Was ist ein Potenzial?

In der Sprache der Vektorrechnung:

Das Wort Potential wird im Allgemeinen verwendet, um eine Funktion zu bezeichnen, die, wenn sie auf besondere Weise differenziert wird, ein Vektorfeld ergibt. Diese aus Potentialen entstehenden Vektorfelder werden als konservativ bezeichnet . Gegeben sei ein Vektorfeld$\vec F$, sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

1. $\nabla \times \vec F=0$
2. $\vec F= -\nabla \phi$
3. $\oint_C \vec F \cdot \text{d}\vec \ell=0$für jeden geschlossenen Kreislauf$C$(daher der Name „konservativ“)

Die Funktion$\phi$darin erscheinen$(2)$heißt Potential von$\vec F.$Somit kann jedes drehungsfreie Vektorfeld als Gradient einer Potentialfunktion geschrieben werden.

Speziell im Elektromagnetismus sagt uns das Faradaysche Gesetz das$\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{ \partial t}$. Für Magnetfelder, die sich nicht mit der Zeit ändern (Elektrostatik), erhalten wir das$\nabla \times \vec E = 0$und somit$\vec E = - \nabla V$wo$V$ist das Potenzial von$\vec E$. Das ist genau das, was wir das elektrische Potential oder "Spannung" nennen, wenn Sie kein Physiker sind. Im Fall der Elektrodynamik wo$\frac{\partial \vec B}{ \partial t} \neq 0$Es existiert immer noch ein Begriff des elektrischen Potentials, da wir das elektrische Feld in die Summe eines Rotationsfelds und eines Solenoidfelds zerlegen können (dies wird als Helmholtz-Theorem bezeichnet). Wir können dann die Maxwell-Gleichungen verwenden, um das zu bekommen$\vec E = - \nabla V- \frac{\partial \vec A}{\partial t}$wo$V$ist das gleiche elektrische Potential und$\vec A$ist ein Vektorfeld, das wir Vektorpotential nennen .

Der Fall der Schwerkraft ist analog. Wenn$\vec g$ist dann ein drehungsfreies Gravitationsfeld (was bei der Newtonschen Gravitation immer der Fall ist).$\vec g = -\nabla \phi$wo$\phi$ist das Gravitationspotential. Dies hängt eng mit der potenziellen Energie der Gravitation in dieser Masse zusammen$m$in das Gravitationsfeld gebracht$\vec g$wird potentielle Energie haben$U=m \phi$.

Elektrisches Potential und elektrische potentielle Energie sind zwei verschiedene Konzepte, die jedoch eng miteinander verbunden sind. Betrachten Sie eine elektrische Ladung$q_1$irgendwann$P$in der Nähe von Ladung$q_2$(Nehmen Sie an, dass die Ladungen entgegengesetzte Vorzeichen haben).
Nun, wenn wir die Anklage freigeben$q_1$bei$P$, beginnt es sich in Richtung Ladung zu bewegen$q_2$und hat somit kinetische Energie. Energie kann nicht durch Magie erscheinen (es gibt kein kostenloses Mittagessen), also woher kommt sie? Es kommt von der elektrischen potentiellen Energie$U$verbunden mit der attraktiven „konservativen“ elektrischen Kraft zwischen den beiden Chages. Zur Berücksichtigung der potentiellen Energie$U$, definieren wir ein elektrisches Potential$V_2$das ist am Punkt eingerichtet$P$gegen Gebühr$q_2$.

Das elektrische Potential besteht unabhängig davon, ob$q_1$ist am Punkt$P$. Wenn wir uns für eine Gebühr entscheiden$q_1$dort ist dann die potentielle Energie der beiden Ladungen auf Ladung zurückzuführen$q_1$und dieses bereits vorhandene elektrische Potential$V_2$so dass: