Nomenklatur: Yang-Mills-Theorie vs. Gauge-Theorie

Wenn Sie über eine Theorie mit Yang-Mills/Eichenfeldern für eine beliebige reduktive Eichgruppe schreiben, die in irgendeiner Darstellung mit beliebigen Materiefeldern gekoppelt ist, ist es dann am besten, sie als Yang-Mills-Theorie oder als Eichtheorie zu bezeichnen?

Ich habe gehört, dass man sich eher auf eine Theorie ohne Materiesektor bezieht - aber ich kann mich nicht erinnern, welche! Oder sind die Begriffe im Kontext der Quantenfeldtheorie grundsätzlich austauschbar?

Antworten (3)

Kurz gesagt, eine klassische Theorie ist eine Eichtheorie ihrer Feldvariablen φ ich ( X → , T ) haben eine nicht-triviale lokale Eichtransformation, die die Aktion verlässt S [ φ ] Eichinvariant. Üblicherweise wird eine Eichtransformation als kontinuierliche Transformation gefordert.

[Eichtheorie ist ein riesiges Thema, und ich habe nur Zeit, hier einige Erläuterungen zu geben und eine vollständigere Antwort zB auf das Buch "Quantization of Gauge Systems" von M. Henneaux und C. Teitelboim zu verschieben. Mit dem Wort lokal ist gemeint, dass die Eichtransformationen an unterschiedlichen Raum-Zeit-Punkten unabhängig voneinander transformiert werden können, ohne die Transformation der anderen zu beeinflussen (im Gegensatz zu einer globalen Transformation). Mit dem Wort nicht-trivial ist gemeint, dass die Eichtransformation nicht identisch auf der Schale verschwindet. Beachten Sie, dass das Formular keine infinitesimale Eichtransformation enthalten muss

δ ε A μ ( X → , T ) = D μ ε ( X → , T ) ,

es muss sich auch nicht um a handeln A μ Feld. Allgemeiner hat eine infinitesimale Eichtransformation die Form

δ ε φ ich ( X ) = ∫ D D j   R ich A ( X , j ) ε A ( j ) ,

Wo R ich A ( X , j ) sind Lagrange-Eichgeneratoren, die eine Eichalgebra bilden, die wiederum offen und reduzierbar sein kann, und ε A sind infinitesimale Eichparameter. Neben Eichtransformationen, die kontinuierlich mit der Identitätstransformation verbunden sind, kann es sogenannte große Eichtransformationen geben, die nicht kontinuierlich mit der Identitätstransformation verbunden sind, und unter denen die Wirkung möglicherweise nicht immer invariant ist. Letztendlich wollen Physiker die klassischen Eichtheorien quantisieren , indem sie zB den Batalin-Vilkovisky-Formalismus verwenden , aber lassen wir die Quantisierung für eine andere Frage. Auf der Quantenebene treten verschiedene Feinheiten auf, wie z. B. in den Kommentaren unten aufgezeigt wird. Darüber hinaus haben einige Quantentheorien keine klassischen Gegenstücke.]

Die Yang-Mills-Theorie ist nur ein Beispiel von vielen Eichtheorien, wenn auch das wichtigste. Um einige andere Beispiele zu nennen: Die Chern-Simons-Theorie und die BF-Theorie sind Eichtheorien. Die Schwerkraft kann als Eichtheorie angesehen werden.

Die Yang-Mills-Theorie ohne Materie wird als reine Yang-Mills-Theorie bezeichnet.

+1, obwohl ich hinzufügen würde, dass eine Eichtransformation nicht nur die Aktion invariant lässt, sondern auch den Hilbert-Raum. Dies unterscheidet es von einer gewöhnlichen Symmetrietransformation, die die Aktion ebenfalls invariant lässt, aber Zustände auf andere Zustände im Hilbert-Raum abbildet (aktiver Sinn).
+1, aber nur ein pedantischer Kommentar. Die Aktion muss unter Eichtransformationen nicht invariant sein, aber alle Observablen müssen es sein! Zum Beispiel ein S U ( 2 ) Chern-Simons-Theorie S C S [ A ] = k 4 π ∫ M tr ( A ∧ D A + 2 3 A ∧ A ∧ A ) , transformiert unter einem Messgerät Transformationen als S C S [ A ] → S C S [ A ] + 2 π k M , Wo M ∈ N 0 bezeichnet die Homotopieklasse der Eichtransformation (if M eine Grenze hat, wird ein anderer Begriff vorhanden sein). Also wenn k eine ganze Zahl ist, ist die Theorie auf Quantenebene eichinvariant, aber nicht die klassische Wirkung.
Ein Kommentar zur weiteren Terminologie: In manchen Gemeinschaften (z. B. Gittermenschen) wird reines Yang-Mühlen manchmal auch als Gluodynamik bezeichnet , und manchmal sogar redundant als reine Gluodynamik bezeichnet .

Was ich in der Praxis normalerweise gehört habe, ist, dass eine Yang-Mills-Theorie eine Eichtheorie mit einer nicht-Abelschen Eichgruppe ist. Das würde zum Beispiel klassisches E&M disqualifizieren, wo die Eichgruppe ist U ( 1 ) .

Wikipedia hat eine etwas restriktivere Definition, die besagt, dass eine Yang-Mills-Theorie auf einer Eichtheorie basiert S U ( N ) speziell.

Ich bin mir nicht sicher, welche Definition ich nehmen soll. Es hängt wahrscheinlich davon ab, mit wem Sie sprechen. Unabhängig davon basiert die einzige mir bekannte Unterscheidung auf der Art der Eichgruppe und hat nichts damit zu tun, ob es zufällig Materiefelder gibt oder nicht.

Dies erscheint nicht sinnvoll. Wenn ich eine habe U ( 1 ) Eichsymmetrie, aber ein Chern-Simons-Lagrangian, das macht es überhaupt nicht zu Yang-Mills! Es gibt unendlich viele eichinvariante Theorien (kurz Eichtheorien), von denen Yang-Mills ein Sonderfall ist, der sich durch seine Dynamik (Aktion) auszeichnet.
Eigentlich, wenn Sie wirklich pedantisch sein wollen. SU(2) mit dem üblichen Lagrangian ist die Yang-Mills-Theorie. Natürlich ist die Nomenklatur jetzt viel allgemeiner. Aber ja, ich würde sagen, es handelt sich normalerweise um jede SO- oder SU-Gauge-Gruppe mit dem entsprechenden Begriff von Yang Mills, der in der Aktion enthalten ist. Bsp. F Keil F
@Columbia ist richtig. Die Originalarbeit von Yang-Mills war ein Versuch, eine Eichtheorie der nuklearen Wechselwirkungen zu konstruieren, indem lokal die Symmetrie – Isospin – gemessen wurde, unter der ein Proton und ein Neutron ihre Plätze tauschen.

"Yang-Mills-Theorie" ist ziemlich gleichbedeutend mit "Eichtheorie". Man könnte sagen, dass Eichtheorien allgemeiner sind, da wir Yang-Mills-Theorien normalerweise als Eichtheorien von SO- oder SU-Gruppen oder manchmal von einer der anderen klassischen Lügengruppen betrachten. Aber Sie könnten eine Unterscheidung treffen, indem Sie sagen: "Schwerkraft ist eine Eichtheorie, aber keine Yang-Mills-Theorie", da ihre Eichgruppe lokale Poincare-Transformationen wären.

Der Begriff, an den Sie ohne Materie denken, ist wahrscheinlich "reine Yang-Mills-Theorie" oder "reine Eichtheorie".

Ich denke, zu sagen, dass "Yang-Mills-Theorie der Eichtheorie ziemlich äquivalent ist", ist einfach falsch. Es gibt viele Eichtheorien, die nicht vom Yang-Mills-Typ sind (topologische Quantenfeldtheorien, Gittereichtheorien, Gravitation, ..)
Ja, deshalb habe ich gesagt "wir denken normalerweise an ..." und das ganze spezifische Beispiel, das ich gegeben habe, dass die Schwerkraft keine Yang-Mills-Theorie ist ... Aber der Punkt ist, dass es keine klar definierte, vereinbarte Definition dessen gibt, was ein Yang ist - Die Mills-Theorie ist - es ist nur eine Eichtheorie, die wir normalerweise als SO oder SU betrachten, was genau das ist, was ich gesagt habe. Und ich habe sicherlich gehört, dass Gitterleute ihre Theorien Yang-Mühlen nennen, übrigens. Ich denke, die Terminologie ist sowieso eher eine kulturelle als eine definitorische.
Nomenklatur: Yang-Mills-Theorie vs. Gauge-Theorie
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