Box-Normalisierung

Wann immer wir freie Felder untersuchen, sind die Lösungen dieser Felder (oder Teilchen, was sich am bequemsten anfühlt) immer durch ebene Wellen gegeben. Die Dispersionsrelation ω = ω ( k ) hängt natürlich von Ihrer Art von System ab (aber lassen Sie uns das für den Moment ignorieren).

Tatsächlich werde ich das Ganze nicht-relativistisch betrachten (nicht, dass dies notwendig wäre).

Wenn wir unsere Gleichung lösen wollen (lassen Sie mich die Gleichung mit einem Operator bezeichnen L ):

L ψ ( r → , t ) = 0 ,
wo ψ ( r → , t ) ist das Quantenfeld und L ist eine Art Wellengleichung für das freie Feld. Dann können wir obige Gleichung lösen, indem wir die Fourier-Entwicklung des freien Feldes einsetzen:
ψ ( r → , t ) = ∑ k → ψ ( k → ) exp ⁡ ( ich ( k → ⋅ r → − ω ( k → ) t ) ) ,
mit ψ ( k → ) die verschiedenen Fourier-Koëffizienten.

Da wir wollen, dass unsere quantenmechanische Wellenfunktion normalisiert wird (einfacher für die Störungstheorie), erzwingen wir die Normalisierung als:

1 = ∫ d 3 r → ( ψ ∗ ( r → , t ) ψ ( r → , t ) ) .
Betrachten wir den freien Raum (also ein unendliches Vakuum), sind die ebenen Wellen nicht normierbar. Was natürlich ein Problem ist.

Um die ebene Welle normieren zu können, beschränken wir unser System auf einen Kasten mit endlichem Volumen v was wir am Ende der Berechnungen als unendlich annehmen (oder normalerweise eins da v neigt dazu, überall auszufallen). Diese Box ist so gewählt, dass sie quadratisch ist und eine Seite hat L . Jetzt reicht es nicht, einfach eine Box aufzuerlegen, wir brauchen natürlich Randbedingungen. Um den Impuls zu erhalten, legen wir dieser Box periodische Randbedingungen auf

ψ ( x + L , j , z , t ) = ψ ( x , j , z , t ) ,
ψ ( x , j + L , z , t ) = ψ ( x , j , z , t ) ,
ψ ( x , j , z + L , t ) = ψ ( x , j , z , t ) ,
was zu einer Quantisierung der Impulse führt.

Mit dieser Box-Normierung können wir die Wellenfunktion normieren und unsere Berechnungen fortsetzen. Nun ist meine Frage folgende:

Fragen:

  1. Warum nehmen wir immer eine quadratische Box an, wenn wir eine Box-Normalisierung auferlegen?
  2. Ergibt dies die gleichen Ergebnisse wie eine rechteckige Box, bei der die unterschiedlichen Seiten L 1 , L 2 und L 3 sind nicht gleich?
  3. Oder zwingen wir das allen Seiten auf L 1 , L 2 und L 3 aus Gründen der Homogenität und Isotropie des Freiraums gleich sind ?

Hinweis: Bleiben wir der Einfachheit halber bei kartesischen Koordinaten . Dass aus dem Kasten in Kugelkoordinaten eine Kugel und in Zylinderkoordinaten ein Zylinder werden könnte, ist mir klar.

Antworten (1)

  1. Wir gehen von einem quadratischen Kästchen aus, weil es die Argumentation vereinfacht.
  2. Ja, in der Grenze von L 1 , L 2 , L 3 → ∞ dies entspricht einem quadratischen Kästchen im Limit L → ∞ (Wir können den Unterschied zwischen Unendlichkeiten nicht messen). Auch im Limit L → ∞ Die quantisierten Impulse werden schließlich den gesamten Impulsraum abdecken, wodurch die Unterscheidung unnötig wird. (Für einen Fall aus der Festkörperphysik, wo diese Grenze nicht genommen werden kann, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Landau_quantization ).
  3. Nein, die Einführung einer Box bricht sowieso die Homogenität und Isotropie. Das ist aber nicht schlimm, da wir immer am Limit fahren L → ∞ die diese Prinzipien wiederherstellt. Dies ist auch daran zu erkennen, dass die Ergebnisse nur vom Volumen der Box abhängig sind .
Du hast mich beim Abtippen der Antwort geschlagen. Trotzdem +1.
@New_new_newbie Das lass mich sagen: zuerst! :P
@Neuneck Für 2. (was eigentlich meine größte Sorge war) können wir den Unterschied zwischen Unendlichkeiten nicht messen. Aber auch die Quantisierung in den Impulsen ist anders L 1 , L 2 und L 3 abweichen. Wird das nicht zu Problemen führen? Und New_new_newbie, héhé war dort :p.
@Nick Die Zwischenschritte hängen natürlich von deiner Box ab. Aber im Grenzbereich L → ∞ Die quantisierten Impulse werden kontinuierlich und decken schließlich den gesamten Impulsraum ab. An diesem Punkt frühere Unterschiede in L 1 , L 2 , L 3 keine Rolle mehr.
Ach nochmal! Ich wollte schreiben, es spielt keine Rolle, wann Sie das Limit nehmen. :(
@Neuneck, danke, das war was ich gesucht habe :). Ich war mir nicht 100% sicher (ich habe zu viel Zeit zwischen Mathematikern verbracht, dass selbst das Nehmen einer Grenze manchmal eine große Aufgabe für mich ist: p).
Ich habe noch eine Frage: Sind die Ergebnisse im großen Maßstab in Bezug auf die Formen der Grenzen invariant? Quadratisch vs. rechteckig scheinen offensichtlich in Ordnung zu sein. Das System kann jedoch eine Kugel, ein Zylinder usw. sein, wie oben bereits bemerkt ...
@user26143 Ja, solange du das Limit so nimmst, dass deine "Box" am Ende den ganzen Raum abdeckt. Normalerweise sind kartesische Koordinaten jedoch am bequemsten, da andere Geometrien zu unangenehmen Klassen von Funktionen wie sphärischen Bessel-Funktionen oder ähnlichem führen.
@Neuneck, vielleicht eine letzte Frage in meinem Namen. Ich sage, dass die periodische Randbedingung aufgrund der Impulserhaltung am sinnvollsten ist. Aber sind die homogenen Dirichlet-Randbedingungen (Wellenfunktion = 0 an den Kanten) nicht auch eine sinnvolle Wahl? Wenn wir die Grenze einer unendlichen Box nehmen, wollen wir, dass unsere quantenmechanische Wellenfunktion ist L 2 was bedeutet, dass sie an den Rändern verschwinden sollten.
@Nick Ja, andere Randbedingungen sind auch in Ordnung. Beachten Sie jedoch, dass die periodischen Bedingungen sehr gut mit unserer (periodischen) Wellenfunktion funktionieren. Auch hier wählen die Lehrbücher den Weg des geringsten mathematischen Kopfzerbrechens. Um zu befriedigen ψ ( ± L ) = 0 Sie müssen rein ebene Wellen aufgeben, was die Dinge umsonst komplizierter macht. Wenn Sie möchten, dass Ihr Feld tatsächliche physikalische Teilchen beschreibt, müssen Sie sie am Ende sowieso zu einem Wellenpaket zusammenfalten, also haben wir diesen Schritt einfach verschoben, bis es mathematisch einfacher ist.
@Neuneck natürlich, im Limit einer unendlichen Grenze spielen die Randbedingungen sowieso keine Rolle ...
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