Kann jemand das Coleman-Mandula-Theorem und die Mandelstam-Variablen einfach erläutern?

Mandelstam-Variablen$s,t,u$sind Größen mit Einheiten des quadratischen Impulses (oder der Masse), die den Lorentz-invarianten Teil der Informationen über die Impulse und die Energie in beschreiben$2\to 2$Streuprozesse:

$$s= (p_1+p_2)^2, \quad t=(p_1-p_3)^2,\quad u=(p_1-p_4)^2$$ Wenn Sie Lorentz transformieren, transformieren Sie die eingehenden Impulse $p_1,p_2$sowie ausgehende $p_3,p_4$, die oben genannten Mengen ändern sich nicht. Durch die Relativitätstheorie werden also alle nichttrivialen Informationen über die Kollision in Funktionen von kodiert $s,t,u$. Darüber hinaus, $s+t+u=4m^2$wenn die Massen aller vier Teilchen gleich sind $m$; Dies lässt sich leicht verallgemeinern, wenn sie unterschiedlich sind. Die Mandelstam-Variablen können auch leicht auf den Fall von mehr als 4 Außenlinien verallgemeinert werden - in diesem Fall gibt es mehr Variablen. Die Mandelstam-Variablen sind also eine einfache Sache, die durch die obigen Formeln gegeben ist.

Satz von Coleman-Mandula

Das Coleman-Mandula-Theorem zeigt, dass Theorien mit (bosonischer) Symmetrie Gruppen bilden, die den räumlichen (geometrischen) und inneren Teil mischen, dh sie haben keine Form$G_{spacetime}\times G_{internal}$, verschwinden die Wechselwirkungen im Wesentlichen, sodass solche Theorien für keine realistische Modellierung verwendbar sind. Also zum Beispiel, wenn jemand die Hypothese aufstellt, dass ein$E_8$Symmetrie sowohl Drehungen im Raum als auch die Eichgruppe des Standardmodells umfassen kann, würde seine Hypothese durch das Theorem sofort ausgeschlossen.

Was den Beweis betrifft, denke ich, dass sie die leichteste skalare Anregung in der gegebenen Theorie nehmen, zwei oder mehrere davon, und sie streuen. Die zusätzlichen Symmetrien - neben Energie und Impuls etc. - führen zwangsläufig dazu, dass einige Tensoren auch bei einem Stoß erhalten bleiben müssen. Da diese Tensoren möglicherweise nur von den Impulsen der von uns gestreuten Teilchen abhängen und zu viele Komponenten haben, die unverändert bleiben müssen, können sie zeigen, dass die Impulse nach der Streuung im Wesentlichen gleich denen vor der Streuung sein müssen. Das bedeutet bereits, dass die Wechselwirkungen allgemein verschwinden.

Der Satz geht davon aus, dass die Erhaltungsgrößen keine Spinoren sein können - mit halbzahligem Spin. Wenn fermionische Erhaltungsgrößen mit halbzahligem Spin – Supersymmetrien – zugelassen werden, findet man heraus, dass es möglich ist, den ursprünglichen Satz in Theorien mit Supersymmetrie zu umgehen, weil die konservierten Spinoren nicht zu einschränkend sind. Man erhält supersymmetrische Theorien, aber ihre Möglichkeiten sind immer noch durch eine supersymmetrische Erweiterung des Coleman-Mandula-Theorems, das Haag-Lopuszanski-Sohnius-Theorem, eingeschränkt.

Gruß LM

Dies ist ein bisschen wie eine Skizze;

Das$S$-Matrix wirkt auf Verschiebung des Zustands oder Impulszustands eines Teilchens. Ein Zustand mit zwei Teilchenzuständen$|p, p’\rangle$wird durch die gehandelt$S$Matrix durch die$T$Matrix

$$S~=~1~–~i(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)T$$ So dass $T|p, p’\rangle\ne0$. Bei Nullmasse streuen ebene Wellen bei fast jeder Energie. Der Hilbert-Raum ist dann ein unendliches Produkt von n-Teilchen-Unterräumen $H~=~\otimes_nH^n$. Wie bei allen Hilbert-Räumen gibt es einen einheitlichen Operator $U$, häufig $U~=~exp(iHt)$, die die Zustände transformiert, auf die S einwirkt. $U$wandelt n-Teilchen-Zustände in n-Teilchen-Zustände als Tensorprodukte um. Der Einheitsoperator vertauscht mit dem $S$Matrix $$SUS^{-1}~=~[1 – i(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)T]U[1~+~i(2π)^4 \delta^4(p~–~p’)T^\dagger]$$ $$= U~+~i(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)[TU~–~UT^\dagger] ~+~[(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)]^2(TUT^\dagger).$$ Durch hermitische Eigenschaften und Unitarität ist es nicht schwierig zu zeigen, dass die letzten beiden Terme Null sind und dass die S-Matrix mit der unitären Matrix pendelt. Die Lorentz-Gruppe definiert dann den Operator $p_\mu$und $M_{\mu\nu}$für Impulsschub und Rotationen. Das $S$-matrix definiert Änderungen in Impuls-Eigenzuständen, während der Einheitsoperator durch interne Symmetrien erzeugt wird $A_a$, wobei sich der Index a innerhalb eines inneren Raums befindet (z. B. der Kreis in der komplexen Ebene, und wir haben dann mit einigen $$[A_a,~p_\mu]~=~[A_a,~M_{\mu\nu}]~=~0.$$ Dies ist eine Skizze des berüchtigten „No-Go“-Theorems von Coleman und Mundula. Dies verhindert, dass man interne und externe Generatoren oder Symmetrien gleichstellen kann.

Der Weg um dieses Problem herum ist Supersymmetrie. Die Generatoren der Supergruppe oder einer abgestuften Lie-Algebra haben 1/2 Kommutatorgruppenelemente$[A_a,~A_b]~=~C_{ab}^cA_c$($C_{ab}^c$= Strukturkonstante einiger Lie-Algebra), plus eine weitere Menge abgestufter Operatoren, die gehorchen

$$\{{\bar Q}_a, Q_b\}~=~\gamma^\mu_{ab}p_\mu,$$ Wenn man die SUSY-Algebra entwickelt, stellt man fest, dass dies ein Schlupfloch ist, das die Verflechtung interner Symmetrien und Raumzeitgeneratoren ermöglicht. Man könnte sich den obigen Antikommutator so vorstellen, als würde er den Impulsoperator als Grenzoperator bezeichnen $p_\mu~= -i\hbar\partial_\mu$die eine Kohomologie hat, wo sie sich aus der Anwendung eines Fermi-Dirac-Operators ergibt $Q_a$. Fermi-Dirac-Zustände sind solche, dass nur ein Teilchen einen Zustand besetzen kann, der den topologischen Inhalt von hat $d^2~=~0$. Diese Kohomologie ist die Grundlage für die BRST-Quantisierung.

Für eine Lehrbuchreferenz zum Coleman-Mandula-Theorem ist das dritte Werk von Weinbergs QFT genau das, was Sie brauchen. Der vollständige Beweis mit allen Details (auch denen, die dem Leser im Originalartikel überlassen wurden) befindet sich in Anhang B (Seite 12 bis 22). Der Beweis basiert nur auf dem sehr allgemeinen Prinzip der relativistischen Quantenmechanik, wie es in seinen Kapiteln 2 und 3 (im ersten Werk) angegeben ist, ohne dass eine lokale QFT erforderlich ist.

Aber das ist noch nicht alles. Vor seinem vollständigen Beweis gibt Weinberg in Abschnitt 24.1 (Seite 1 bis 4) einen einfacheren (aber nur teilweisen) Beweis, der ausreicht, um klar zu sehen, wo die Relativitätstheorie den Unterschied ausmacht .

BEARBEITEN (nach Kyles fairem Kommentar): Lassen Sie uns Weinbergs kinematischen Beweis eines Teils des Satzes skizzieren.

lassen alle Symmetriegeneratoren, die mit dem 4-Impuls kommutieren$p_m$eine Lügenalgebra bilden, die von den Generatoren aufgespannt wird$B_a$. Lassen Sie eine Lorentz-Transformation ($L$), dargestellt auf dem Hilbert-Raum durch den unitären Operator$U(L)$, wirken auf die$B_a$.

$U(L)B_aU^{-1}(L)$pendelt mit${L_m}^n p_n$und so mit$p_m$. daher kann es geschrieben werden hat eine lineare Kombination von$B_a$:

$$U(L)B_aU^{-1}(L) = \sum {D_a}^b(L)B_b$$

die nachweislich die gleichen Vertauschungsbeziehungen erfüllen wie$B_a$. mit diesem und der Kommutierung aller Generatoren mit$p_m$, und unter der Annahme, dass die anderen Symmetriegeneratoren als$p_m$Spanne eine kompakte semi-einfache Lügenalgebra (bezeichnet als$B_A$), können Sie aus den Koeffizienten konstruieren${D_a}^b$, eine einheitliche endlichdimensionale Darstellung der Lorentzgruppe. Da die Lorentzgruppe jedoch nicht kompakt ist, ist die einzige solche Darstellung die triviale. deshalb$B_A$pendelt mit$U(L)$.

schließlich, weil die$B_A$pendeln mit$p_m$, ihre Wirkung auf den Staat$|p,n\rangle$eines einzelnen Teilchens mit Impuls$p_m$und Spin/Spezies$n$kann nur eine Linearkombination ergeben:

$$B_A |p,n\rangle = \sum b_A |p,m\rangle$$

die Tatsache, dass$B_A$pendelt mit Boosts impliziert das$b_A$ist unabhängig vom Impuls, und die Tatsache, dass es mit Rotationen pendelt, impliziert dies$b_A$wirken als Einheitsmatrizen auf Spin-Indizes, also die$B_A$sind die Erzeuger einer gewöhnlichen inneren Symmetrie, wie zu beweisen war.