, während sie existieren).

Bei vielen natürlichen Prozessen werden Photonen emittiert. Wenn beispielsweise eine Ladung beschleunigt wird, sendet sie Synchrotronstrahlung aus. Während eines molekularen, atomaren oder nuklearen Übergangs zu einem niedrigeren Energieniveau werden Photonen unterschiedlicher Energie emittiert, die von Radiowellen bis zu Gammastrahlen reichen. Photonen können auch emittiert werden, wenn ein Teilchen und sein entsprechendes Antiteilchen vernichtet werden (z. B. Elektron-Positron-Vernichtung).

Im Grunde besteht also Konsens darüber, wie Photonen erzeugt und vernichtet werden können:

1. Emission (Schöpfung)

2. Absorption (Vernichtung)

Grundsätzlich können wir also sagen, dass es zumindest Konsens über die Existenzzeit eines Photons gibt.

Nun ist es sehr wichtig zu verstehen, warum diese Frage überhaupt gestellt wurde. Wann hat das Photon eine Position? Wenn es existiert. Wann existiert das Photon? In welchem ​​Zeitraum?

Dies ist der Hauptpunkt. Die Frage hat nur einen Wert in unserem Zeitrahmen (warum Ruhemasse haben und Zeit anders erleben als ein Photon).

Jetzt sind Photonen masselos, gemäß SR, sie haben keinen Referenzrahmen. Es macht keinen Sinn, darüber zu sprechen, was ein Photon sieht, wenn es sich zwischen Emission und Absorption bewegt.

Die Frage, warum Photonen keine Position haben, wird aufgeworfen, weil wir uns in unserem Zeitrahmen entlang raumartiger und zeitartiger Weltlinien bewegen (die Photonen sind lichtartig).

Es gibt drei Fälle:

1.spacelike, in diesem Fall ist es die physikalische Entfernung zwischen zwei Punkten im Raum.

raumartige Kurven, die außerhalb des Lichtkegels fallen. Solche Kurven können beispielsweise die Länge eines physischen Objekts beschreiben. Der Umfang eines Zylinders und die Länge einer Stange sind raumartige Kurven.

2. timähnlich, müssen diese in die Kegel fallen, die durch lichtähnliche Kegel definiert sind

zeitähnliche Kurven, mit einer Geschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Diese Kurven müssen in einen Kegel fallen, der durch lichtähnliche Kurven definiert ist. In unserer Definition oben: Weltlinien sind zeitähnliche Kurven in der Raumzeit.

3. lichtartig, das ist es, was Photonen tun, sie legen zwischen Emission und Absorption im Grunde Raumzeitdistanzen von 0 zurück

lichtähnliche Kurven, die an jedem Punkt Lichtgeschwindigkeit haben. Sie bilden einen Kegel in der Raumzeit und teilen ihn in zwei Teile. Der Kegel ist in der Raumzeit dreidimensional, erscheint als Linie in Zeichnungen mit zwei unterdrückten Dimensionen und als Kegel in Zeichnungen mit einer unterdrückten räumlichen Dimension.

Jetzt ist Ihre Frage, weil wir, die wir Ruhemasse haben, entlang der 1. und 2. Weltlinie leben. Gemäß SR kennen wir keine 3. lichtartigen Weltlinien, zumindest wissen wir nicht, wie diese aussehen würden, da es keinen Sinn macht, von einem Frame eines Photons zu sprechen.

Die Weltlinie (oder Weltlinie) eines Objekts ist der Pfad, den das Objekt in der 4-dimensionalen Raumzeit verfolgt. Es ist ein wichtiges Konzept in der modernen Physik und insbesondere in der theoretischen Physik.

https://en.wikipedia.org/wiki/World_line

Jetzt fragen Sie, warum wir die Position eines Photons im Raum (3D) nicht definieren können.

Die Born-Regel gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine QM-Messung ein bestimmtes Ergebnis liefert.

In seiner einfachsten Form besagt es, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen an einem bestimmten Punkt zu finden, proportional zum Quadrat der Größe der Wellenfunktion des Teilchens an diesem Punkt ist.

Es besteht also Konsens darüber, welche Position sein sollte. Es sollte eine Wahrscheinlichkeit bestehen, das Teilchen an einer bestimmten Position im Raum (3D) zu finden.

Nun gibt es die Gründe, warum wir für das Photon keine Position angeben können:

1. Sie fragen nach einer Position für ein Photon (natürlich weil wir in einer massiven Welt leben, in der wir Zeit zwischen Emission und Absorption erfahren) auf einem Raum oder einer Zeit wie der Weltlinie.

2. Sie fragen nach einer Position im Raum (3D), und der Raum ist kontinuierlich.

3. Messung, also Beobachtung, also Wechselwirkung mit dem Photon, jetzt will man die Position des Photons on the fly, also zwischen Emission und Absorption, und das geht nur mit elastischer und inelastischer Streuung

Das Photon existiert nur auf der lichtähnlichen Weltlinie, wo der raumzeitliche Abstand zwischen Emission und Absorption 0 ist. Dies macht das Problem mit 1., wo Sie nach einer Position für das Photon zwischen diesen beiden Punkten fragen, die durch einen Abstand getrennt sind ( 3D) nur in unserer Welt (wo wir Ruhemasse haben), aber in der Welt der Photonen hat es keine solche Position (oder Distanz) dazwischen.

Sie fragen nach einer Position im Raum (3D) in einem Raumzeitgewebe, das kontinuierlich ist, und Sie versuchen, es als diskret zu modellieren, aber in Wirklichkeit ist es kontinuierlich.

In der Quantenmechanik ist die Unschärferelation (auch als Heisenbergsche Unschärferelation bekannt) eine von vielen mathematischen Ungleichungen[1], die eine grundsätzliche Grenze für die Genauigkeit geltend machen, mit der bestimmte Paare physikalischer Eigenschaften eines Teilchens, bekannt als komplementäre Variablen oder kanonisch, bestimmt werden konjugierte Variablen wie Ort x und Impuls p bekannt sein.

https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle

Das bedeutet, dass wir versuchen können, das Photon auf einen kleinen Raum zu beschränken. Relativ zu was? Unsere Welt? Unsere Geräte? Welche Messung Sie auch immer verwenden würden, die Raumzeit ist kontinuierlich und Sie fragen nach einer diskreten Messung.

Die einzige Möglichkeit, die Position des Photons zu messen, besteht darin, mit ihm zu interagieren. Aber Sie möchten es im laufenden Betrieb zwischen Emission und Absorption tun, und dazu benötigen Sie:

1. Bei elastischer Streuung behält das Photon seine Energie und Phase und ändert den Winkel

2. Bei der inelastischen Streuung behält das Photon einen Teil seiner Energie und Phase und ändert den Winkel

Was auch immer Sie wählen, es muss dem HUP gehorchen.

Obwohl die Position eines massiven Teilchens in der nichtrelativistischen Quantenmechanik beobachtbar ist, ist die Photonenposition ein umstrittenes Konzept. Es wurde argumentiert, dass es keine Photonenzahldichte gibt, sondern nur Energiedichte [1]. Lösungen der Photonenwellengleichung sind elektrische und magnetische Felder, aber die Beziehung zwischen diesen Feldern und der normierbaren Amplitude der Photonenzahl nach Laudau-Peierls (LP) ist nichtlokal [2, 3]. Die Lokalisierung eines konvergierenden (oder divergierenden) Photonenpulses kann nicht genau sein, da er gemäß dem Paley-Weiner-Theorem subexponentielle Schwänze haben muss [4].

https://www.researchgate.net/publication/45927278_Photon_position_measure

Also im Grunde lautet die Antwort auf Ihre Frage:

1. Es gibt keine Position zwischen der Erzeugung und Vernichtung eines Photons auf einer lichtähnlichen Weltlinie

2. Die Raumzeit ist kontinuierlich, und Sie fragen nach einer diskreten Position

3. Die einzige Möglichkeit, die Position des Photons zwischen Emission und Absorption im Flug zu messen, ist mit elastischer und inelastischer Streuung, und das gehorcht wiederum dem HUP