Gravitationspotential und Nullpunkte

Ich habe zwei Fragen.

1) Der erste hat mit der Formel zur Ableitung der potenziellen Gravitationsenergie zu tun. Ich habe gelernt, dass wir für die Ableitung der potenziellen Gravitationsenergie bei großen Entfernungen den mathematisch-analytischen Weg verwenden müssen, um einen Ausdruck dafür bei einer bestimmten Entfernung abzuleiten.

Dazu müssen Sie F dot dr von r bis unendlich integrieren. Was ich allerdings nicht verstehe ist folgendes:

  • Warum müssen wir den Nullpunkt bei r = unendlich nehmen? Warum kann ich es nicht von jedem beliebigen Punkt nehmen, um einen allgemeinen Ausdruck für seine GPE zu erhalten, wenn ich integriere?

  • Warum ist die Arbeit, die erforderlich ist, um ein Objekt auf diese Höhe zu schieben, gleich der Schwerkraft mal der Entfernung? Muss ich nicht eine Kraft aufbringen, die die Schwerkraft überwindet, um sie überhaupt anzuheben? Fg * h ist definitiv größer als fg, aber wenn ich Arbeit auf ein Objekt anwende, das gleich Fg * h ist, in die entgegengesetzte Richtung, in die es sich bewegen möchte (in Richtung des COM des dominanten Objekts), woher weiß ich die Größe von dass die Arbeit dazu ausreicht?

Wenn ich versuchen würde herauszufinden, wie viel Energie ich einem Objekt geben muss, um es von einem Punkt im Raum zu einem anderen relativ zu, sagen wir, der Erde zu heben, könnte ich die Energieänderung von den beiden Punkten nehmen. Wenn seine Energie an seinem Anfangspunkt 2 ist und die Energie an dem Punkt, an dem er sein soll, 8 ist, muss ich ihm 6 Joule zuführen. Aber wie bringe ich das mit der Ableitung aus dem obigen Absatz in Einklang?

2) Die zweite Frage hat mit Nullpunkten für potentielle Energie zu tun. Ist dies zulässig, denn solange der Abstand von jedem Objekt relativ zu einem anderen gleich ist, egal wo ich einen Nullpunkt platziere, wird alles aufgelöst? Wenn an Punkt A Objekt 1 2 Einheiten von Punkt A und Objekt 2 5 Einheiten von Punkt A entfernt ist (alles in, sagen wir, der x-Achse), dann schummele ich nicht, indem ich Punkt B an der Position von Objekt 1 nehme und sagen, dass Objekt 2 jetzt 3 Einheiten von Punkt B entfernt ist, richtig? Würde sich dann hier aber nicht seine potentielle Energie ändern? Das ist okay, weil es alles relativ ist, oder? Aber die Größenordnung ändert sich. das ist okay?

Antworten (2)

1) Punkt 1: Wir brauchen das nicht zu setzen 0 zeigen auf unendlich. Da es sich um potentielle Energie handelt, können wir sie auf einstellen 0 wohin wir wollen. Dies liegt daran, dass das Hinzufügen einer Konstanten zur potentiellen Energie die beteiligte Kraft nicht ändert (da F = − D U D R ). Der Grund, warum sich so viele Menschen dafür entscheiden, ist, dass wir normalerweise an einer Änderung der potenziellen Energie interessiert sind und nicht an einem absoluten Wert davon. Wenn wir setzen U = 0 bei Unendlich dann läuft alles gut. Zum Beispiel im Fall der Schwerkraft in großen Maßstäben, U = − G M 1 M 2 R . Dieser Ausdruck geht zu 0 als R geht ins Unendliche. Daher können wir uns anschauen U ( R ) als eine Änderung der potentiellen Energie von unendlich, und wir müssen keine willkürliche Konstante im Auge behalten. Die Änderung der potentiellen Energie zwischen zwei Punkten im Raum wird

Δ U = U ( R 2 ) − U ( R 1 ) = − G M 1 M 2 R 2 + G M 1 M 2 R 1

Wollten wir einstellen U = 0 woanders, dann haben wir immer eine willkürliche Konstante, die uns folgt, aber dann verschwindet sie, wenn wir Änderungen in der potentiellen Energie finden. Sagen wir U = 0 irgendwann R = R 0 . Dann ist unsere Funktion der potentiellen Energie U ( R ) = − G M 1 M 2 R + G M 1 M 2 R 0 . Dies ist physikalisch vollkommen gültig, aber wir erhalten das gleiche Ergebnis wie zuvor für die Änderung der potentiellen Energie zwischen zwei Punkten im Raum:

Δ U = U ( R 2 ) − U ( R 1 ) = − G M 1 M 2 R 2 + G M 1 M 2 R 0 + G M 1 M 2 R 1 − G M 1 M 2 R 0
Δ U = − G M 1 M 2 R 2 + G M 1 M 2 R 1
Deshalb setzen wir einfach U = 0 im Unendlichen, da dies am einfachsten ist (ähnlich wie wir potentielle Energie auf setzen 0 wenn sich eine Feder im Ruhezustand befindet).

1) Punkt 2: So finden Sie im Allgemeinen nicht die Arbeit, die geleistet wird, um etwas gegen die Schwerkraft zu drücken, aber wir können einige Annahmen treffen, um dorthin zu gelangen, wo es scheint, als müssten Sie sein. Im Allgemeinen ist die von jeder Kraft verrichtete Arbeit ∫ F → ⋅ D R → . Wenn Sie also mit etwas Kraft auf das Objekt drücken, dann bestimmen Sie so die von Ihnen geleistete Arbeit, wenn Sie nichts anderes wissen. Wenn Sie wissen, dass die einzigen Kräfte, die auf das Objekt einwirken, Ihre und die Schwerkraft sind, können Sie die Energieeinsparung als weitere Möglichkeit nutzen, um die geleistete Arbeit zu erhalten:

W T Ö T = Δ K = W M e + W G R A v = W M e − Δ U
wobei K die kinetische Energie ist. Wenn das Objekt mit der gleichen Geschwindigkeit startet und stoppt, können wir weiter gehen:
W M e = Δ U
Und hier werden Sie wahrscheinlich verwirrt. In dem Fall, wo wir uns in der Nähe der Erde befinden, dann W M e = M G Δ H . In dem Fall, wo wir weiter von der Erde entfernt sind, W M e = − G M 1 M 2 R 2 + G M 1 M 2 R 1 . Ihr Problem könnte also darin bestehen, dass Sie versuchen, das erste (eine Annäherung) anzuwenden, wenn Sie wirklich das zweite anwenden müssen.

2) Ich bin etwas verwirrt über die Formulierung hier, aber wenn ich verstehe, was Sie fragen, fragen Sie sich nur, ob Sie wo ändern können U = 0 ist definiert. Wie schon gesagt, das ist völlig in Ordnung! Du musst nur darauf achten, dass du konsequent bleibst. Die absoluten Werte Ihrer potentiellen Energien können sich ändern, solange die relativen Werte zwischen den Punkten konstant bleiben.

(Nebenbemerkung: Sie können auf Probleme stoßen, wenn Sie versuchen, U = 0 im Unendlichen, wenn Ihre Massenverteilung auch im Unendlichen ungleich Null ist, aber da wir nur die Schwerkraft um die Erde herum betrachten, sollte es uns gut gehen)

In der Newtonschen Physik können Sie die potentielle Energie beliebig zu Null wählen. Aber in der relativistischen Physik trägt die potentielle Energie zur Gesamtenergie bei und beeinflusst somit die invariante Masse. Relativistisch gesehen muss die potentielle Energie im Unendlichen zu Null angenommen werden. Sonst bekommt man zB für ein Wasserstoffatom nicht die richtige Masse, wenn man die Wirkung der elektrostatischen potentiellen Energie betrachtet.
@GSmith Ja danke. Ich werde bearbeiten, wenn das OP angibt, dass es an der Relativitätstheorie und nicht an der Newtonschen Physik interessiert ist.

1a) Sie müssen es von unendlich nehmen, um alle GPE zu berechnen. Wenn Sie es nur von einem beliebigen Punkt nehmen, wird die Energie, die erforderlich ist, um sich von diesem Punkt bis ins Unendliche zu bewegen, nicht berücksichtigt.
1b) Verrichtete Arbeit ist gleich der Nettokraft-Zeit-Distanz. Wenn ein Gegenstand fällt, ist die Nettokraft g. Wenn ein Objekt angehoben wird, enthält die Nettokraft einen Begriff für -g, kann jedoch je nach dem zum Anheben des Objekts verwendeten Mechanismus beliebig groß sein. Wenn eine große Kraft verwendet wird, wird diese GPE überwinden und auch kinetische Energie KE induzieren.
Wenn Sie GPE an zwei Positionen subtrahieren, hebt sich die Integration bis unendlich auf - Sie können also tatsächlich nur von einer zur anderen integrieren, um eine Änderung in GPE zu erhalten, a δ G P E
2) Sie müssen radial in Bezug auf den Massenmittelpunkt integrieren, und mit GPE, das weiter von der Masse entfernt höher ist, also radial nach außen. Wie Sie erraten haben, ist es nicht in Ordnung, dies zu ändern, es sei denn, der Massenmittelpunkt hat sich bewegt.
Genau genommen (für eine nicht ausgedehnte punktartige Masse) ist der Massenmittelpunkt nicht Null GPE, Null GPE ist ein Punkt im Unendlichen; vielmehr ist der Schwerpunktpunkt ein negatives Minimum.

Gravitationspotential und Nullpunkte
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