Was ist ein nichtlineares σσ\sigma-Modell?

Lubos hat die Physikfrage beantwortet, aber die Historie ist ausgeschaltet. Der Ursprung des Begriffs „Sigma-Modell“ für eine Feldtheorie, bei der die Skalarwerte auf einer Mannigfaltigkeit liegen, stammt von Gell-Mann und Levys 1960 erschienenem Artikel „The Axial Vector Current in$\beta$-Decay", die zwei Modelle einführte.

Das erste davon wird als "lineares Sigma-Modell" bezeichnet und ist ein renormiertes Heisenberg-inspiriertes mexikanisches Hutmodell für ein Pion-Kondensat. Das Modell hat vier Felder,$\phi^i$mit i=0,1,2,3, die ein reguläres mexikanisches Hutpotential haben, so dass die Vakuumwerte auf einer Sphäre S_3 liegen.

Dies macht 3 Feldrichtungen leicht, und diese Modi sind die drei Pionen und eine Feldrichtung stark, und dieser Modus wurde "Sigma" genannt. Es war ein vorhergesagtes Teilchen, und ich glaube, es wurde mit dem identifiziert$\sigma$(600) Breite Resonanz, außer dass diese Resonanz sehr seltsam ist und von der Liste gestrichen wurde und zu breit ist, um ein echtes Sigma zu sein, daher ist das Modell nicht gut.

Wenn man die Renormierbarkeit ignoriert, ist die Masse der$\sigma$wird eingestellt, indem man die Wand des mexikanischen Hutes potentiell enger oszillierend macht, und im Grenzbereich unendlich schneller Oszillationen schränkt man das nur ein$\pi$Felder zu einer Kugel, und es gibt keine endliche Energie$\sigma$. Diese Grenze ist das nicht-renormalisierbare nichtlineare Sigma-Modell in der Veröffentlichung. Es wurde so genannt, weil es die nichtlineare Version des renormierbaren Sigma-Modells ist, an das Gell-Mann und Levy glaubten, aber es ist eine falsche Bezeichnung, weil die nichtlineare Theorie kein Sigma hat, das ist der springende Punkt, um zum Nichtlinearen zu gehen Ausführung.

Wenn Sie mit einem mikroskopischen nichtlinearen Sigma-Modell und einem Lagrange-Gitter beginnen, erzeugen Sie dynamisch ein Sigma und erhalten über große Entfernungen eine lineare Sigma-Modell-Dynamik. So etwas war Gell-Mann und Levy bereits bekannt. Aber Gell-Mann war sich nicht sicher, was auf kurze Entfernungen vor sich ging, und war offen für eine Art S-Matrix-Ding, das auf der Hadronenskala die Oberhand gewann, wodurch Überlegungen zur Renormalisierbarkeit zweitrangig wurden, also ließ er sogar das nichtlineare Modell als Option obwohl es nicht renormalisierungskonsistent war (das ist meine Meinung zu Gell-Mann, jemand könnte den Typen fragen und eine bessere Meinung bekommen, er lügt nie).

Historisch gesehen war das nichtlineare Sigma-Modell das erste Mal, dass jemand eine Feldtheorie in Betracht zog, bei der die Feldwerte auf eine Mannigfaltigkeit beschränkt waren. Alle anderen derartigen Konstruktionen wurden fortan als nichtlineare Sigma-Modelle bezeichnet und entwickelten sich historisch aus Verallgemeinerungen dieser Konstruktion. Der Begriff "aktuelle Algebra" wird manchmal auch für einen Sonderfall solcher Konstruktionen verwendet, wenn die Mannigfaltigkeit eine Gruppe ist. 1970er Witten sagt 2d Current-Algebra, wenn er meint, dass es dynamische Felder gibt, die Werte in einer Lie-Gruppe annehmen, wie in den WZW-Modellen.

Die moderne Form der Gell-Mann-Levy-Konstruktion ist die Chiral Perturbation Theory, und sie ist eine Niedrigenergie-Annäherung an QCD. Die Pion-Felder sind die chiralen Rotationen des Quark-Kondensats, während die Sigma-Anregung nicht unbedingt notwendig ist, da es sich nicht um eine Symmetriebewegung handelt. Da die SU(2) von chiralen Rotationen topologisch gesehen eine 3-Sphäre ist, unterscheidet sie sich nicht sehr von dem, was Gell-Mann und Levy zuerst vorgeschlagen haben.

Die nichtlinearen Sigma-Modelle erhalten durch Friedans Arbeit ein neues Leben, denn in der Stringtheorie ist die Raumzeit selbst ein Sigma-Modell auf dem Weltblatt. Die nichtlinearen Sigma-Modelle in Friedans Artikel sind qualitativ anspruchsvoller als Gell-Mann und Levy und sollten wirklich einen neuen Namen bekommen. Aber das sind sie nicht. Das ist Geschichte, wir beschäftigen uns damit.

Den Wikipedia-Artikel, den das OP verlinkt hat, finde ich nachvollziehbar und selbsterklärend. Trotzdem nochmal.

Ein nichtlineares Sigma-Modell ist ein Modell, das skalare Felder beschreibt, die eine normalerweise gekrümmte Mannigfaltigkeit aufspannen, die mit einer Riemannschen Metrik ausgestattet ist. Die Riemannsche Metrik$g_{ab}(\Sigma^c)$erscheint im kinetischen Term als Koeffizient der$\partial^\mu \Sigma^a \partial_\mu \Sigma^b$. Solche Modelle können so interpretiert werden, dass sie die Bewegung eines Teilchens oder einer höherdimensionalen Schnur/Brane auf dem gekrümmten Verteiler beschreiben.

Das Wort "Modell" bezieht sich auf eine bestimmte Theorie mit einigen bestimmten Gesetzen der Physik (Lagrange). Es ist „nichtlinear“, weil der kinetische Term nicht einfach bilinear ist; es ist höherer Ordnung und hängt von den Feldern ab und nicht nur von deren Ableitungen. Die Lösungen sind dann auch nichtlinear; Sie können als Bewegung eines Teilchens (oder einer Brane) auf einem gekrümmten Zielverteiler verstanden werden, der nicht auf "geraden Pfaden" verläuft, also nichtlinear ist.

Sie werden Sigma-Modelle genannt, weil der Buchstabe$\Sigma$der für diese Skalarfelder verwendet wird, wird als "Sigma" ausgesprochen. Nun, es war ein kleingeschriebenes Sigma in der wichtigen These von Dan Friedan aus dem Jahr 1980,

http://www.osti.gov/energycitations/servlets/purl/5001689-j6L3sY/5001689.pdf

die kein "sigma" im Titel hatte, aber den Sigma-Buchstaben für die Felder verwendete. Irgendein Buchstabe musste gewählt werden, es war dieser, und die Physiker vermieden aus wirtschaftlichen Gründen redundante Terminologie und benannten das Modell auch nach dem Buchstaben.

Das Vorhandensein nichtlinearer Koeffizienten der kinetischen Terme ist besonders natürlich für Skalarfelder, wo es mit der Riemannschen Geometrie verknüpft werden kann. Ähnliches kann man mit Spinnfeldern nicht machen, zumindest nicht so natürlich. Die nichtlinearen Sigma-Modelle stellen also eine wichtige Klasse dar. Es erscheint in vielen Situationen, in denen die Skalarfelder komplizierter sind als nur "Parameter, die einen flachen Raum beschriften". Die relevante Mannigfaltigkeit, die von den Skalarfeldern aufgespannt wird, kann eine Kugel sein, ein Quotient von Gruppen (z. B. in Supergravitationstheorien), eine beliebige Raumzeit-Mannigfaltigkeit, wenn wir die Stringtheorie durch ein Lagrange-Weltblatt beschreiben, dasselbe für Branen und so weiter.