Was ist der Unterschied zwischen der Balmer-Reihe von Wasserstoff und Deuterium?

Die vollständige Quantenanalyse des Wasserstoffatoms ist ein Quanten-Zwei-Körper-Problem, jedoch ist einer dieser Körper im Vergleich zum anderen extrem massiv, so dass dieses Problem in erster Näherung analysiert wird, indem entweder das erste quantisierte (dh z ein Quantenteilchen in einer klassischen Umgebung) Schrödinger- oder Dirac-Gleichungen für inverses quadratisches Potential relativ zu einem festen Mittelpunkt. Wie Sie wahrscheinlich wissen, ist der zentrale Punkt in Wirklichkeit nicht festgelegt, und die vollständige Lösung erfordert, dass sowohl der geladene Kern als auch das Elektron quantenmechanisch behandelt werden. Die Energie-Eigenwerte für dieses Zwei-Körper-System werden sich also eindeutig von denen unterscheiden, die aus der ersten quantisierten Behandlung abgeleitet werden.

Eine Korrektur erster Ordnung der vereinfachenden Annahme besteht darin, eine reduzierte Masse für das Elektron zu verwenden, wie in Bens Kommentar beschrieben:

$$\mu = \frac{m_e\,M_N}{m_e+M_N}$$

wo$m_e$ist die wahre Elektronenmasse und$M_N$die Masse des Kerns. Wie Sie sehen können, ist das Verhältnis der Protonen-Elektronen-Masse 1836 plus ein bisschen,$\mu$ist weniger als$m_e$um den Prozentsatz von ca$100 m_e / M_n$, oder etwa 0,2 %. Wenn wir ersetzen$M_N$durch die Masse des Deuterons schrumpft diese Differenz um die Hälfte, dh die Reduktion beträgt jetzt 0,1 %.

Der Artikel "Reduzierte Dirac-Gleichung und Lamb-Shift als Off-Mass-Shell-Effekt in der Quantenelektrodynamik" von Ni Guang-jiong, Xu Jianjun und Lou Senyue diskutiert die Gültigkeit der reduzierten Masse für die Dirac-Gleichung.

Allerdings kann ich jetzt hoffentlich sehen, was für eine einfache erste Annäherung zu tun ist. Ihre Konstante$C = 4/R_H$, wo$R_H$ist die Rydberg-Konstante:

$$R_\infty = \frac{4}{C} = \frac{m_e q^4}{8 {\epsilon_0}^2 h^3 c}$$

aber jetzt verwenden Sie die reduzierte Masse$\mu$Anstatt von$m_e$. Allgemeiner gesagt, machen Sie dasselbe für jede Linie mit der allgemeinen Lösung der Wasserstoffatom-Dirac-Gleichung, die entweder im obigen Artikel oder im Abschnitt "Mathematische Zusammenfassung der Eigenzustände" auf der Wasserstoffatom-Wiki-Seite angegeben ist .

Ihr Problem ist eine sehr einfache Veranschaulichung dafür, wie die Behauptung, dass "Chemie unabhängig von allen Kerneigenschaften außer der Ordnungszahl ist", zusammenzubrechen beginnt. Isotopenmassen beeinflussen alle die Elektroneneigenzustände, und dieser Einfluss ist bei den leichtesten Elementen am stärksten. Insbesondere eine etwas verrückte Tatsache, die ich gerne im Hinterkopf behalte, ist, dass schweres Wasser kein "höheres" Leben unterstützt. Die Wasserstoff-Sauerstoff-Bindungsenergien hängen davon ab, ob der Wasserstoff im Wasser Protium oder Deuterium ist, und dieser Unterschied beeinflusst die Biochemie letztendlich tödlich für Eukaryoten und vielzellige eukaryotische Organismen. Insbesondere die Funktionsweise der mitotischen Spindel und anderer eukaryotischer geschlechtlicher Fortpflanzungsstrukturen, die stark von Wasserstoffbrückenbindungen abhängen, die wiederum von der OH-Bindungsenergie beeinflusst werden, kann abgeschaltet werden.Heavy Water Wiki-Seite: Abschnitt "Auswirkung auf biologische Systeme" . Viele Prokaryoten (asexuelle Bakterien und Archaeen) hingegen gedeihen ungehindert in schwerem Wasser.

$$\frac{1}{\lambda} = \frac{4}{C_M}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{n^2}\right) = R_M\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{n^2}\right),$$ wo $R_M = 4/C_M$ist die Rydberg-Konstante für das jeweilige Atom: $$R_M = R_\infty\left(1+\frac{m_\text{e}}{M}\right)^{-1},$$ mit $m_\text{e}$die Elektronenmasse, $M$die Masse des Atomkerns und $$R_\infty = 1.0973\,731\,568\,539\times 10^7\;\text{m}^{-1}.$$ Für Wasserstoff bekomme ich, $$\begin{align} R_H &= R_\infty\left(1 + \frac{5.4857990943\times 10^{-4}\;\text{u}}{1.007276466812\;\text{u}}\right)^{-1},\\ &= 1.0967\,758\,341\times 10^7\;\text{m}^{-1},\\[2mm] C_H &= 4/R_H = 364.70534\;\text{nm}, \end{align}$$ und für Deuterium bekomme ich, $$\begin{align} R_D &= R_\infty\left(1 + \frac{5.4857990943\times 10^{-4}\;\text{u}}{2.013553212724\;\text{u}}\right)^{-1},\\ &= 1.0970\,742\,659\times 10^7\;\text{m}^{-1},\\[2mm] C_D &= 4/R_D = 364.60613\;\text{nm}. \end{align}$$ Hinweis: Ich habe diese Nummern nicht verifiziert.