Intuition für S-Dualität

Zunächst einmal, was ist die Motivation für die Yang-Mills-Aktion und wie soll ich die Kopplungskonstanten verstehen?$\theta$und$g$?

Ich würde sagen, Motivation kommt von Experimenten. Beispielsweise ist es eine experimentelle Tatsache, dass die elektrische Ladung erhalten bleibt. Auch der zugehörige Strom wird im Sinne von eingespart

$$\partial_\mu J^\mu=0.$$ Daher können wir diesen Strom als Kräuselung eines Vektorpotentials schreiben $A^\mu$. Da die Kräuselung des Grads verschwindet, liegt eine Redundanz vor $$A^\mu(x)\rightarrow A^\mu(x)-\partial_\mu\Lambda(x),$$ gibt den gleichen gemessenen Strom. Diese Redundanz wird Eichsymmetrie genannt und ist im vorliegenden Fall gerecht $U(1)$. Es kommt vor, dass es für einige grundlegende Wechselwirkungen mehr Vektorpotentiale und mehr Ladungen gibt und wir am Ende eine Eichsymmetrie haben, die auf einer nicht-Abelschen Gruppe basiert. Dies ist eine Yang-Mills-Theorie. Zum Beispiel die Quantenchromodynamik, die die starke Wechselwirkung beschreibt und auf der basiert $SU(3)$Farbsymmetrie.

Die klassischen Gebiete der Theorie müssen Lösungen von Bewegungsgleichungen sein, die nach dem Hamilton-Prinzip aus der Aktion gewonnen werden. Die Quantenfelder erfordern auch eine Aktion, um sie mit der Pfadintegralmethode zu quantisieren. Bei der Konstruktion der Aktion müssen Sie zeigen, wie die Felder interagieren. Die Stärke dieser Wechselwirkungen ist durch die Größe der Kopplungskonstanten gegeben, die eine experimentelle Eingabe ist.

Wie bekomme ich diese sogenannte Erweiterung in Potenzreihen mit Variable$\tau$der Wahrscheinlichkeitsamplitude?

Der Übergang von einer nicht wechselwirkenden Quantenfeldtheorie zu einer wechselwirkenden ist im gleichen Sinne ähnlich wie der Übergang von einem harmonischen Oszillator zu einem anharmonischen. Beispielsweise fügen Sie für beide Fälle einen quartischen Term in das Potenzial ein. Dann lösen Sie die Bewegungsgleichung des Oszillators oder die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die Felder mit Hilfe der Störungstheorie. Die Wahrscheinlichkeiten in der Quantentheorie können aus einem sogenannten Erzeugungsfunktional gewonnen werden, das die Exponentialfunktion beinhaltet. Perturbative Expansion bedeutet hier, dieses Exponential in Potenzen von beiden zu erweitern$\hbar$oder der Kopplungskonstanten.

Was war die Motivation, sich mit dieser Dualität zu befassen? Eine Erstellung eines überall definierten (in$\tau$) Eichtheorie vielleicht?

Etwas Kontext: Seit den 70er Jahren wurde festgestellt, dass einige nicht-Abelsche Eichtheorien Lösungen mit stabiler magnetischer Ladung zulassen. Dann bemerkten Montonem und Olive und Goddard, Nuyts und Olive, dass sie das Massenspektrum elektrischer Ladungen einer bestimmten Theorie auf das Massenspektrum magnetischer Ladungen einer anderen Theorie (dual genannt) abbilden konnten, solange sie eine bestimmte Abbildung dazwischen annahmen die Kopplungen dieser Theorien. Sie vermuteten, dass diese Theorien elektromagnetisch dual sind. Dies ist eine nicht-Abelsche Verallgemeinerung der elektromagnetischen Dualität in der Maxwell-Theorie. Ein besonderes Beispiel, bei dem diese Dualität vermutet wird, ist zwischen zwei "Kopien" des Georgi-Glashow-Modells:$SO(3)\rightarrow SO(2)$mit dem Higgs im Adjoint.

$SL(2,\mathbb Z)$Dualität: Von Witten wurde gezeigt, dass die Hinzufügung eines topologischen Terms ($\theta$-Term) zum Georgi-Glashow-Modell ergibt das Spektrum elektrischer Ladungen

$$q_e=e\left(n_e+\frac{\theta}{2\pi}n_m\right),\quad n_e,n_m\in\mathbb Z,$$

Diese Theorie lässt auch Dyonen, Teilchen mit der oben genannten elektrischen Ladung und auch eine magnetische Ladung zu

$$q_m=\frac{4\pi}{e}n_m.$$ Dann definieren wir $$\tau=\frac{\theta}{2\pi}+\frac{4\pi i}{e^2},$$ Die Ladung des Dyon kann geschrieben werden als $$\mathcal Q = q_e+iq_m=e(n_e+\tau n_m).$$

Das Spektrum der Theorie gehört dann zu einem Gitter, dessen Ecken die Ladungen angeben$(n_m,n_e)$. Die Massen der Dyonen (einer Theorie mit Kopplung$\tau$) sind gegeben durch

$$M(n_e,n_m;\tau)=ve|n_e+n_m|=ve \left| \left(\begin{array}{cc} n_m&n_e \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \sqrt u\tau\\ \sqrt u \end{array}\right) \right|,$$ wo $\sqrt u\equiv ev$und $v$ist das Higgs vev. Damit eine Dualität zustande kommt, muss es eine Zuordnung zwischen dem Massenspektrum zweier Theorien geben, dh $$\begin{equation}\label{sl6} \left| \left(\begin{array}{cc} n_m&n_e \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \sqrt u\tau\\ \sqrt u \end{array}\right) \right| = \left| \left(\begin{array}{cc} n'_m&n'_e \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \sqrt{u'}\tau'\\ \sqrt{u'} \end{array}\right) \right|. \end{equation}$$ Eine mögliche Lösung ist $$\begin{align*} \left(\begin{array}{c} \sqrt{u'}\tau'\\ \sqrt{u'} \end{array}\right) &=e^{i\varphi}\mathcal M \left(\begin{array}{c} \sqrt u\tau\\ \sqrt u \end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{cc} n'_m&n'_e \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cc} n_m&n_e \end{array}\right)\mathcal M^{-1}, \end{align*}$$ mit $\varphi\in\mathbb R$und $$\mathcal M= \left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right), \quad \det \mathcal M= 1, \quad A,B,C,D\in\mathbb Z.$$ Somit $$\mathcal M\in SL(2,\mathbb Z).$$ Die Gruppe $SL(2,\mathbb Z)$hat zwei Generatoren $$T= \left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array} \right), \quad S= \left( \begin{array}{cr} 0&-1\\ 1&0 \end{array} \right).$$

Die von erzeugten Dualitätstransformationen$T$und$S$werden genannt$T$- Dualität u$S$-Dualität bzw. Wie Sie anhand der sehen können$S$Generator, der$S$-Dualität invertiert die Kopplungskonstante,

$$S:\tau\rightarrow-\frac 1\tau,$$ dh es ist eine Dualität, die starke Kopplung auf schwache Kopplung abbildet. Auf der anderen Seite $T$fungiert als $$T:\tau\rightarrow\tau+1,$$ was eine Invarianz bezüglich darstellt $\theta\rightarrow\theta+2\pi$.

Es ist wichtig zu beachten, dass eine mögliche elektromagnetische Dualität nur durch eine Untergruppe von gegeben ist$SL(2,\mathbb Z)$weil es notwendig ist, andere Quantenzahlen der Teilchen zu berücksichtigen.

Die Bedeutung der$S$-Dualität ist die Tatsache, dass Sie Ergebnisse, die in einer Theorie mit schwacher Kopplung (wo die Störungstheorie gültig ist) erhalten haben, in der dualen Theorie verwenden können, die eine starke Kopplung hat (und die Störungstheorie nicht gültig ist).