Klassische Grenze des kohärenten Zustands im Modell von Jaynes Cummings

Question

Klassische Grenze des kohärenten Zustands im Modell von Jaynes Cummings

Kuriosität

Ich beschäftige mich mit einer Übung zum Modell von Jaynes Cummings in einer resonanten Einmoden-Näherung. Der Wechselwirkungs-Hamiltonoperator in rotierender Wellennäherung ist

\begin{matrix} (ICH) & H_{ich N T} = G σ_{+} A + G^{*} σ_{-} A^{†} \end{matrix}

$H_{int}=g\, \sigma_+\,a\,+g^*\,\sigma_-\,a^\dagger \tag{I}$

Wo $a$ Und $a^\dagger$ sind die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren für den bosonischen Zustand, der als kohärenter Zustand angenommen wird $|\alpha\rangle$ . $\sigma_+$ Und $\sigma_-$ sind die Hebungs- und Senkungsoperatoren für das Atom in der Kavität.

Jetzt muss ich ein paar Berechnungen anstellen und dafür bekomme ich den Hinweis, dass $H_{int}$ kann durch den Erwartungswert ersetzt werden

\begin{matrix} (II) & H_{ich N T} \to H_{C} = ⟨ a | H_{ich N T} | a ⟩ = G σ_{+} a + G^{*} σ_{-} a^{*} \end{matrix}

$H_{int}\to H_c=\langle\alpha|H_{int}|\alpha\rangle=g\, \sigma_+\,\alpha\,+g^*\,\sigma_-\,\alpha^* \tag{II}$

in der klassischen Grenze $|\alpha|>>1$ .

Ich möchte wissen, warum diese Annäherung an den Hamilton-Operator in dieser Grenze gerechtfertigt ist (Warum wir (II) anstelle von (I) für unseren Hamilton-Operator nehmen können).

Meine Meinung: Seit $a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$ , unser exakter Wechselwirkungs-Hamiltonoperator unterscheidet sich von der Näherung nur dadurch, dass $a^\dagger$ wurde ersetzt durch $a^*$ . Dies scheint nicht zu weit hergeholt, da dies nur die komplexe Konjugierte des Eigenwerts ist, den wir durch Anwendung des Vernichtungsoperators erhalten $|\alpha\rangle$ . Dann denke ich, können wir das da irgendwie streiten $|\alpha|>>1$ , wird der Erstellungsoperator den kohärenten Zustand nicht wesentlich ändern. Aber ich kann nicht wirklich ein solides Argument und die Mathematik erfinden.

BEARBEITEN

Ich dachte, dass vielleicht in der klassischen Grenze, der Standardabweichung von $\alpha^\dagger$ gegenüber dem Mittelwert vernachlässigbar ist. Aber wenn ich keinen Fehler gemacht habe, haben wir es getan

\begin{matrix} (III) & S D_{a} (A^{†}) = \sqrt{⟨ a | A^{†} A^{†} | a ⟩ - ⟨ a | A^{†} | a ⟩^{2}} = \sqrt{A^{*} A^{*} - (A^{*})^{2}} = 0, \end{matrix}

$SD_\alpha(a^\dagger)=\sqrt{\langle\alpha|a^\dagger a^\dagger|\alpha\rangle-\langle\alpha|a^\dagger|\alpha\rangle^2}=\sqrt{a^*a^*-(a^*)^2}=0, \tag{III}$

unabhängig vom Wert von $|\alpha|$ . Was mich noch mehr verwirrt.

d_b

Was versuchst du eigentlich zu berechnen? Es ist unklar, wann es möglich wäre, einen Hamiltonian durch ein bestimmtes Matrixelement zu ersetzen, ohne den Kontext zu kennen, in dem Sie den Hamiltonian anwenden.

Daniel Sank

Es ist, weil die Varianz von

n \equiv | a |^{2}

$n \equiv \lvert a \rvert^2$ ist ein kleiner Bruchteil des Mittelwerts in der Grenze

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$ .

Antworten (1)

Klassische Grenze des kohärenten Zustands im Modell von Jaynes Cummings

Was versuchst du eigentlich zu berechnen? Es ist unklar, wann es möglich wäre, einen Hamiltonian durch ein bestimmtes Matrixelement zu ersetzen, ohne den Kontext zu kennen, in dem Sie den Hamiltonian anwenden.
Es ist, weil die Varianz von $n \equiv \lvert a \rvert^2$ ist ein kleiner Bruchteil des Mittelwerts in der Grenze $n \rightarrow \infty$ .

ZeroTheHero · Answer 1

Seit $a\vert \alpha \rangle=\alpha\vert \alpha \rangle$ für den kohärenten Zustand folgt daraus

\begin{aligned} (1) & ⟨ a | A | a ⟩ = a \end{aligned}

$\begin{align} \langle \alpha \vert a\vert\alpha\rangle=\alpha \tag{1} \end{align}$ durch Normalisierung und das (wie Sie vermuten) durch Nehmen des komplexen Konjugats:

\begin{matrix} (2) & a^{*} = ⟨ a | A | a ⟩^{*} = ⟨ a | A^{†} | a ⟩ \end{matrix}

$\alpha^*=\langle \alpha \vert a\vert \alpha\rangle^*=\langle \alpha \vert a^\dagger\vert\alpha\rangle \tag{2}$ was für jeden gilt

α

$\alpha$ . Die Bedingung

| α | ≫ 1

$\vert\alpha\vert\gg 1$ muss an anderer Stelle eingegeben werden, da (1) und (2) unabhängig von exakt sind

| α |

$\vert \alpha\vert$ .

Ich habe die Frage etwas präzisiert. Ich weiß, warum der Erwartungswert gleich dem Ausdruck (II) ist. Aber ich frage mich, warum wir (II) anstelle von (I) verwenden können. Dies muss die klassische Grenze beinhalten, da $a^\dagger|α⟩$ ist nicht $a^*|α⟩$ Rechts?
@Curiosity nein, aber der Punkt ist $\langle \alpha\vert a^\dagger=\alpha^*\langle \alpha \vert$ . Die Annäherung besteht darin, einige Operatoren durch ihre Mittelwerte zu ersetzen, nicht in der Art und Weise, wie die Mittelwerte berechnet werden.
Ich weiß, dass. Was ich wissen möchte, ist, warum wir diesen Austausch vornehmen dürfen. Es muss eine Möglichkeit geben, zu sehen, dass die Aktion von $a^\dagger|\alpha\rangle \to \alpha^*|\alpha\rangle$ im Limit $|\alpha| \to \infty$ .
Es scheint mir, dass die klassische Grenze die Rechtfertigung für diese Annäherung ist, aber ich sehe den Zusammenhang nicht.
@Neugier : $a^\dagger\vert\alpha\rangle \ne \alpha^* \vert\alpha\rangle$ in irgendeiner Grenze. Der kohärente Zustand ist kein Eigenzustand von $a^\dagger$ , Zeitraum. Indem Sie den Durchschnittswert nehmen, „ersetzen“ Sie nicht den Ket, sondern ersetzen stattdessen den BH $\langle\alpha\vert a^\dagger\to \alpha^*\langle\alpha\vert$ . Das ist der Schlüssel: Sie haben nie $a^\dagger$ wirkt auf ein Ket, aber es wirkt auf einen BH; Um einen BH zu "generieren", müssen Sie den Durchschnittswert nehmen.
Mit Ersatz meine ich den Ersatz des Hamiltonoperators unseres Modells für das physikalische System. Wir verwenden nicht den exakten Hamiltonian, um die zeitliche Entwicklung des Systems auszudrücken, sondern verwenden stattdessen den Erwartungswert. Dies ist sicherlich nicht immer ein angemessener Schritt. Ich möchte wissen, warum diese Annäherung in diesem Zusammenhang sinnvoll ist. Warum es eine gute Annäherung an die klassische Grenze ist. (und ich denke wirklich, dass die klassische Grenze die Rechtfertigung für die Annäherung ist, also möchte ich die Verbindung sehen)

Klassische Grenze des kohärenten Zustands im Modell von Jaynes Cummings

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Daniel Sank

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