Warum liege ich falsch, wenn es darum geht, wie man die Eichtheorie betrachtet?

Sie haben Recht, es ist falsch zu glauben, dass in der Eichtheorie "Eichtransformationen nur eine Redundanz sind". Dies wird nur wahr, wenn man die Lokalität aufgibt, alle Randeffekte, alle Instanton-Effekte ignoriert, daher das meiste, was an der Eichtheorie interessant ist. Natürlich möchte man hin und wieder Eichäquivalenzklassen bilden (z. B. von Observablen), aber nur Eichäquivalenzklassen zu berücksichtigen bedeutet, die Eichtheorie zu töten.

Beispiele:

1) Instantons: Jedes Eichbündel auf einer n-Scheibe entspricht dem trivialen. Dennoch gibt es auf der n-Sphäre nicht-triviale Eichbündel – die Instanton - Sektoren. Wenn Sie denken, dass nur Eichäquivalenzklassen zählen, dann gibt es nur das triviale Eichbündel auf der einen Hemisphäre, das triviale Eichbündel auf der anderen Hemisphäre, und Sie müssen sie trivial auf den Äquator kleben, um ein globales triviales Eichbündel zu erhalten. Was stattdessen wirklich passiert, ist, dass Eichtransformationen keine Redundanz sind, sondern alles sind, was die Nicht-Trivialität des Instanton-Sektors durch die Kupplungskonstruktion ausmacht . Dies zu ignorieren bedeutet, nicht-triviale globale Strukturen zu haben, die nicht durch Kleben lokaler Strukturen erhalten werden, und bedeutet daher, das Lokalitätsprinzip zu brechen.

2) Grenzfelder. Die Art und Weise, wie das WZW-Modell an der Grenze der Chern-Simons-Theorie erscheint : Die Eichtransformationen der Chern-Simons-Theorie an der Grenze werden zu den eigentlichen Feldern des WZW-Modells.

3) Defekte mit höherer Kodimension: Wilson-Schleifen. In ähnlicher Weise sind die Felder auf der Wilson-Schleife in der Chern-Simons-Theorie vollständig die Eichtransformationen des umgebenden Eichfelds, beschränkt auf die Schleife. Hier finden Sie eine Übersicht und Hinweise auf die Literatur.

4) allgemein: Lokalität in der Eichtheorie -- Sie bricht, wenn man Eichtransformationen außer Acht lässt, siehe die Hinweise hier .

[Bearbeiten: Ein Kommentator unten weist darauf hin, dass dies alles in Ordnung ist, scheint sich jedoch nicht speziell mit der vom OP angefragten Konstruktion zu befassen. In der Tat, hier ist wie:

5) Eichfelder aus lokaler Eichung: Die traditionelle Lehrbuchweise der Physik zur Ableitung von Eichfeldern aus lokaler Eichsymmetrie ist ein Beispiel für die lokale Relevanz von Eichtransformationen wie folgt.

Jedes Fermion-Bündel ist lokal eichäquivalent zum trivialen solchen und trägt somit den trivialen Zusammenhang , der gerade durch die Ableitung gegeben ist. Wenn man sich jedoch daran erinnert, dass Eichtransformationen eine lokale Realität sind, stellt man fest, dass diese diese triviale Verbindung zu einer mit einem nicht verschwindenden Vektorpotential führen $A$. Während dies noch verschwindende Feldstärke haben wird, kann bereits hier global etwas passieren: wenn ein Haufen davon$A$durch Eichtransformationen geklebt werden, haben wir möglicherweise global immer noch einen nicht-trivialen Instanton-Sektor. Angesichts dessen werden wir dazu gebracht, allgemeine lokale Vektorpotentiale zuzulassen$A$und stellen dann fest, dass wir, indem wir sie durch Eichtransformationen über Patches kleben, den vollen Modulraum aller möglichen Eichfelder finden.

Wenn jedoch, und das ist der richtige Punkt, den das OP feststellt, erklärt wird, dass alle lokalen Eichtransformationen nur Redundanzen sind, bedeutet dies, dass jedes lokale Vektorpotential ersetzt wird$A$durch seine Spurweitenäquivalenzklasse. Wenn diese über Patches geklebt werden, werden niemals alle globalen Eichfeldkonfigurationen erzeugt (wenn beispielsweise die Eichäquivalentklasse die 0-Klasse war, findet man nie die Instanton-Sektoren der globalen Torsionsklasse).

]

Mathematisch geht es hier um die Aussage, dass Eichfelder keinen Modulraum, sondern einen „ Modulstapel “ bilden. Beim mathematischen Konzept des Stapels geht es darum, die Lokalität mit dem Eichprinzip zu kombinieren. Eine Darstellung davon befindet sich in unserem arXiv:1301.2580 .

Was beispielsweise die obigen Beispiele 2) und 3) beherrscht, wo Eichtransformationen in höheren Dimensionen zu echten Feldern in niedrigeren Dimensionen werden, ist im Wesentlichen ein Fall der Schleifenkonstruktion auf Stapeln: der Modulstapel$\mathbf{B}G$von$G$-Instanton-Sektoren hat eine einzige Komponente

(daher "es gibt nur eine Eichäquivalenzklasse"), aber es erinnert sich dennoch an die vollständige Natur von Eichtransformationen

Zu denken, dass "Eichweitenäquivalenz eine Redundanz ist", bedeutet zu denken, dass die Moduli gestapelt sind$\mathbf{B}G$kann genauso gut durch seine 0-Trunkierung ersetzt werden$\tau_0 \mathbf{B}G\simeq \ast$, was bedeutet, so lokal zu denken$G$-Eichtheorie ist trivial.

Die gleiche Art von Argumenten gilt für den vollständigen Modulstapel$\mathbf{B}G_{conn}$von$G$-gauge-Felder (anstelle nur ihrer Instanton-Sektoren). Dann$\pi_0(\mathbf{B}G_{conn})$ist die Garbe der Spurweitenäquivalenzklassen von$\mathfrak{g}$-bewertete differentielle 1-Formen. Das ist mehr als nur der Punkt wie zuvor, aber immer noch nur ein schwacher Schatten dessen, worum es bei der Eichtheorie geht.

Ehrlich gesagt finde ich die von dir beschriebene Strecke (die auch in vielen Lehrbüchern verwendet wird) körperlich überhaupt nicht motiviert. Sie haben mit einer Theorie eines Fermions mit globaler Symmetrie begonnen, die physikalische Zustände auf unterschiedliche physikalische Zustände abbildet. Diese Theorie hat die Eigenschaft, dass die Spezifizierung der Anfangsbedingungen auf einer raumähnlichen Oberfläche die Entwicklung des Systems vollständig bestimmt. Das erwartet man als Physiker.

Aus irgendeinem Grund möchten Sie diese Symmetrie nun lokal machen. Damit zerstören Sie dieses Eigentum. Die lokale Invarianz bedeutet, dass ein gegebener Satz von Anfangsbedingungen zu einer beliebigen Anzahl von Endzuständen führen kann. Hoffentlich stimmen Sie zu, dass dies keinen physikalischen Sinn ergibt. Um dieses Problem zu beheben und die nette Eigenschaft wiederzuerlangen, müssen Sie ein kompliziertes Eichfestlegungsverfahren durchlaufen, das normalerweise andere nette Eigenschaften der Theorie (Lorentz-Invarianz, Unitarität usw.) verdeckt.

Ich stimme zu, dass es cool ist, dass das Messen der Symmetrie neue Felder einführt, aber es ist nicht so überraschend, da Sie ein neues nicht-dynamisches Feld von Hand eingeführt haben (den Gauge-Parameter). In der Zwischenzeit ist der Preis, den Sie zahlen, Vorhersagbarkeit, bis Sie die Messung korrigieren.

Ich denke, der andere Weg, den Sie erwähnen, der in Weinbergs Büchern befürwortet und durch neuere Forschungen zu On-Shell-Ansätzen für QFT unterstützt wird, ist physikalisch sinnvoller. Sie betreiben Quantenmechanik. Hilbert Space organisiert sich selbst in Darstellungen globaler Symmetrien. Führen Sie die kleine Gruppenanalyse durch. Entdecken Sie, dass Sie Helizität nicht setzen können$\pm1$in einem lokalen Feld, das aus Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ohne Eichinvarianz aufgebaut ist. Ist man an dieser Stelle (der Ortsbeschreibung verpflichtet) angelangt, so erhält man alle wichtigen Punkte von Dr. Schreiber, von denen viele tatsächlich mit messbaren physikalischen Größen (zum Beispiel Instantonen, der axialen Anomalie und$\pi^0 \to \gamma \gamma$). Bitte beachten Sie, dass Sie bei der Eichtheorie immer noch die Wahl treffen , welche Zustände durch Randbedingungen auf den Feldern identifiziert werden sollen.

Da Sie speziell nach der Relevanz von Spinor-Helizität-Methoden gefragt haben, werde ich ein paar Worte sagen. Es ist wahr, dass es in den letzten Jahren enorme Fortschritte bei der Berechnung von Streuamplituden auf der Schale gegeben hat, wo es keine Notwendigkeit für Eichinvarianz gibt, die Wirkung der kleinen Gruppe einfach und offensichtlich ist und die Berechnungen viel einfacher sind. Einige Leute sagen gerne, dass dies demonstriert, dass wir keine lokale Formulierung brauchen und dass die Eichtheorie nicht grundlegend ist. Sie sollten jedoch bedenken, dass fast alle diese Fortschritte bei der Berechnung von Störungen gemacht wurdenMengen. Viele der interessantesten Effekte in der Eichtheorie sind tatsächlich nicht störend, und das Amplitudenprogramm hat keine Möglichkeit, diese Informationen zu erfassen. Wenn sie herausfinden, wie man einen Instanton-Beitrag zur Streuung im On-Shell-Formalismus berechnet, dann wird die Antwort meiner Meinung nach letztendlich sein, dass Eichinvarianz völlig unnötig und unphysikalisch ist. Bis dahin können Sie höchstens sagen, dass Sie mit dem lokalen eichinvarianten Bild mehr Dinge berechnen können. In der Physik besteht die einzige wirkliche Bewertung eines Formalismus darin, wie er Messungen reproduziert.