Zunächst einmal: Wie definiert man einen Operator in einem Hilbertraum? Dies ist nur eine mathematische Frage und die Antwort ist einfach: Wir haben einen Hilbert-Raum zur Hand , dann definieren wir eine Funktion das ist linear , seine Domäne zu sein.
Dann müssen wir die Funktion definieren. Mit anderen Worten, wir müssen sagen, wie wirkt auf . Das heißt, wir müssen was sagen ist für jeden . Normalerweise tun wir dies, indem wir eine Regel im Sinne eines Generals aufstellen , vielleicht anhand einer Grundlage, oder manchmal können wir dies auf indirekte Weise tun.
Was das Definieren einer Funktion betrifft, geschieht dies in der gesamten Mathematik: Um eine Funktion zu definieren, benötigen wir eine Menge, und dann definieren wir die Funktion auf einer Teilmenge dieser Menge. Es ist also nicht möglich, eine Funktion zu definieren, wenn wir nicht vorher wissen: (i) die Menge , (ii) die Domäne und (iii) die Reichweite .
Im Fall von Hilbert-Räumen gilt: ist ein bekannter Hilbert-Raum zum Problem, ist die Domäne des Betreibers und . Lassen Sie uns anrufen die Menge aller Operatoren auf dem Hilbertraum .
Das ist nur Mathematik. Was brauchen wir nun, wenn wir ein Feld von Operatoren in der Raumzeit definieren wollen ? Nun, nach dieser Logik (die die Standardmathematik ist, nichts Ausgefallenes ) brauchen wir eine Funktion . Aber warten Sie eine Minute, um diese Funktion zu erstellen, müssen wir sagen, wie sie funktioniert. Mit anderen Worten, für jedes Ereignis wir müssen was sagen ist .
Gut, also wie sagen wir, was ist ? Es ist ein Operator in . Daher zu definieren wir müssen sagen, wie es wirkt , in seiner Domäne . Mit anderen Worten, wir müssen für jeden angeben was ist die aktion für jede , sonst haben wir nicht definiert überhaupt.
Man kann argumentieren, dass Quantenfelder als operatorwertige Verteilungen betrachtet werden müssen, obwohl ich mir immer noch nicht sicher bin, ob dies der Standardansatz ist, aber das Problem bleibt bestehen und es ist dasselbe. Das Quantenfeld definieren wir müssen sagen, wie es wirkt für jede Testfunktion und jede .
Und natürlich brauchen wir . Obwohl dies weniger wichtig ist, da alle Hilbert-Räume gleicher Dimension isomorph sind. Auf der anderen Seite wirklich definierend es ist lebenswichtig.
Jetzt kommt die Frage: Was machen Physiker in der QFT? Sie wählen ein Skalarfeld aus und sagen: "ok, jetzt machen wir eben zu gehorchenden Operatoren werden und wir sind fertig.“ Es ist noch mehr getan!, schreibt einer in Bezug auf andere Betreiber , die ebenfalls nicht bekannt sind und sich auf das Kommutierungsverhältnis beziehen. Dann stellen Sie sich vor: "Gut, der nächste Schritt besteht natürlich darin, diese Operatoren zu definieren", und es wird nichts getan , alle Operatoren bleiben mit den vorgeschlagenen Kommutierungsbeziehungen undefiniert. Wie kann man Kommutierungsbeziehungen haben und die Operatoren nicht haben?
In der Quantenmechanik kann ich das sogar akzeptieren. Der Zustandsraum ist per Postulat vorhanden, die Observablen sind per Postulat vorhanden, und wir nehmen sie alle an (wir können uns sogar auf das Stone-von-Neumann-Theorem berufen, wenn wir strenger sein wollen). In QFT haben wir ein Feld, also brauchen wir die funktionale Abhängigkeit , und weder noch sind immer definiert.
Insofern bin ich echt verwirrt. Was bedeutet eigentlich für Physiker im Kontext der QFT, ein Feld zu definieren ? Wie kann man mit operatorwertigen Feldern (Verteilungen) arbeiten, wenn man nur sagt, dass Kommutierungsbeziehungen eingehalten werden, ohne jemals die Felder und Operatoren zu definieren? Was ist hier eigentlich los?
Sie müssen keine Objekte definieren, wenn Sie davon ausgehen, dass sie existieren. Ich weiß, das klingt albern, aber das ist es, was Axiome für uns tun – sie geben uns Dinge, ohne dass wir diese Dinge konstruieren oder rechtfertigen müssen, in Mathematik und Physik gleichermaßen. Grundsätzlich gehen wir in der Quantenfeldtheorie davon aus , dass uns die operatorwertigen Felder übergeben werden, die auf einen Hilbert-Raum wirken. Das sind die ersten beiden Wightman-Axiome : Zustände sind Strahlen im Hilbert-Raum und ein "Feld" ist eine Verteilung mit Werten im Raum der Operatoren . Mehr ist in einer generischen QFT nicht bekannt - wir können es nicht beschreiben ausdrücklich, und die Wirkung der Felder ist uns im allgemeinen Fall ebenfalls rätselhaft.
Man könnte sagen, dass genau das die QFT gegenüber der Quantenmechanik mit endlich vielen Freiheitsgraden grundlegend erschwert. Dank des Stone-von-Neumann-Theorems nur unter der Annahme, dass es Operatoren gibt Das Erfüllen der kanonischen Kommutierungsbeziehungen auf einem Raum lässt uns wissen, dass dieser Raum einheitlich äquivalent ist zu Und Und handeln meine Multiplikation und Differenzierung, was bedeutet, dass wir Zustände als Wellenfunktionen usw. betrachten können. QM in endlich vielen Freiheitsgraden ist konkret in dem Sinne, dass wir den Raum von Zuständen und die auf sie wirkenden Operatoren explizit aufschreiben können. Aber wir definieren nicht Und Um a priori so zu handeln, ist es das SvN-Theorem, das uns die Macht dazu verleiht.
Die eigentliche Axiomatisierung dieser Einstellung, also die Annahme der Existenz von körperlosen „Operatoren“ mit Vertauschungsbeziehungen ohne definierten Raum, auf den sie wirken, besteht darin, Quantentheorien als die Theorie bestimmter linearer Funktionale (Zustände, Erwartungswerte) weiter zu axiomatisieren -Algebren . eine Zusammenfassung -Algebra wirkt auf nichts , und Zustände sind lediglich lineare Funktionale darauf, die der Annahme von Erwartungswerten entsprechen. Dies ist eine "intrinsische" Sichtweise der Quantenmechanik, die nichts anderes als die Struktur der Operatoren als Algebra annimmt - es gibt keinen Hilbert-Raum, keine Operatoren, die auf irgendetwas einwirken, nichts, also stellt sich von diesem Standpunkt aus die Frage, wie " Ein Quantenfeld definieren" sieht einfach albern aus - Sie schreiben die Generatoren der Algebra und ihre Beziehungen auf, und das war's (Modulo, das die Banach-Struktur darauf definiert). Der Kontakt zur vertrauteren Welt der Hilbert-Räume wird über den Begriff von hergestellt -Darstellungen und insbesondere der GNS-Aufbau .
In der QFT, also der Quantenmechanik mit unendlich vielen Freiheitsgraden, fehlt uns die Kraft von Stone und von Neumann. Es gibt unzählbar viele einheitlich inäquivalente Darstellungen des CCR (dies ist ein Aspekt des Satzes von Haag ), daher können wir keine spezifische Wirkung des Felds auf einen bestimmten Raum aufschreiben, indem wir einfach annehmen, dass der Raum und die Felder existieren. Also konstruieren wir explizit das freie Feld (das Sie als erste Definition der wie die Leiteroperatoren auf einem Fock-Raum, dann das Feld zusammensetzen) und schlaue Tricks anwenden, um daraus irgendwie Erkenntnisse über die interagierenden Theorien zu gewinnen, zB durch die LSZ-Formel, die wirklich der Eckpfeiler des kanonischen Formalismus der QFT ist.
Wenn Sie sich nun Sorgen darüber machen, wie Physiker die mit bestimmten Lagrangianern verbundenen Felder "definieren", dann kommt die LSZ-Formel einer Antwort am nächsten - über LSZ erhalten Sie alle Vakuumerwartungswerte oder "Wightman-Funktionen" und die Der springende Punkt der Wightman-Axiome ist gerade, dass sie den Wightman-Rekonstruktionssatz gelten lassen, der besagt, dass die n-Punkt-Funktionen ausreichen, um die Felder zu rekonstruieren. Nun sind physikalische Theorien leider selten als Wightman-Theorien bekannt, aber dies ist der Fahrplan dafür, wie Sie rigoros hoffen würden, Quantenfelder im Wightman-Ansatz zu definieren.
In der abstrakten Umgebung müssen Sie jedoch nicht die Felder als Funktionen selbst definieren, sondern deren -Algebra. Und angesichts einer Sammlung klassischer Felder und einer Lagrange-Funktion erhalten Sie eine Vorstellung von Kommutierungsbeziehungen, indem Sie das CCR / CAR zwischen den Feldern und ihren kanonischen Impulsen und damit einer Algebra verwenden. Im abstrakten Rahmen gibt es also auch bei Quantenfeldern nicht viel zu definieren.
yuggib