Könnte jemand erklären, was ein Potenzial ist?

Ich denke, die allgemeinste Definition eines Potenzials ist eine Größe, die, wenn sie auf eine bestimmte Weise differenziert wird, eine andere Größe ergibt, an der wir interessiert sind.

Andere Antworten haben bereits Beispiele für Potentiale gegeben, die, wenn sie in Bezug auf die Position differenziert werden, eine Kraft ergeben (dh$\vec F = -\nabla U$, wobei das Minuszeichen nur konventionell ist). Solche Objekte werden potentielle Energien genannt und sind etwas Besonderes, weil sie zur Gesamtenergie eines Systems beitragen.

Andere Beispiele für Potentiale sind Skalar- und Vektorpotentiale$\phi$Und$\vec A$vom Elektromagnetismus. In der Elektrostatik definieren wir$\phi$so dass$\vec E =-\nabla \phi$, und in der Elektrodynamik definieren wir$\vec B = \nabla \times \vec A$. Wieder sehen wir, dass wir physikalische Größen erhalten (in diesem Fall$\vec E$Und$\vec B$) durch Differenzieren der Potentiale ($\phi$Und$\vec A$). Beachten Sie, dass diese Potentiale nicht automatisch Energien entsprechen – wie sich herausstellt$\phi$kann als elektrostatische potentielle Energie pro Ladungseinheit interpretiert werden (zumindest in der Elektrostatik), aber das Gleiche gilt nicht für$\vec A$.

Wir können auch die thermodynamischen Potentiale berücksichtigen, die die innere Energie beinhalten$U$, das Helmholtz-Potential$F$, die Enthalpie$H$, und das Gibbs-Potential$G$. Jede dieser Größen kann unter bestimmten Bedingungen als eine Art Energie interpretiert werden, aber wir bezeichnen sie als Potenziale, weil wir, wenn wir sie in Bezug auf verschiedene Variablen differenzieren, andere thermodynamische Größen wie Druck, Temperatur und Volumen erhalten:

und so weiter und so fort.

Als letztes Beispiel, das nichts mit Energie zu tun hat, betrachten wir das Geschwindigkeitspotential $\Phi$die verwendet wird, wenn es um rotationsfreie Flüssigkeitsströmungen geht. Die Strömungsgeschwindigkeit$\vec u$der Flüssigkeit ist gegeben durch$\vec u = \nabla \Phi$; Dies kann die Navier-Stokes-Gleichungen vereinfachen und ist analog zur Verwendung des magnetischen Skalarpotentials in der Magnetostatik.

Sie fragen sich vielleicht, warum wir jemals Potenziale verwenden, anstatt die Mengen zu berechnen, an denen wir direkt interessiert sind; Die Antwort ist, dass die Mathematik oft so aufgeht, dass die Potenziale wesentlich einfacher zu berechnen sind. Beispielsweise sind potentielle Energien Skalare, während Kräfte Vektoren sind; das Vektorpotential$\vec A$gehorcht einer einfacheren Differentialgleichung als$\vec B$weil die Gleichungen für die verschiedenen Komponenten voneinander entkoppelt werden können; die thermodynamischen Potentiale können aus der Zustandssumme und verschiedenen einfachen Legendre-Transformationen erhalten werden.

Die allgemeinste Definition von potentieller Energie, die es gibt, ist die folgende: Potenzielle Energie ist die Energie, die mit einer bestimmten Konfiguration von Objekten verbunden ist . Elektrische potentielle Energie ist mit einer Konfiguration von Ladungen verbunden, potentielle Gravitationsenergie ist mit einer Konfiguration von Massen verbunden und elastische Potential ist mit einer bestimmten Masse-Feder-Konfiguration verbunden.

Man extrahiert potenzielle Energie aus einer Konfiguration, indem man die Positionen (oder andere relevante Attribute) der Objekte in dieser Konfiguration ändert. Sie können beispielsweise elektrische potentielle Energie aus einer Ladungskonfiguration extrahieren, indem Sie abstoßende Ladungen weiter weg und anziehende Ladungen zusammen bewegen. Sie können potenzielle Gravitationsenergie aus einer Massenkonfiguration extrahieren, indem Sie die Massen näher zusammenrücken. In ähnlicher Weise können Sie elastische potentielle Energie aus einer Masse-Feder-Konfiguration extrahieren, indem Sie die Masse in Richtung ihrer Gleichgewichtsposition bewegen. Wenn Sie einer dieser Konfigurationen potenzielle Energie hinzufügen möchten, tun Sie einfach das Gegenteil des oben Gesagten.

Um Ihre letzte Frage zu beantworten, kann im Prinzip jede differenzierbare Funktion potentielle Energie als Funktion der Konfiguration darstellen. Ob diese Funktion ein physikalisches System beschreibt, das wir beobachtet haben, ist eine andere Geschichte.

Ein Potential im Sinne von "Gravitationspotential" oder "elektrisches Potential" ist einfach eine skalierte Version der potentiellen Energie. Es ist eine Funktion, die die potentielle Energie eines Systems als Funktion der Konfiguration beschreibt, geteilt durch eine Größe, die sich auf eines oder mehrere der Objekte bezieht (zum Beispiel ist das Gravitationspotential die potentielle Energie der Gravitation geteilt durch die Masse eines der Objekte). , und das elektrische Potential ist die elektrische potentielle Energie dividiert durch die Ladung eines der Objekte). Es ist einfach eine bequemere Art, die potentielle Energie eines Systems zu beschreiben, wenn Sie gezwungen sind, (normalerweise) nur einen der Parameter des Objekts zu variieren. Als solches ist es immer noch nur eine skalierte Form der Energie, die mit einer Konfiguration verbunden ist,

Ein skalares Potential, dessen Gradient die Kraft ist, existiert in vielen Bereichen der Physik, zum Beispiel Wärmeleitung, statischer Magnetismus, statische Elektrizität usw. In all diesen Fällen ist der Gradient (oder negative Gradient) des Potentialfelds die Kraft, die sich „bewegen“ kann „Dinge von hier nach dort.

Zum Beispiel im statischen Magnetismus, wie er durch das Ampere-Gesetz beschrieben wird (Steady-State-Fall)$\textrm{curl}\textbf{H}=\textbf{J}$in Regionen, in denen der Strom Null ist, haben wir auch$\textrm{curl}\textbf{H}=0$daher ein Skalar$\psi$so dass wir zumindest in allen einfach zusammenhängenden Bereichen auch haben$\textbf{H}=\textrm{grad}\psi$. Beachten Sie die Beschränkung auf eine einfach verbundene Domäne, dies würde nicht für eine Domäne gelten, die einen toroidalen Magneten enthält, wäre aber dennoch lokal wahr, und wenn sie lokal berechnet wird, ist das Kraftfeld ein Gradient und diese Kraft kann Dinge bewegen.

Ein weiteres Beispiel ist die nach dem Fourier-Gesetz berechnete stationäre Temperaturverteilung. Wir haben einen Wärmefluss (innere Energie und Entropie), der proportional zum räumlichen Temperaturgradienten ist. Was sich bewegt, ist Wärme (innere Energie + Entropie) und die treibende Kraft hinter dieser Bewegung ist die Temperaturänderung zwischen benachbarten Punkten.

Potenzielle Energie $U$kann als "gespeichert" angesehen werden.

• Heben Sie ein Objekt an, und potentielle Gravitationsenergie wird gespeichert (und freigesetzt, wenn es fällt).
• Wenn Sie eine elektrische Ladung neben eine andere Ladung legen, wird elektrische potentielle Energie gespeichert (und freigesetzt, wenn sich die Ladung aufgrund der Abstoßung / Anziehung weg / näher bewegt).
• Wenn Sie eine Feder zusammendrücken, wird elastische potentielle Energie gespeichert (und freigesetzt, wenn sie auf die ursprüngliche Länge zurückspringt).
• Ähnliches gilt für magnetische, chemische und andere potentielle Energien.

In allen Fällen haben wir ein „Ding“, das sich bewegen will. Sei es eine Masse, eine elektrische Ladung, eine Feder. Wenn sich etwas bewegt, kann es funktionieren. Diese „gespeicherte“ potentielle Energie hat also ein Potential, Arbeit zu verrichten . Das ist meist die klassische Definition.

Potenzielle Energie sagt uns, „wie stark“ sich etwas bewegen möchte. Beachten Sie jedoch, dass es mit einer hohen potenziellen Energie nicht ausreicht; Sie brauchen auch einen Punkt mit einer niedrigeren potentiellen Energie. Sonst würde sich das "Ding" sowieso nicht bewegen wollen. Ein Buch hat keinen Sinn, sich im Regal seitwärts zu bewegen, da alle Punkte im Regal die gleiche potentielle Energie abgeben - aber es möchte fallen, weil am Boden weniger potentielle Energie vorhanden ist. Das System will seine potentielle Energie freisetzen . Also ist nur eine potentielle Energiedifferenz wichtig .

Diese Beschreibung gilt für alle Arten von potentiellen Energien.

Was ist denn ein Potential ? Dasselbe wie potentielle Energie, nur pro Menge. Das heißt, pro Masse, pro Ladung usw. Ein elektrisches Potential ist elektrische potentielle Energie pro Coulomb , ein Gravitationspotential ist *potentielle Gravitationsenergie pro Kilogramm** usw. (Es macht keinen Sinn zu sagen elastische potentielle Energie pro "Menge" - was wäre diese Größe? Dehnung? Dies ist nicht leicht zu definieren und ich habe nie gesehen, dass der Begriff elastisches Potential verwendet wird.)

Schließlich ist die von Ihnen erwähnte Gleichung tatsächlich wahr. Gewalt$F$eine potentielle Energie$U$ist definiert als:

Und in ähnlicher Weise würde Kraft pro Menge gleich dem Differenzpotential sein . Diese Formel sagt einfach mathematisch aus, was wir oben beschrieben haben: Dass das "Ding" sich bewegen will (es fühlt eine Kraft) in Richtung des Punktes niedriger potentieller Energie. Wenn es zwei Punkte mit unterschiedlichen potentiellen Energien gibt, die mit ihnen verbunden sind, dann fühlt das "Ding" eine Kraft in Richtung des niedrigeren Punktes$U$.

Gradientenfelder haben die bequeme Eigenschaft der Pfadinvarianz. Jedes Linienintegral, das innerhalb dieses Feldes von Punkt A nach Punkt B genommen wird, hat den gleichen Wert, egal wie seltsam der Weg ist, den Sie einschlagen.

Sehr oft werden unsere Gesetze der Physik durch Integration gut beschrieben. Wenn wir zum Beispiel Planetenbewegungen untersuchen, möchten wir einen Weg eines Objekts durch ein Gravitationsfeld integrieren. Dies kann mathematisch ziemlich anstrengend sein. Schlimmer noch, Sie wissen vielleicht nicht genau , welchen Weg man durch das Feld nimmt.

Wenn Ihr Feld zufällig ein Gradientenfeld ist (wie Felder wie Gravitationsfelder), dann sind sie pfadinvariant. Die Energie, die ich gewinne oder verliere, wenn ich von Punkt A nach Punkt B gehe, hängt nicht von dem Weg ab, den ich genommen habe, sondern nur von den Endpunkten. Das bedeutet, dass ich einen viel einfacher zu berechnenden Pfad ersetzen kann und zum richtigen Ergebnis komme.

Wenn Sie ein solches System haben, haben Sie ein Potenzial. Wenn Sie einen Referenzpunkt auswählen (z. B. ein globales Minimum oder ein globales Maximum), können Sie diesem einen Wert von 0 zuweisen. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies lediglich, dass Sie das „C“ anpassen, das sich aus der Integration ergibt, um den gewünschten Wert zu erreichen . Jetzt können Sie den Wert jedes anderen Punktes in diesem Raum in Bezug auf diese Null bestimmen. Das ist Ihr „Potenzial“. So viel Energie könnten Sie gewinnen, wenn Sie sich von Ihrer aktuellen Position zur Referenz bewegen würden.

In vielen Fällen lassen sich so die interessanten Fragen beantworten. Tatsächlich können so viele interessante Fragen auf diese Weise beantwortet werden, dass wir dazu neigen, zuerst Energiepotentiale zu lehren und erst später die Mathematik der Pfadinvarianz und der Gradienten zu ergänzen.