Wie ändern sich Schöpfungsoperatoren mit der Zeit in einer Interaktionstheorie?

Betrachten wir der Einfachheit halber eine reelle, skalare Feldtheorie (und metrische Signatur$+ - - -$). In der freien Theorie kann man die Modenentwicklungen des Feldes verwenden$\phi(x)$und sein kanonisch konjugierter Impuls$\pi(x)$die folgenden Ausdrücke für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren abzuleiten:

$$a(p)=i\int d^3x\ e^{ipx}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x),\ a^\dagger(p)=-i\int d^3x\ e^{-ipx}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x)$$ Wo $g\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}f:=g\partial_0f-(\partial_0 g)f$. Diese Beziehung ist in der Freifeldtheorie immer wahr (und exakt).

In der Interaktionstheorie geht man davon aus – normalerweise begleitet von einem mit der Hand winkenden Argument über das „Ausschalten von Interaktionen in der fernen Vergangenheit und Zukunft“ – dass diese Beziehungen immer noch asymptotisch (dh als$t\to \pm \infty$). Jetzt wollen wir herausfinden, wie viel$a$Und$a^\dagger$ändern sich mit der Zeit, daher berücksichtigen wir Folgendes:

$$\Delta a(p)=a(p,\infty)-a(p,-\infty)=\int\partial_0 a(p,t)\ dt=i\int d^4x\ \partial_0 \left(e^{ipx}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x)\right)$$ Man schreibt diese Ableitungen einfach aus und verwendet eine zusätzliche Annahme über das Verhalten von $\phi(x)$im Unendlichen, um einige Begriffe zu stornieren und schließlich anzukommen $$\Delta a(p)=i\int d^4x\ e^{ipx}(m^2+\partial^2_t-\partial_i^2)\phi(x)=i\int d^4x\ e^{ipx}(\square+m^2)\phi(x)$$ Das zeigt sich sofort $\Delta a(p)$ist in der freien Theorie Null, da das freie Feld der Klein-Gordong-Gleichung gehorcht $(\square+m^2)\phi=0$, was die Tatsache widerspiegelt, dass $a(p)$ist in diesem Fall zeitunabhängig. In einer Wechselwirkungstheorie ist die Bewegungsgleichung jedoch anders und (im Allgemeinen) nichtlinear (z $(\square+m^2+\lambda\phi^3)\phi=0$im Fall von $\phi^4$-Theorie), also $\Delta(p)$verschwindet im Interaktionsfall nicht. Es ist leicht, einen sehr ähnlichen Ausdruck für abzuleiten $\Delta a^\dagger(p)$, die genauso interpretiert werden können.

Nachtrag (18.12.2014):

Es stellt sich heraus, dass es nicht ganz einfach ist, eine gute Interpretation für die Hauptausdrücke zu finden. Ich glaube jedoch, jetzt ein gutes geistiges Bild gefunden zu haben. Um es etwas klarer zu machen, müssen wir jedoch noch etwas arbeiten. Aus den Ausdrücken für$\Delta a(k)$Und$\Delta a^\dagger(k)$Es ist ziemlich einfach, die LSZ-Reduktionsformel für abzuleiten$N$einfallende Teilchen mit Impulsen$p_i$Und$M$ausgehende Teilchen mit Impulsen$k_i$(im Positionsraum). Wenn man dann eine Fourier-Transformation durchführt, findet man:

$$\begin{align}\langle k_1\dots k_M|S|p_{1}\dots p_{N}\rangle &=(2\pi)^4\delta^{(4)}\Big(\sum P\Big) \prod_{i=1}^M i(k_i^2+m^2)\prod_{j=1}^Ni(p_i^2+m^2)\\ &\hspace{1cm}\times i\tilde G_{M+N, c}(p_1,\dots,k_{M-1})\\ &=(2\pi)^4\delta^{(4)}\Big(\sum P\Big) \Big(i\tilde G_{2, c}^{(0)}(k_1)\Big)^{-1} \dots\Big(i\tilde G_{2, c}^{(0)}(p_N)\Big)^{-1}\\ &\hspace{1cm}\times i\tilde G_{M+N, c}(p_1,\dots,k_{M-1}) \end{align}$$

Hier ist es einfacher, eine Interpretation zu geben. Der letzte "große" Propagator nimmt im Grunde die$N$Anfangsteilchen und lässt sie sich zeitlich entwickeln, einschließlich der Wechselwirkungsterme$M$Teilchen im 'out'-Zustand - es ist im Grunde eine Black Box. Dann ist das Produkt der Umkehrung frei (beachten Sie den hochgestellten Index$(0)$) Propagatoren können so interpretiert werden, dass sie die freie Zeitentwicklung aller Partikel einzeln subtrahieren.

In Anbetracht dessen können wir den Ausdruck for genauso interpretieren$\Delta a$und sein hermitisches Konjugat: Wir können die interpretieren$(\square+m^2)$als „Abziehen“ der „freien“ Zeitentwicklung, wobei nur der Teil beibehalten wird, der auf die Interaktion zurückzuführen ist (wie wir wissen, sollten die freien Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren zeitunabhängig sein). Ich bin mir bewusst, dass das sehr handgewellt ist, aber ich denke, das ist das Beste, was ich tun kann, um eine Intuition dafür zu vermitteln, was "es bedeutet" - natürlich sollte man meistens einfach die Klappe halten und rechnen ;)