Warum wird die infinitesimale SUSY-Variation durch die Summe eines links- und rechtschiralen Generators erzeugt?

Ein Teil der Supersymmetrie-Algebra ist

$$\{Q_a,~{\bar Q}_{\dot b}\}~=~-2i\sigma^\mu_{a\dot b}\partial_\mu$$ was ein Impulsoperator ist $p_\mu~=~-i\partial_\mu$. Die abgestufte Lie-Algebra $g~=~h~+~k$ $$[h,~h]~\subset~h,~[h,~k]~\subset~k,~\{k,~k\}~\subset~h,$$ wobei der letzte davon den obigen Antikommutator enthält. Dieses Modell hat eine chirale Symmetrie. Das bedeutet dann, dass der links- und rechtshändige Generator auf ein Skalar- und ein Dirac-Feld einwirken $$\delta_\epsilon\phi~=~(\epsilon Q~+~\bar\epsilon\bar Q)\phi~=~\epsilon\bar\psi~+~\bar\epsilon\psi$$ $$\delta_\epsilon\psi~=~\epsilon\gamma\cdot\partial\phi~+~\bar\epsilon\gamma\cdot\partial\bar\phi.$$ Dies ist das Standard-SUSY-Modell.

Das Wess-Zumino-Modell führt als pseudoskalares Feld ein$\eta$und das Modell wird als links- oder rechtshändig chiral angenommen, das dem Dirac-Feld unter den SUSY-Transformationen hinzugefügt wird

$$\delta_\epsilon\phi~=~\bar\epsilon\bar Q\phi~=~\epsilon\bar\psi$$ $$\delta\eta~=~\bar\epsilon\gamma_5\psi$$ $$\delta_\epsilon\psi~=~\epsilon(\gamma\cdot\partial\phi~+~\gamma_5\eta).$$ Die Transformationsgeneratoren sind Majorana und das Feld $\psi$ist ein Majorana-Fermion. Das Majorana-Fermion ist sein eigenes Antiteilchen. Die Ladungskonjugation von $\psi$Ist $C\psi~=~i\psi^*$. Die Erscheinung von $\psi$Und $C\psi$im Lagrange bedeutet, dass das Majorana-Feld elektrisch neutral sein muss, um Ladung zu erhalten. Das wäre dann ein Teilchen wie das Neutrino. Wir können mit dem Ladungskonjugationsoperator transformieren $C\epsilon~=~\epsilon^*$ $=~\gamma^0\bar\epsilon$und ähnlich $CQ~=~Q^*$ $=~\gamma^0\bar Q$und als solche können wir die beiden Supertransformationen auf diese Weise getrennt definieren.

Was die Kommutatoren angeht, würde ich vielleicht ein kleines Problem mit unten rechts nehmen. Die Elemente$\chi_a$darin enthalten sind$k$mit$\{k,~k\}~\subset~h$und das sollte meiner Meinung nach ein Antikommutator sein

$$\{{\bar Q}_{\dot a},~\chi_b\}~=~{\bar Q}_{\dot a}\chi_b~+~\chi_b{\bar Q}_{\dot a}$$ $$\propto~{\bar Q}_{\dot a}Q_b\phi ~-~{\bar Q}_{\dot a}\phi Q_b~+~\phi Q_b{\bar Q}_{\dot a}~-~Q_b\phi {\bar Q}_{\dot a}.$$ Für $\phi$ein skalares Feld, das von den Supergeneratoren transformiert wird, müssen wir darauf achten, dieses an den Supergeneratoren vorbei zu pendeln $$\{{\bar Q}_{\dot a},~\chi_b\}~=~\{{\bar Q}_{\dot a},~Q_b\}\phi~-~({\bar Q}_{\dot a}\phi) Q_b~+~(Q_b\phi){\bar Q}_{\dot a}.$$ $$=~-2i\sigma^\mu_{\dot a b}\partial_\mu\phi~+~\bar\psi_{\dot a} Q_b~+~\psi_b\bar Q_{\dot a}.$$ Die letzten beiden Ausdrücke in der ersten Zeile oben haben Klammern, die angeben, dass der Supergenerator nur auf das Feld wirkt $\phi$. Jetzt $\bar\psi_{\dot a} Q_b~=~\overline{\psi_a\bar Q_{\dot b}}$und mit dem Majorana-bewerteten Fermion definiert $C\psi~=~i\gamma^0\bar\psi$und ähnlich für die Generatoren das Auftreten von $i^2~=~-1$bedeutet, dass die letzten beiden Terme subtrahiert werden.

Es muss daran erinnert werden, dass mit$i\sigma^\mu_{\dot a b}\partial_\mu\phi$dies funktioniert tatsächlich auf beiden$\phi$und jedes andere Feld oder jede Welle

$$i\sigma^\mu_{\dot a b}\partial_\mu(\phi\chi)~=~i\sigma^\mu_{\dot a b}\left((\partial_\mu\phi)\chi~+~\phi\partial_\mu\chi\right)$$ und dass dies ein Operator ist, der auf Felder einwirkt.

Ok, ich glaube, ich habe es selbst herausgefunden. Ich werde mich an die Konventionen von Wess & Bagger halten.

Will man ein freies konstruieren,$\mathcal N=1$SUSY-Theorie mit einem komplexen Skalar und einem Weyl-Fermion, dann werden die möglichen Transformationen von der Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe, den Dimensionalitäten und der Anforderung, dass wir eine freie Theorie haben, diktiert und man erhält:

$$[Q_\alpha, \phi] = c_0 \chi_\alpha \qquad [Q_\alpha, \phi^*] = c_1 \chi_\alpha \\ \{Q_\alpha,\chi_\beta \} = 0 \qquad \{Q_\alpha,\overline{\chi}_{\dot \beta} \} = c_3 \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \partial_\mu \phi + c_4 \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \partial_\mu \phi^*$$ plus die hermiteschen Konjugierten dieser (Anti-)Vertauschungsbeziehungen. Die Schließung der SUSY-Algebra erlegt dann den Koeffizienten Beschränkungen auf$c_i$was zum Beispiel gelöst werden kann durch: $$c_0 = \sqrt{2}, \qquad c_4 = i \sqrt 2.$$ Die Nicht-Null-Transformationen sind $$[Q_\alpha, \phi] = \sqrt{2} \phi_\alpha \qquad [\overline Q_{\dot \alpha}, \phi^*] = \sqrt{2} \overline \chi_{\dot \alpha} \\ \{Q_\alpha,\overline{\chi}_{\dot \beta} \} = i \sqrt{2} \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \partial_\mu \phi^* \qquad \{\overline Q_{\dot \alpha},\chi_\beta \} = i \sqrt{2} \sigma^\mu_{\beta \dot \alpha} \partial_\mu \phi$$ Der Punkt ist, dass das Einwirken auf den Lagrange mit beiden Generatoren den Lagrange invariant lässt, also @ meine zweite Frage, ja, es ist möglich, die Kommutatoren so zu definieren, wie ich es in der Frage geschrieben habe.

Dies erklärt nicht ganz, warum die Variation so definiert wird, wie sie ist. Das einzige Argument, das ich im Moment habe (was mich ausreichend glücklich macht), ist Folgendes:

1. Dies ist möglich, da sich die Variation aufgrund des links- und rechtschiralen Generators nicht mischt.
2. Der Generator der Variation ist hermitesch