Gravitationspotential einer Kugel vs. Gravitationsbindungsenergie einer Kugel

Question

Gravitationspotential einer Kugel vs. Gravitationsbindungsenergie einer Kugel

gleich

Meine Frage bezieht sich auf zwei Gleichungen in Bezug auf einheitliche Kugeln, auf die ich gestoßen bin:

$\quad V=\frac{GM}{r},$

Und

$\quad U = \frac{3}{5}\frac{GM^2}{r}.$

1) Einerseits $V$ ist mir unbekannt und wird (in Solved Problems in Geophysics) als "das Gravitationspotential einer Kugel der Masse M" beschrieben. Ich fand es auch online mit dem Titel "das Potenzial aufgrund einer einheitlichen Sphäre".

2) Andererseits $U$ ist das, was ich zuvor gesehen habe, und ich kenne es unter den Bezeichnungen „Potenzielle Energie der Kugelgravitation“ oder „Bindungsenergie der Schwerkraft“.

Mein Verständnis ist das $U$ ist die Menge an Energie, die benötigt wird, um die Kugel Stück für Stück aus der Unendlichkeit zu bauen. erkenne ich auch $GMm/r$ als Gravitationspotential zwischen zwei Massen.

Kann jemand den Unterschied zwischen diesen Konzepten erklären? Wie kann $GM/r$ das "Gravitationspotential einer Kugel" sein? Ist das nicht was $U$ Ist?

Antworten (3)

Gravitationspotential einer Kugel vs. Gravitationsbindungsenergie einer Kugel

Benutzer21299 · Answer 1

In einer Ihrer Formeln ist ein Fehler, $U=\frac{3 G M^2}{5 R}$ mit $R$ gleich dem Kugelradius ist die Energie, die erforderlich ist, um jeden winzigen Fetzen der Kugel auseinanderzublasen, so dass ihre Teile nicht länger gravitativ interagieren, wie Sie sagten, während $V$ wie oben angegeben mit $r$ gleich Abstand vom Kugelmittelpunkt beschreibt, wie die Kugel mit anderen (Himmels-)Körpern interagiert , dh sich im Gravitationsfeld der Kugel bewegende Testteilchen anfühlen $V$ .

Zur Erläuterung: Das Gravitationsfeld um eine Punktmasse und um ein kugelsymmetrisches Objekt ist aufgrund von Symmetrieüberlegungen außerhalb des Objekts gleich, weshalb $V$ stimmt mit der Formel für das Gravitationspotential zwischen 2 Massen überein.

Nun, vielleicht ist meine Verwirrung folgendes ... Was ist der Unterschied zwischen $GM/r$ Und $GMm/r$ ? Die zweite Gleichung ist das, was ich immer als die Gleichung für die potenzielle Energie der Gravitation angesehen habe.
Nun, wenn Sie die Einheiten überprüfen, ist nur die zweite tatsächlich eine Energie. Es ist jedoch nützlich, diese Menge pro Masseeinheit (der Testmasse) zu berücksichtigen, da die Schwerkraft alle Objekte derselben Masse gleichermaßen beeinflusst, sodass wir beide je nach Kontext als Gravitationspotential bezeichnen. Ich denke, die Leute nennen normalerweise denjenigen ohne den Faktor von $m$ "Potenzial" und das andere "potenzielle Energie", um die beiden zu unterscheiden.

QMechaniker · Answer 2

Für eine Kugel mit gleichmäßiger/konstanter Massendichte $\rho$ , hat man

\begin{matrix} (1) & \frac{M}{R^{3}} = \frac{4 π ρ}{3} = \frac{M}{R^{3}} . \end{matrix}

$\tag{1} \frac{M}{R^3}~=~\frac{4\pi\rho}{3}~=~\frac{m}{r^3}.$

Das Gravitationspotential ist

\begin{matrix} (2) & v (R) = - \frac{G M}{R} . \end{matrix}

$\tag{2} V(r)~=~-\frac{Gm}{r}.$

Das infinitesimale Gravitationspotential der Selbstenergie ist

\begin{matrix} (3) & D U = v (R) D M \overset{(2)}{=} - \frac{G M}{R} D M \overset{(1)}{=} - \frac{G M^{\frac{1}{3}}}{R} M^{\frac{2}{3}} D M . \end{matrix}

$\tag{3} dU ~=~ V(r)dm~\stackrel{(2)}{=}~-\frac{Gm}{r} dm~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{GM^{\frac{1}{3}}}{R} m^{\frac{2}{3}}~dm.$

Daher ist das integrierte Gravitationspotential Selbstenergie

\begin{matrix} (4) & U = \int D U \overset{(3)}{=} - \frac{G M^{\frac{1}{3}}}{R} \int_{0}^{M} M^{\frac{2}{3}} D M = - \frac{3}{5} \frac{G M^{2}}{R} . \end{matrix}

$\tag{4} U~=~\int \! dU ~\stackrel{(3)}{=}~ -\frac{GM^{\frac{1}{3}}}{R} \int_0^M m^{\frac{2}{3}}~dm~=~-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}.$

Vielen Dank für diese quantitative Antwort, sie war sehr hilfreich.

Regentropfen · Answer 3

Ich weiß nicht was $U = \frac{3}{5}\frac{GM2}{r}$ In Ihrer Frage ist, aber V scheint nur potenzielle Gravitationsenergie zu sein, die übliche Formel lautet $U=-\frac{GMm}{r}$ was in Ihrem Fall so scheint $M=m$ , und U wird einfach durch V und die Terme auf der rechten Seite positiv statt negativ ersetzt, weil die Definition umgedreht ist (anstelle der Energie, die erforderlich ist, um etwas aus der Kugel in eine unendliche Entfernung zu bringen, kehren Sie sie um, um etwas aus einer unendlichen Entfernung zu bringen die Kugel, also drehen Sie das Vorzeichen von '-' auf '+' auf der rechten Seite der Gleichung $U=-\frac{GMm}{r}$ )

Es scheint, dass Ihr Buch die Konvention von U = Gravitationspotentialenergie einfach nicht verwendet (es hat stattdessen V gewählt).

Siehe Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Potential_energy#General_formula

Unabhängig von Konventionen ist das Gravitations- (und elektrostatische) Potential proportional zu $\frac{1}{r}$ .

Gravitationspotential einer Kugel vs. Gravitationsbindungsenergie einer Kugel

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Benutzer21299

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QMechaniker

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Regentropfen

Benutzer21299

Unterschied zwischen Potenzial und potenzieller Energie mathematisch

Ist die Potentialdifferenz die Differenz der elektrischen potentiellen Energie oder des elektrischen Potentials?

Potenzielle Energie =mgh=mgh= mgh, was ist hhh?

Könnte jemand erklären, was ein Potenzial ist?

Definition des elektrostatischen Potentials

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