Was ist eine grundlegende physikalische Definition eines „Potentials“?

Physiker verwenden das Wort „Potenzial“ in unterschiedlichen Kontexten auf unterschiedliche Weise, daher gibt es keine vollständig strenge und allgemeine Definition. Es gibt eine vereinheitlichende Idee, aber leider ist sie so abstrakt, dass Sie ohne etwas fortgeschrittenes Physiktraining wahrscheinlich nicht alle Fachbegriffe und Konzepte verstehen werden.

Die allgemeine Idee ist folgende: Betrachten Sie einen physikalischen Freiheitsgrad$x$, dessen Raum möglicher Werte eine Mannigfaltigkeit bildet$M$. Dann ein "Potenzial" für$x$ist ein Feld$V(x)$definiert an$M$so dass eine Art erste Ableitung$V'(x_0)$sagt dir wie$x$wird "gepusht", wenn es den Wert annimmt$x_0 \in M$.

Beim ersten Kennenlernen von Potenzialen ist es fast immer so, dass der Freiheitsgrad die Position ist${\bf x}$eines klassischen Punktteilchens, der Mannigfaltigkeit$M$ist physischer Raum$\mathbb{R}^3$, das Potenzial$V({\bf x})$ist ein skalares potentielles Energiefeld, und die "irgendeine erste Ableitung" ist der negative Gradientenoperator$-{\bf \nabla}$. In diesem Fall das Potenzial$V(x)$ist einfach eine bequeme Möglichkeit, ein positionsabhängiges konservatives Kraftfeld zu codieren${\bf F}({\bf x}) = -{\bf \nabla}V({\bf x})$.

Aber wenn Sie zu fortgeschritteneren Anwendungen kommen, kann jede davon verallgemeinert werden. Um ein paar Beispiele zu nennen:

1. Statt der Position eines einzelnen Partikels${\bf x}$, kann der physikalische Freiheitsgrad ein Feld sein$\varphi(x)$.
2. Eher als physischer Raum$\mathbb{R}^3$, die Mannigfaltigkeit$M$kann eine echte Teilmenge sein, z. B. für ein Teilchen, das auf die Oberfläche einer Kugel beschränkt ist. Noch abstrakter, es muss überhaupt kein physischer Raum sein; In der Feldtheorie ist die Mannigfaltigkeit die Menge von Werten, die das Feld annehmen kann, was (unabhängig von der Anzahl der räumlichen Dimensionen) sein könnte$\mathbb{R}$für ein Skalarfeld,$\mathbb{R}^n$für ein Vektorfeld oder einen noch abstrakteren "Spinorraum".
3. Eher als ein skalares Feld, das Potenzial$V(x)$könnte ein Vektorfeld sein (wie im Fall des Magnetismus).
4. Anstelle des (negativen) Gradientenoperators könnte die "irgendeine Art erster Ableitung" die (negative) gewöhnliche Ableitung (wie in der Skalarfeldtheorie) oder die Vektorkrümmung (wie im Magnetismus) sein.
5. Anstelle einer Kraft könnte der "Schub" eine Kraft sein, die durch eine geeignete physikalische Eigenschaft des Freiheitsgrades normalisiert ist, wie im elektrischen Feld (Kraft pro Ladungseinheit) oder Gravitationsfeld (Kraft pro Masseneinheit, dh Beschleunigung). Abstrakter könnte es die verallgemeinerte Kraft sein, die in der Euler-Lagrange-Gleichung im Lagrange-Formalismus für Teilchen vorkommt, oder die noch abstraktere, die im Lagrange-Formalismus für Felder vorkommt.

Vielleicht könnte die Verwendung des Wortes „Potenzial“ in der Physik irreführend sein, weil ich denke, dass es folgenden Ursprung hat:

• die „potentielle Energie“ ist der Teil der Energie, der nur von Koordinaten und nicht von Impulsen (oder Geschwindigkeiten oder Ableitungen) abhängt; In diesem Sinne ist das elektrische Skalarpotential fast eine potentielle Energie, es sei denn, es wird mit der Ladung multipliziert (für eine Elementarladung).
• das elektrische Skalarpotential ist auch ein „Grundelement“ des elektrischen Felds, und in diesem Sinne ist das Vektorpotential ein Potential: ein Grundelement des magnetischen Felds; es ist in gewissem Sinne auch eine potentielle Energie, aber auf eine kompliziertere Art und Weise

Ich nehme an, die Antwort, nach der Sie suchen, ist, dass ein Potential ein Grundelement eines Feldes ist, wobei das Feld eine physikalisch beobachtbare Größenfunktion des Raum-Zeit-Punktes ist. Aber die Beispiele, die Sie zitieren, sind Beispiele vom Typ „erster Typ“:

Spezifische Kräfte haben zugehörige Potentiale, einschließlich des Coulomb-Potentials, des Van-der-Waals-Potentials, des Lennard-Jones-Potentials und des Yukawa-Potentials.

Sie sind der Energieteil, der von Positionen abhängt und der „die Kräfte“ erzeugt (sie sind also potentielle Energien), während Skalar- und Vektorpotentiale Primitive eines Feldes (des EM) sind.