Wie ist diese Konstruktion der Zustände in QFT zu interpretieren?

Question

Wie ist diese Konstruktion der Zustände in QFT zu interpretieren?

Physik
Definition
Quantenmechanik
Quantenfeldtheorie
qft-in-der-gekrümmten-raumzeit
Quanteninterpretationen

Gold

Nichtrelativistische Quantenmechanik

Um diese Frage zu verdeutlichen, könnte es nützlich sein, die nicht-relativistische Quantenmechanik zu kontrastieren.

In jeder Quantentheorie sind die Zustände eines Systems Einheitsstrahlen in einem Hilbert-Raum und können daher durch Einheitsvektoren beschrieben werden $\Psi$ .

In der nicht-relativistischen Quantenmechanik eines Teilchens ist der entsprechende Hilbert-Raum $\mathscr{H}=L^2(\mathbb{R},dx)$ . Der Positionsoperator $X$ ist einfach $X\Psi(x)=x\Psi(x)$ . Dies ermöglicht eine Interpretation $|\Psi(x)|^2$ als Wahrscheinlichkeitsdichte für die Position.

In jeder Quantentheorie ist die Zeitentwicklung durch eine Einheit gegeben $U(t,t_0)$ die durch den Hamiltonoperator erzeugt wird.

Einmal irgendein Staat $\Psi_0(x)$ gegeben ist, entwickelt man es weiter $\Psi(t,x)=U(t,t_0)\Psi_0(x)$ . Unsere Schlussfolgerungen sind also:

Ein Zustand zu einem festen Zeitpunkt ist eine Landkarte $\Psi_0 : \mathbb{R}\to \mathbb{C}$ ;
Die Zeitentwicklung des Systems ist ein Weg von Zuständen $\Psi : \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{C}$ damit für jeden $t$ fixiert haben wir einen solchen Zustand wie in (1), der ist $\Psi(t,\cdot)$ .

Freies QFT in der Minkowski-Raumzeit

Hier betrachten wir eine freie skalare QFT in der Minkowski-Raumzeit. Dies vermag bereits das Wesen des Zweifels aufzuzeigen.

Eine Möglichkeit, den Zustandsraum zu konstruieren, ist in Walds GR-Buch skizziert. Die Frage bezieht sich auf dieses spezifische Konstrukt , da es einfacher auf andere Raumzeiten verallgemeinert werden kann als auf der Grundlage von Darstellungen der Poincare-Gruppe.

Wir definieren den Ein-Teilchen- Hilbert-Raum, $\mathscr{H}$ , um der Vektorraum zu sein, der aus positiven Frequenzlösungen der Klein-Gordon-Gleichung besteht, deren Klein-Gordon-Norm endlich ist, mit innerem Produkt $\mathscr{H}$ definiert von

$(a, β)_{K G} = ich \int_{Σ} (\bar{a} \nabla_{A} β - β \nabla_{A} \bar{a}) N^{A} D Σ$ $(\alpha,\beta)_{KG}=i\int_{\Sigma}(\bar{\alpha}\nabla_a\beta -\beta \nabla_a \bar{\alpha})n^a d\Sigma$

Der Hilbert-Raum aller möglichen Zustände des Klein-Gordon-Skalarfelds wird als symmetrischer Fock-Raum angenommen, $\mathscr{F}_S(\mathscr{H})$ , konstruiert aus $\mathscr{H}$ .

Konzentrieren Sie sich also auf den Ein-Teilchen-Hilbert-Raum $\mathscr{H}$ also konstruiert. Seine Elemente sind die Zustände eines Teilchens. Aber jetzt sind das Karten $\Psi : M\to \mathbb{C}$ Wo $M$ ist die Minkowski-Raumzeit. In Koordinaten ist eine solche Karte $\Psi(t,\mathbf{x})$ .

Aber warte mal. Das ist jetzt verwirrend. Vergleiche mit der nicht-relativistischen Quantenmechanik. Dort hat der Zustand keine Zeitabhängigkeit. Die Zustandskurve, die die zeitliche Entwicklung darstellt, die zeitabhängig ist.

Hier hat der Zustand selbst eine Zeitabhängigkeit.

Die Entwicklung wäre also so etwas wie $\Psi(t')(t,\mathbf{x})$ mit "zwei Zeitparametern"? Das ist extrem seltsam .

Oder tragen diese Zustände bereits eine Vorstellung von Zeitentwicklung in sich?

Es ist auch schwierig, einen solchen Zustand zu interpretieren $\Psi(t,\mathbf{x})$ . Es gibt keinen Positionsoperator in QFT, also kann man das nicht sagen $|\Psi(t,\mathbf{x})|^2$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, bei der sich das Teilchen befindet $\mathbf{x}$ zum Zeitpunkt $t$ wie im nichtrelativistischen Fall.

Wie interpretieren wir also diese Konstruktion von Zuständen? Wie so ein $\Psi(t,\mathbf{x})$ ist zu interpretieren und was rechtfertigt die Interpretation ?

Knzhou

Zeitabhängige Zustände sind nicht seltsam, sie tauchen sogar in der nichtrelativistischen Quantenmechanik im Grundstudium unter dem Namen Heisenberg-Bild auf. Die Zeitabhängigkeit erfasst, nun ja, die Zeitabhängigkeit des Zustands. Um einen zeitunabhängigen Zustand wiederherzustellen, können Sie eine Zeitscheibe nehmen, ggf. in Ihrer Raumzeit.

Gold

@knzhou Ich glaube, mir fehlt etwas Offensichtliches. Im Heisenberg-Bild fixieren wir den Zustand als Anfangszustand und die Observablen entwickeln sich richtig? Mit anderen Worten, gegeben

Ψ_{0}

$\Psi_0$ Der Anfangszustand bleibt fest und die Observablen entwickeln sich entsprechend

A (t) = U^{†} (t, t_{0}) A U (t, t_{0})

$A(t)=U^\dagger(t,t_0)A U(t,t_0)$ . In diesem Fall

Ψ_{0}

$\Psi_0$ hängt nicht von der Zeit ab, die Observables schon. Was fehlt mir hier?

Knzhou

Es hängt davon ab, wie Sie es einrichten, denke ich. Ich habe zum Beispiel den Staat gesehen

| x, t ⟩

$|x, t \rangle$ definiert "im Heisenberg-Bild" bedeutet den Eigenvektor von

{\hat{x}}_{H} (t)

$\hat{x}_H(t)$ mit Eigenwert

x

$x$ . In diesem Sinne erstrecken sich die Zustände über die Zeit. In der Praxis ist dies jedoch kein Grund zur Sorge, da die Berechnungen bis auf geringfügige Buchhaltungsänderungen genau gleich aussehen.

Knzhou

Zum Beispiel die Amplitude, von der aus sie sich ausbreiten soll

(x, t)

$(x, t)$ Zu

(y, t^{'})

$(y, t')$ würde geschrieben werden als

⟨ y, t^{'} | x, t ⟩

$\langle y, t' | x, t \rangle$ in dieser Notation, während es in der Standardnotation wäre

⟨ y | U (t^{'}, t) | x ⟩

$\langle y | U(t', t) | x \rangle$ . Aber Sie können sehen, wie sie wirklich dasselbe sind.

Gold

Aber das ist IMHO etwas anderes. In Ihrem Beispiel haben wir einen zeitabhängigen Zustand. Also für jeden

t

$t$ Sie haben einen Zustand

| x, t ⟩

$|x,t\rangle$ . Das ist in Ordnung. Wir haben eine Reihe von Zuständen

H

$\mathscr{H}$ und für jeden

t

$t$ Wir wählen ein Element aus, das damit gekennzeichnet ist. In der Konstruktion, die ich skizziert habe, ist das nicht der Fall. Die Zustände selbst sind Funktionen der Zeit. Also die Funktion

Ψ

$\Psi$ - der ein Zustand ist - der auf der Raumzeit definiert ist (und der daher von der Zeit abhängt), ist ein einziges Element von

H

$\mathscr{H}$ . Nicht viele sind nach Zeit parametrisiert. Das ist es, was ich schwer mit nicht-relativistischer QM in Einklang bringen kann.

Knzhou

Nein, es ist nur ein Perspektivwechsel. Ist

| x, t ⟩

$|x, t \rangle$ wirklich "der Staat

| x ⟩

$|x \rangle$ als Funktion von

t

$t$ " oder "ein Zustand für jedes Paar

(x, t)

$(x, t)$ "? Es gibt absolut keinen wesentlichen Unterschied in Bezug auf die Berechnungen, die Sie am Ende durchführen.

lalala

Sind Sie sicher, dass die Zustände auf M und nicht nur auf Sigma definiert sind? Sigma scheint eine 3D (raumähnliche) Hyperfläche und ein normaler Vektor ('Zeit') darauf zu sein.

Antworten (4)

Wie ist diese Konstruktion der Zustände in QFT zu interpretieren?

Zeitabhängige Zustände sind nicht seltsam, sie tauchen sogar in der nichtrelativistischen Quantenmechanik im Grundstudium unter dem Namen Heisenberg-Bild auf. Die Zeitabhängigkeit erfasst, nun ja, die Zeitabhängigkeit des Zustands. Um einen zeitunabhängigen Zustand wiederherzustellen, können Sie eine Zeitscheibe nehmen, ggf. in Ihrer Raumzeit.
@knzhou Ich glaube, mir fehlt etwas Offensichtliches. Im Heisenberg-Bild fixieren wir den Zustand als Anfangszustand und die Observablen entwickeln sich richtig? Mit anderen Worten, gegeben $\Psi_0$ Der Anfangszustand bleibt fest und die Observablen entwickeln sich entsprechend $A(t)=U^\dagger(t,t_0)A U(t,t_0)$ . In diesem Fall $\Psi_0$ hängt nicht von der Zeit ab, die Observables schon. Was fehlt mir hier?
Es hängt davon ab, wie Sie es einrichten, denke ich. Ich habe zum Beispiel den Staat gesehen $|x, t \rangle$ definiert "im Heisenberg-Bild" bedeutet den Eigenvektor von $\hat{x}_H(t)$ mit Eigenwert $x$ . In diesem Sinne erstrecken sich die Zustände über die Zeit. In der Praxis ist dies jedoch kein Grund zur Sorge, da die Berechnungen bis auf geringfügige Buchhaltungsänderungen genau gleich aussehen.
Zum Beispiel die Amplitude, von der aus sie sich ausbreiten soll $(x, t)$ Zu $(y, t')$ würde geschrieben werden als $\langle y, t' | x, t \rangle$ in dieser Notation, während es in der Standardnotation wäre $\langle y | U(t', t) | x \rangle$ . Aber Sie können sehen, wie sie wirklich dasselbe sind.
Aber das ist IMHO etwas anderes. In Ihrem Beispiel haben wir einen zeitabhängigen Zustand. Also für jeden $t$ Sie haben einen Zustand $|x,t\rangle$ . Das ist in Ordnung. Wir haben eine Reihe von Zuständen $\mathscr{H}$ und für jeden $t$ Wir wählen ein Element aus, das damit gekennzeichnet ist. In der Konstruktion, die ich skizziert habe, ist das nicht der Fall. Die Zustände selbst sind Funktionen der Zeit. Also die Funktion $\Psi$ - der ein Zustand ist - der auf der Raumzeit definiert ist (und der daher von der Zeit abhängt), ist ein einziges Element von $\mathscr{H}$ . Nicht viele sind nach Zeit parametrisiert. Das ist es, was ich schwer mit nicht-relativistischer QM in Einklang bringen kann.
Nein, es ist nur ein Perspektivwechsel. Ist $|x, t \rangle$ wirklich "der Staat $|x \rangle$ als Funktion von $t$ " oder "ein Zustand für jedes Paar $(x, t)$ "? Es gibt absolut keinen wesentlichen Unterschied in Bezug auf die Berechnungen, die Sie am Ende durchführen.
Sind Sie sicher, dass die Zustände auf M und nicht nur auf Sigma definiert sind? Sigma scheint eine 3D (raumähnliche) Hyperfläche und ein normaler Vektor ('Zeit') darauf zu sein.

Benutzer1504 · Answer 1

Ich denke, es ist wahrscheinlich am besten, das Quantum fallen zu lassen und einfach zu verstehen, was hier in der klassischen Umgebung vor sich geht.

In der klassischen Mechanik nehmen wir üblicherweise einen durch Anfangswertangaben für die Bewegungsgleichungen zu spezifizierenden Zustand an, z. B. einen Punkt $(x,p) \in T^*\mathbb{R}^3$ für ein einzelnes Teilchen. Da wir aber mit Bewegungsgleichungen arbeiten, für die das Anfangswertproblem gut gestellt ist, haben wir einen Isomorphismus

$\{\mbox{solutions to equations of motion}\} \simeq \{\mbox{initial value data}\},$

wir könnten also die Menge der Zustände genauso gut als Menge der Lösungen der Bewegungsgleichungen definieren. Dies ist eine ebenso gute Möglichkeit, den Zustand des Systems anzugeben. Das tut Wald. Der einzige Unterschied besteht darin, dass er sich in der Quantenumgebung befindet, also Überlagerungen klassischer Zustände betrachtet.

Elio Fabri · Answer 2

$\def\bp{{\bf p}} \def\bx{{\bf x}}$ Ich würde einen gleichwertigen Ansatz vorschlagen, den Sie vielleicht schmackhafter finden werden.

Anstatt mit zu arbeiten

positive Frequenzlösungen der Klein-Gordon-Gleichung, deren Klein-Gordon-Norm endlich ist

wie Wald es tut, könntest du damit umgehen $L^2(V^+,d^3\bp/p^0)$ Wo $V^+$ ist die positive Massenschale im 4-Impulsraum. Dies steht in einer Fourier-3D-Transformationsbeziehung mit Walds $\mathscr H$ :

Ψ (T, X) = \int_{v^{+}} \exp (ich P_{μ} X^{μ}) Φ (P) \frac{D^{3} P}{P^{0}}

$\Psi(t,\bx) = \int_{V^+}\!\exp(i p_\mu x^\mu)\,\Phi(\bp)\>{d^3\bp \over p^0}$ Beachten Sie, dass

p_{0} = + \sqrt{p^{2} + m^{2}}

$p_0 = +\sqrt{\bp^2 + m^2}$ Und

Ψ

$\Psi$ ist als Funktion von definiert

t

$t$ wegen

\exp \dots

$\exp\ldots$ die Zeitentwicklung enthält. Andererseits

Ψ (T, X) = U (T) Ψ (0, X)

$\Psi(t,\bx) = U(t)\,\Psi(0,\bx)$ wie Sie möchten.

Mal sehen, ob ich es hinbekomme. Der Raum $L^2(V^+,d^3\mathbf{p}/p^0)$ hat den Vorteil, dass ein Zustand $\Phi(\mathbf{p})$ hat eine direkte Interpretation als Amplitude für Impuls. Jetzt verhält sich der Übersetzungsoperator genau so $U (A) Φ (P) = e^{ich P_{μ} A^{μ}} Φ (P)$ $U(a)\Phi(\mathbf{p})=e^{i p_\mu a^\mu}\Phi(\mathbf{p})$ . Insbesondere die freie Zeitevolution wird als reine Zeitübersetzung kodiert. Wenn wir also Fourier-transformieren, um Walds Raum zu erhalten, erhalten wir am Ende tatsächlich $\Psi(t,\mathbf{x})$ das ist die Freizeitentwicklung eines Zustands $\Psi(0,\mathbf{x})$ . In diesem Fall können Zustände als angesehen werden $\Psi(0,\mathbf{x})$ . Ist das Ihr Punkt?

yuggib · Answer 3

In relativistischen Theorien sollten Raum und Zeit gleichberechtigt als Koordinaten behandelt werden, das gilt auch für relativistische Quantentheorien.

Daher hängen die Quantenfelder (dh die fundamentalen Observablen in relativistischen Quantentheorien) sowohl von Raum als auch von Zeit als Koordinaten und damit von einem Raumzeitvektor ab $x_\mu = (x_0,\vec{x})$ ersetzt den Raumkoordinatenvektor $\vec{x}$ in nichtrelativistischen Theorien verwendet.

Dies lässt sich bis zu einem gewissen Grad auch auf Quantenzustände übertragen, das sind (nicht kommutative) Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die auf Observablen wirken (die aus Raumzeitfeldern gebildet werden). Die Unterscheidung "bis zu einem gewissen Grad" beruht auf der Tatsache, dass in der relativistischen Quantenmechanik, da Teilchen erzeugt und vernichtet werden können, die Felder und nicht (die Quantenversion von) Koordinaten und Impulsen die grundlegenden Observablen der Theorie sind, auf denen Zustände beruhen wirken auf.

Das Konzept der Zeitentwicklung in der relativistischen Quantenmechanik wird also etwas subtiler als im nicht-relativistischen Fall. Dies liegt an der Tatsache, dass es unklug wäre (genauer gesagt, nicht unbedingt kovariant), die Entwicklung in Bezug auf die Zeit eines festen Rahmens zu charakterisieren.

Ein relativistisches Quantensystem in der Minkowski-Raumzeit wird durch zwei Dinge spezifiziert: eine Darstellung der Poincaré-Gruppe, die etwas abstrakt in der Algebra der Observablen definiert ist; und ein reiner Zustand, der unter der (adjungierten) Aktion der Poincaré-Gruppe unveränderlich ist. Ein solcher Zustand, der sogenannte Vakuumzustand , bestimmt die Darstellung von Zuständen als Hilbert-Raumvektoren und bestimmt eindeutig die betrachtete Theorie. Der Generator der Zeitverschiebungen der Poincaré-Gruppe ist in einer solchen Darstellung der Hamilton-Operator des Systems. Das Vakuum für wechselwirkende Theorien zu finden, ist eines der schwierigsten und noch immer offenen Probleme der mathematischen und theoretischen Physik. Für freie Theorien ist das Vakuum das Fock-Vakuum, und dies rechtfertigt daher die vom OP erwähnte Konstruktion.

In gekrümmter Raumzeit ist die Situation noch komplizierter, da es keine Symmetriegruppe mehr für die Raumzeit gibt und man daher ein geeignetes Analogon des Vakuumzustands finden sollte. Für freie Theorien werden die sogenannten Hadamard-Zustände verwendet.

Danke @yuggib. Aber sehen Sie, nach Walds Konstruktion ist ein Zustand eine Funktion von Raum und Zeit $\phi(t,\mathbf{x})$ was die KG-Gleichung löst und für den Trägheitsbeobachter eine positive Frequenz hat. Hier haben wir also zumindest eine natürliche Vakuumkonstruktion. Doch wie interpretieren wir einen solchen Zustand? Ich sehe nicht, wie ich das sagen soll $|\phi(t,\mathbf{x})|^2$ ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte für die Position wie in der nichtrelativistischen QM, da wir keine Positionsobservablen haben.
@ user1620696: Sie vergessen eine wichtige Sache, die von Wald erwähnt wurde, nämlich den Fock-Platz einzunehmen $\mathcal{F}$ über den Raum $\mathcal{H}$ die Ihre klassische KG-Lösung enthält $\phi(t,\mathbf{x})$ . Das Ding, dessen quadratisches Modul eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation hat, gehört dazu $\mathcal{F}$ nicht $\mathcal{H}$ .

Peter Krawtschuk · Answer 4

Eine Funktion ist eine Funktion, kein Zustand. Es wird gesagt, dass Zustände in einer Eins-zu-eins-Entsprechung mit solchen Funktionen stehen. Es wird nicht gesagt, dass ein Zustand zur Zeit $t$ wird durch die Funktion zum Zeitpunkt beschrieben $t$ . Stellen Sie sich vor, Sie arbeiten im flachen Raum mit den üblichen Erzeugungs-Vernichtungs-Operatoren. Für jeden Erzeugungsoperator gibt es einen Ein-Teilchen-Zustand. Es gibt auch einen Feldmodus, der eine Funktion von ist $x$ Und $t$ , für jeden Erstellungsoperator. Dieser Modus ist die Funktion, die Wald übernimmt, wenn ich das richtig verstehe. Das bedeutet nicht, dass Erstellungsoperatoren von der Zeit abhängen, und daher bedeutet es nicht, dass die Zustände, die sie erstellen, von der Zeit abhängen. Alles ist im Heisenberg-Bild.

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