Was ist die grundlegende Ontologie von QFT?

Ich interpretiere die Frage so:

Was sind konzeptionell die allgemeinen Prinzipien von QFT?

Ich bin mir nicht sicher, ob das die Art von Antwort ist, nach der das OP sucht, aber ich werde es versuchen und sehen, wie es aufgenommen wird. Dies ist eine nicht-perturbative Perspektive.

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QFT verfeinert die Quantentheorie

QFT ist eine Verfeinerung der allgemeinen Prinzipien der Quantentheorie. Die allgemeinen Prinzipien der Quantentheorie besagen, dass Observables (messbare Dinge) durch Operatoren dargestellt werden, die auf einem Hilbert-Raum wirken; aber sie sagen nicht viel darüber aus, welche Arten von Observablen ein Modell beinhalten sollte. Zu spezifizieren, was die grundlegenden Observablen (messbaren Dinge) sind und welche Operatoren sie darstellen, ist die Aufgabe der Spezifikation eines Modells . QFT tut dies auf relativ systematische Weise, wie unten erläutert wird.

Sobald die Observables spezifiziert sind, sind die Regeln dieselben wie gewöhnlich. Wann immer eine Observable gemessen wird, können wir den Zustand auf einen der Eigenräume der Observablen projizieren, wobei die relativen Frequenzen durch die Bornsche Regel bestimmt werden. Das heißt, nach einer Messung ersetzen wir$|\psi\rangle\to P_n|\psi\rangle$, Wo$P_n$ist der Projektionsoperator auf die Observable$n$-ten Eigenraum, mit relativen Häufigkeiten$\langle\psi| P_n|\psi\rangle$, so wie wir es in der QM-Einführung gelernt haben.

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Observables in QFT sind an die Raumzeit gebunden, nicht an Teilchen

Um die vorliegende Frage zu beantworten, werde ich QFT einer anderen Klasse von Modellen gegenüberstellen, die ich „Quantenmechanik“ nennen werde. Manchmal wird "Quantenmechanik" als Synonym für die allgemeinen Prinzipien der Quantentheorie verwendet, aber so verwende ich die Worte hier nicht.

• In der Klasse von Modellen, die ich „Quantenmechanik“ nenne, sind Observable an Teilchen gebunden .

• In der QFT sind Observable an Regionen der Raumzeit gebunden .

Konzeptionell ist dies wahrscheinlich das Wichtigste, was man über QFT verstehen muss: Es gibt keine Observablen, die an Partikel gebunden sind. In der QFT sind Partikel Phänomene, die auftreten können, und genau zu entscheiden, welche Phänomene "Partikel" genannt werden sollten, kann eine chaotische Angelegenheit sein (außer in trivialen Modellen).

In der QFT werden Observablen Regionen der Raumzeit zugeordnet. Der Kürze halber tue ich so, als ob wir Observablen Punkten der Raumzeit zuordnen können, und ignoriere die vielen mathematischen Probleme, die dies verursacht. In QFT sind die Assoziationen zwischen Observablen und Regionen (oder Punkten) der Raumzeit die Daten, die ein spezifisches Modell definieren. Diese Zuordnung ist normalerweise erforderlich, um einige Grundbedingungen wie diese zu erfüllen:

• Das Zeitscheibenprinzip : Alle Observablen können in Bezug auf diejenigen ausgedrückt werden, die einer Nachbarschaft zu jeder einzelnen Zeit zugeordnet sind. (Ich beziehe mich hier auf das Heisenberg-Bild, also werden Observablen zeitlich parametrisiert und Zustände nicht. Das Schrödinger-Bild wird weiter unten erwähnt.)

Die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen (su) sind Ausdruck dieses Prinzips.

• In der relativistischen QFT erzwingen wir Einstein-Kausalität (auch bekannt als Mikrokausalität ): Wenn zwei Punkte durch ein raumartiges Intervall getrennt sind, dann pendeln die zugehörigen Observablen miteinander.

Das Einstein-Kausalitätsprinzip verhindert eine Kommunikation, die schneller als das Licht ist. In der nicht-relativistischen QFT (bzw. in Gitterkonstruktionen der „relativistischen“ QFT) können wir dies lockern zu: Wenn zwei Observablen gleichzeitig unterschiedlichen Punkten zugeordnet sind, dann pendeln sie miteinander. Übrigens überschneidet sich die nicht-relativistische QFT mit dem, was ich oben "Quantenmechanik" genannt habe. Mehr dazu weiter unten.

Um Kontakt mit dem Experiment aufzunehmen, müssen wir wissen, welche Teilchen eine gegebene QFT vorhersagt und wie sie sich verhalten. Dies kann explizit in trivialen Modellen herausgearbeitet werden, wobei "trivial" bedeutet "die Teilchen interagieren nicht miteinander", aber es ist sehr schwierig, explizit in nicht-trivialen Modellen zu arbeiten. Mehr dazu weiter unten.

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Observables werden aus Feldoperatoren erstellt

Observable in der QFT werden typischerweise in Form von Feldern konstruiert , woher natürlich der Name Quantenfeldtheorie kommt . Felder sind wie Observable an die Raumzeit gebunden. Beispielsweise ist ein Dirac-Spinorfeld ein Operator$\psi_n(\mathbf{x},t)$parametrisiert durch einen Punkt im Raum$\mathbf{x}$und eine Zeit$t$und ein Spinorindex$n$, die Werte annehmen würde$n\in\{1,2,3,4\}$in der vierdimensionalen Raumzeit. (Das ist übrigens ein Zufall; in$N$-dimensionalen Raumzeit wächst die Anzahl der Komponenten eines Dirac-Spinors exponentiell mit zunehmender$N$.)

Feldoperatoren müssen nicht unbedingt die gleichen Grundbedingungen erfüllen wie Observables. Insbesondere können wir Fermionenfelder haben, die in raumähnlichen Abständen nicht miteinander pendeln, obwohl aus diesen Feldern konstruierte Observablen immer noch in raumähnlichen Abständen miteinander pendeln sollten. Aus diesem Grund müssen Observable ein Produkt einer geraden Anzahl von Fermionenfeldern beinhalten, niemals eine ungerade Anzahl.

In den meisten Modellen werden Observablen mit Hilfe von Eichfeldern konstruiert , mit dem Verständnis, dass Observablen unter Eichtransformationen unveränderlich sind, obwohl die Felder, aus denen sie konstruiert werden, dies nicht sind. Zu diesem Thema gibt es noch viel mehr zu sagen, viel zu viel, um es hier zu sagen.

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Der Vakuumzustand und Zustände mit Teilchen

Hier ist eine weitere grundlegende Bedingung, die normalerweise auferlegt wird, zumindest wenn die Raumzeit flach ist :

• Die Spektralbedingung : Der Hamiltonoperator$H$, der Operator, der Zeitübersetzungen aller Observablen erzeugt, erfüllen muss$\langle\psi|H|\psi\rangle\geq 0$für alle Zustandsvektoren im Hilbertraum. Mit anderen Worten, die Energie muss nicht negativ sein (oder zumindest von unten begrenzt sein, in diesem Fall können wir eine belanglose Konstante hinzufügen$H$um es nicht-negativ zu machen). Ein Zustand niedrigster Energie wird Vakuumzustand genannt , zumindest wenn er auch die sogenannte Clustereigenschaft erfüllt , die ich hier nicht beschreiben werde.

Es ist noch nicht klar, wie die Spektralbedingung für generische gekrümmte Raumzeiten verallgemeinert werden sollte. Es gibt eine vielversprechende Idee namens „Microlocal Spectrum Condition“, aber dies ist auch heute noch ein aktives Forschungsgebiet. Dieses Thema ist wichtig, weil das Wissen, welcher Zustand als Vakuumzustand verwendet werden sollte, eine Voraussetzung dafür ist, zu definieren, was ein "Teilchen" ist. Partikel sind Dinge, die gezählt werden können, und der Vakuumzustand sollte nichts davon haben. (Diese Regel wird in der gekrümmten Raumzeit gebrochen. Ich werde hier nicht darauf eingehen, aber ich habe in einer anderen Antwort einen pragmatischen Ansatz beschrieben .)

Hier ist die Idee: Wenn$|0\rangle$der Vakuumzustand ist, dann eine Observable$D$das aus Feldoperatoren konstruiert wird, die in einer gegebenen Region lokalisiert sind$R$und das befriedigt$D|0\rangle=0$könnte als Modell eines in lokalisierten Partikelzählgeräts verwendet werden$R$— außer dass so etwas in der relativistischen QFT wegen des berühmten Satzes von Reeh-Schlieder mathematisch unmöglich ist . Das Beste, was wir tun können, ist, eine lokale Observable zu konstruieren, die den Vakuumzustand ungefähr vernichtet. Das ist einer der Gründe, warum die Definition dessen, was „Partikel“ in QFT bedeuten soll, etwas chaotisch ist.

Bei der Analyse trivialer Modelle können wir dies umgehen, indem wir nichtlokale Partikelzähloperatoren berücksichtigen. Das Rezept besteht darin, einen bestimmten Feldoperator als Summe von Termen mit positiver und negativer Frequenz auszudrücken, die als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bezeichnet werden . (Diese Operatoren sind notwendigerweise nicht lokal im Raum.) Aus diesen können wir konstruieren$n$-Teilchenzustände und Teilchenzähloperatoren, wie sie in vielen Lehrbüchern beschrieben sind. Bei nicht-trivialen Modellen wird dies deutlich schwieriger. Dies könnte der Hauptgrund sein, warum QFT so schwer zu erlernen ist.

In der streng nicht-relativistischen QFT verschwinden diese Komplikationen und wir können explizit konstruieren$n$-Teilchenzustände auch in nicht-trivialen Modellen. Da die Teilchenzahl in der nicht-relativistischen QFT erhalten bleibt, können wir sogar ein Untermodell betrachten, das nur aus Zuständen mit einer bestimmten Anzahl von Teilchen besteht. Für Zustände mit nicht mehr als einem Teilchen jeder Spezies ist das Ergebnis das, was ich „Quantenmechanik“ nenne, in der Observablen einzelnen Teilchen zugeordnet werden können.$^\dagger$

$^\dagger$ ^{Wenn wir Zustände betrachten, die mehr als ein Teilchen derselben Art haben, müssen Observable immer noch an die Raumzeit gebunden sein, selbst wenn ihre Gesamtzahl fest ist. Die traditionelle Art, dies auszudrücken, ist zu sagen, dass die Partikel "nicht unterscheidbar" sind.}

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Die Bewegungsgleichungen

Wenn die Zeitentwicklungsgleichungen der QFT (Klein-Gordon, Dirac usw.) die Entwicklung eines Feldes bestimmen, was bestimmt dann die Entwicklung eines Zustands?

Die oben beschriebene Formulierung verwendet das Heisenberg-Bild, in dem Felder (und Observables) zeitlich parametrisiert sind, Zustände jedoch nicht. Mit einigen Annahmen über die Struktur des Modells können wir zum Schrödinger-Bild wechseln, in dem Zustände zeitlich parametrisiert sind, Observablen jedoch nicht. Im Schrödinger-Bild ist die Gleichung, die beschreibt, wie sich Zustände mit der Zeit entwickeln, einfach die übliche Schrödinger-Gleichung

$$i\frac{d}{dt}\big|\psi(t)\big\rangle = H\big|\psi(t)\big\rangle$$ Wo$H$ist der Hamilton-Operator, der ein Operator ist, der durch dieselben Feldoperatoren ausgedrückt wird, aus denen alle anderen Observablen konstruiert werden. Wie üblich ist es die mit der Gesamtenergie des Systems verbundene Observable. Dies ist derselbe Hamiltonoperator, den wir im Heisenberg-Bild verwenden, um die Zeitabhängigkeit eines Feldoperators zu beschreiben$\phi$: $$i\frac{\partial}{\partial t}\phi(\mathbf{x},t) =\big[\phi(\mathbf{x},t),\,H\big].$$ Die zeitliche Ableitung habe ich hier als partielle Ableitung geschrieben, weil auch Feldoperatoren durch die Raumkoordinaten parametrisiert werden. Die Beziehung zwischen dem Schrödinger- und dem Heisenberg-Bild ist die gleiche wie in der „Quantenmechanik“. Das Schöne an der Verwendung des Heisenberg-Bildes in der QFT ist, dass es die Raum- und Zeitkoordinaten ausgewogener behandelt: Feldoperatoren (und Observablen) werden von beiden parametrisiert. Das macht es viel einfacher, allgemeine Prinzipien wie die Einstein-Kausalität auszudrücken.

Die Heisenberg-Bewegungsgleichungen und Kommutierungsbeziehungen für die Feldoperatoren werden typischerweise unter Verwendung des kanonischen Quantisierungsrezepts konstruiert, beginnend mit einer "klassischen" Lagrange-Funktion. (Ich setze „klassisch“ in Anführungszeichen, weil es sich um antikommutierende Fermionenfelder handeln kann.) Wir können jedoch auch nicht-Lagrange- QFTs haben – etwas, das sehr mysteriös erscheinen würde, wenn wir an kanonische Quantisierung als Definition von QFT denken würden.

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Alternative Perspektiven

In der oben beschriebenen Formulierung sind Observables die Hauptakteure. Es gibt andere Formulierungen, wie die Pfad-Integral-Formulierung, die für die Berechnung von Dingen wie Korrelationsfunktionen bequemer sein können. Korrelationsfunktionen enthalten implizit alles, was man über das Modell wissen muss, und sie eignen sich besonders gut für die Untersuchung von Streuprozessen – nachdem sie mit einigen subtilen Tricks (wie der LSZ-Reduktionsformel ) in Beziehung zu den Teilchen der Theorie gesetzt wurden .

Die Pfad-Integral-Formulierung schlägt eine andere Art vor, über QFT nachzudenken, eine, die die Tür zu neuen Arten von Einsichten öffnet. Für Personen, die bereits die Grundlagen der Kategorientheorie kennen, findet sich eine relativ knappe Einführung in die Idee in „A Modern Point of View on Anomalies“, https://arxiv.org/abs/1903.02828 .

Obwohl es schon lange existiert, ist die beste Art, über QFT nachzudenken, vielleicht etwas, das wir noch nicht konzipiert haben. Dieses Gefühl drückte der mathematische Physiker Yuji Tachikawa in einer Präsentation aus, die mit diesen Folien beginnt (nach einer nostalgischen Einleitung):

Titelfolie: Was ist Quantenfeldtheorie?

Nächste Folie: Ich weiß es nicht.

Nächste Folie: DAS ENDE. Danke fürs Zuhören.

• Tachikawa (2017), "Was ist Quantenfeldtheorie?" https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/transp/ipmu10th-4.pdf