Elektromagnetisches Feld als Verbindung in einem Vektorbündel

Hier ist eine kurze (-ish) Antwort. Ein Vektorbündel ist eine Familie von Vektorräumen über einer Mannigfaltigkeit. Die Vektorräume können Basen haben. Die Mannigfaltigkeit kann Koordinaten haben. Die beiden Konzepte sind a priori nicht verwandt (jetzt führt eine Koordinatenänderung beim Bündel von Tangentialräumen zu einer Änderung der Basis; diese Tatsache führt häufig zu Verwirrung). Sobald Sie eine Basis für Ihren Vektorraum ausgewählt haben , definieren Sie einen Vektor durch seine Komponenten – aber jemand anderes beschreibt möglicherweise denselben Vektor in einer anderen Basis. Physikalisch übersetzt: Basiswechsel = Eichtransformation.

Im Fall eines geladenen Teilchens ist die Wellenfunktion die Komponente eines Ein-Vektor-Abschnitts; auf einer neuen Basis ändert sich diese Zahl um eine komplexe Zahl ungleich Null (die von Punkt zu Punkt variieren kann). Auch hier ist die Wellenfunktion ein Abschnitt, und ein Abschnitt bedeutet einen Vektor für jeden Punkt in der Mannigfaltigkeit. Wie differenzieren wir eine Funktion, die Werte in verschiedenen Vektorräumen über verschiedene Punkte annimmt? Wir brauchen eine Möglichkeit , die Vektorräume zu verbinden. Die Verbindung tut dies; pragmatisch ist es nur eine Regel, um diese Differenzierung vorzunehmen.

Natürlich wird die Differentiation in verschiedenen Vektorräumen unterschiedlich aussehen, sodass die Form der Verbindung von der Basis abhängt und sich unter Eichtransformationen ändert (genauso wie sich die Form einer linearen Transformation unter Änderung der Basen ändert). Das ist es, was Ihnen verschiedene chaotische Formeln darüber, wie sich Dinge „verwandeln“, zu sagen versuchen.

1. Ich bin mir bei dieser Frage nicht wirklich sicher. Fragen Sie vielleicht nur nach der Notation? Sie können wählen, was Ihnen gefällt. Aber normalerweise wählt man ein Koordinatensystem und arbeitet einfach darin. Es ist sicherlich kein Problem, wenn Sie in einer flachen Raumzeit arbeiten: Dort haben Sie für alles schöne globale Koordinaten.

2. • Erster Satz ist richtig. Für beliebige Lie-Gruppe$G$mit Lie-Algebra$\mathfrak{g}$Möglicherweise erhalten Sie eine sogenannte G-Struktur (z$O(n)$-Struktur für Riemannsche Mannigfaltigkeiten) und Sie können darauf eine Verbindung definieren. Es ist ziemlich schwere Mathematik, aber am Ende des Tages erhalten Sie ein$\mathfrak{g}$-bewertet (genauer gesagt nimmt es Werte in der adjungierten Darstellung von$\mathfrak{g}$) ein Formular$\omega$und kovariante Ableitung$D_{\mu}$wie die, die du geschrieben hast.

   • Im Allgemeinen stelle ich Verbindungen wie folgt dar: Sie setzen einen Vektor ein und die Verbindung gibt Ihnen ein Element der Lie-Algebra zurück, das ein Generator einer Transformation in der Lie-Gruppe ist. ZB bei einer Riemannschen Mannigfaltigkeit fügt man in die Verbindung die Richtung ein, in die man gehen möchte und bekommt (ganz grob gesagt) die Information zurück, wie stark der Raum in diese Richtung gekrümmt ist. Genauer gesagt, wenn Sie integrieren$\oint_{\gamma} \exp(\omega(\dot{\gamma}(t))) dt$Sie erhalten ein Element$T \in G$das sagt Ihnen, wie jeder Vektor entlang der geschlossenen Kurve parallel transportiert wird$\gamma$(dies wird Holonomie genannt).

   • Zur letzten Frage nach dem Warum$U(1)$: gut, weil es Elektromagnetismus ist. Verschiedene Gruppen bieten Ihnen verschiedene Interaktionen (z$SU(3)$gibt Ihnen QCD). Diese Gruppen entstehen, weil die Theorien etwas enthalten, das Eichsymmetrie genannt wird. Ich bin sicher, Sie wissen, dass Maxwell-Gleichungen, wenn sie ausgeschrieben werden$A$und$\phi$, sind gegenüber bestimmten Transformationen invariant. Konkreter und klarer, als${\bf F} = d{\bf A}$, wo${\bf F}$ist der elektromagnetische Tensor und${\bf A}$ist das Viererpotential. In dieser Form ist es offensichtlich, dass Gleichungen für${\bf F}$verändere dich nicht bei der Transformation${\bf A'} = {\bf A} + d\chi$. Lassen Sie uns nun einen Schritt zurück zu gehen$\psi$und beachten Sie, dass, wenn Sie die Theorie lokal invariant machen wollen (warum sollten Sie das tun? weil es schön ist, lokale Eigenschaften anstelle von globalen zu haben. Und die Theorie ist eindeutig invariant in Bezug auf globale Phasenänderungen, also versuchen wir es einfach) bezüglich des Phasenwechsels müssen Sie neue Freiheitsgrade einführen${\bf A}$das sich genau so transformiert wie das Viererpotential in der Maxwell-Theorie! Eigentlich haben wir gerade Photonen zurückgewonnen. Also, zum Schluss: Wenn Sie möchten$U(1)$Als Gruppe von Symmetrien taucht der Elektromagnetismus auf. Beachten Sie jedoch, dass Sie, um all dies konsistent zu berücksichtigen, im Rahmen der Quantenfeldtheorie arbeiten müssen, da die Schrödinger-Gleichung eindeutig nicht relativistisch invariant ist, was eine Eigenschaft ist, die wir sicherlich gerne in der Theorie des Elektromagnetismus hätten.

3. Dies kann ein wenig verwirrend sein, besonders in der physikalischen Literatur, und ich bezweifle, dass ich es wirklich klarer machen kann. Wahrscheinlich wird Sie das nur noch mehr verwirren, aber hier gilt: Es gibt verschiedene Bereiche von Abschnitten und$G$-Strukturen und Darstellungen von beiden$G$und$\mathfrak{g}$zwischen denen man wirklich unterscheiden sollte, die aber in der Physik identifiziert werden. Dies rigoros zu machen würde zu viel Platz beanspruchen, daher schlage ich vor, dass Sie sich einige Bücher über Eichtheorie ansehen. Ich sage Ihnen nur, dass Vektor (genauer gesagt Vektorfeld ) auch ein Abschnitt ist und umgekehrt. Beachten Sie jedoch, dass hier zwei weitere Begriffe vermischt werden: abstrakter Vektor als Konzept aus der linearen Algebra (das ist unsere$\psi$: Sie wissen, dass es diese Art von Vektor ist, weil es keinen Raumzeitindex hat$\mu$) und Vektor als Element der Minkowski-Raumzeit, sagen wir$V^{\mu}$. Wie für die$D_{\mu}$, wirkt es (durch Erweiterung) auch auf die Tensoralgebra des Abschnittsraums$\psi$(in diesem einfachen Fall wo$\psi$hat keinen Index, die Tensoralgebra ist isomorph zur normalen Tangenten-Tensoralgebra) und gibt Ihnen ein Leben in einer Form in dieser Tensoralgebra, also ja: es ist ein Abschnitt, aber in einem völlig anderen (wenn auch isomorphen) Raum!

Keine Notwendigkeit, sich zu entschuldigen. Diese Dinge sind ziemlich schwierig und es braucht viel Zeit, um alles zu groken, und ich denke, viele Physiker würden den größten Teil des mathematischen Inhalts einfach mit der Hand wegwinken und weitermachen, um etwas zu berechnen. Was hier möglich ist, weil$U(1)$nur eindimensional ist, ist ihre Lie-Algebra eindimensional, und so ist es$\psi$. Sie arbeiten also die ganze Zeit nur mit Zahlen und brauchen keine abstrakten Konzepte. Abgesehen davon, dass Ihnen dies kein bisschen hilft, wenn Sie versuchen, dies zu verallgemeinern (entweder auf QCD mit nicht-abelscher Gruppe$SU(3)$, oder zur gekrümmten Raumzeit), oder auch wenn Sie versuchen, über einige Konzepte nachzudenken, die aus der Sicht der Geometrie eher grundlegend sind (zB versuchen Sie, darüber nachzudenken, was die Bedeutung der oben erwähnten Holonomie in Bezug auf ist$\gamma$Im Falle des$U(1 )$). Es ist also gut, dass Sie versuchen, die Kernprinzipien bereits zu verstehen.

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Update zu Gregs Frage in den Kommentaren:

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Sie vollständig verstehe, aber ich habe das Gefühl (wahrscheinlich falsch), dass Sie hier verschiedene Vorstellungen von Invarianz verwechseln. Es gibt mindestens zwei Begriffe der physikalischen Invarianz (unter der Wirkung der Lorentz-Gruppe und unter der Wirkung von$U(1)$) und auch ein Begriff der Invarianz im Sinne von "koordinatenfrei". Nun, wenn mein Gefühl richtig ist, fragen Sie nach einem Analogon von$v = v^{\mu}{{\rm \partial} \over {\rm \partial} x^{\mu}}$zum$\psi$. Diese beiden Dinge sind sich in der Tat sehr ähnlich, aber auf eine etwas verschleierte Weise. Etwas präziser:$v$ist ein Abschnitt eines Tangentialbündels$TM$und wir zerlegen es in Bezug auf einen Abschnitt des kanonischen Tangentenrahmenbündels$FM$, die auch eine natürliche Aktion der Gruppe trägt$GL_k({\mathbb{R}})$(Die Aktion ist ein lokaler Basiswechsel und$k$ist der Rang von$TM$). Mit anderen Worten, wir haben eine$G$-Struktur hier und hier kommt die "koordinatenfreie" Invarianz her. Ähnlich verhält es sich mit$\psi$: Es ist ein Abschnitt eines Vektorbündels$\pi: V \to M$der ein trägt$U(1)$-Struktur. An dieser Stelle sollte auch klar sein, wo der Unterschied zwischen den beiden Fällen liegt: Bei ersterem hat man zwei Bundles$TM$und$FM$während es in letzterem nur gibt$\pi: V \to M$. Es macht also keinen Sinn danach zu fragen$\psi$unveränderlicher zu sein, als es bereits ist: Sie haben nichts, in Bezug auf das Sie es zerlegen könnten. Also anstatt darüber nachzudenken$\psi$als Analogon des Abschnitts von$TM$, betrachten Sie es stattdessen als ein Analogon eines Abschnitts von$FM$.

Ich kann Ihre Verwirrung voll und ganz verstehen, da Sie sich natürlich von dieser neuen Sichtweise der Theorie überwältigt fühlen.

Die Antworten von Eric und Marek sind in Ordnung und ich werde nicht direkt auf Hauptbündel, lokale Trivialisierung und dergleichen eingehen. Ich möchte hier einen sehr intuitiven Ansatz vorstellen.

Ich würde vorschlagen, dass Sie ein oder zwei Schritte zurückgehen und versuchen, den Begriff einer kovarianten Ableitung in der klassischen Differentialgeometrie zu verstehen. Dort die kovariante Ableitung$D$stellt sicher, dass, wenn Sie eine gewisse Menge ableiten$F$auf einer Mannigfaltigkeit, sagen wir einer Oberfläche, diese neue Größe$DF$wird auch "auf der Mannigfaltigkeit" liegen (eigentlich etwas damit verwandtes wie der Tangentialraum).

Das folgende Beispiel soll hoffentlich verdeutlichen, was es bedeutet, dass etwas „am Verteiler bleiben“ muss.

Massenpunkt auf einer Fläche

Ok, machen wir das einfachste Beispiel, das man sich vorstellen kann, die Bewegung eines freien Massepunkts auf einer Oberfläche in der Newtonschen Mechanik. Wie Sie wissen, ist die Lagrange-Funktion in diesem Fall nur die kinetische Energie,

$$L = T = \frac{m}{2}\mathbf{v}^2$$

Also, was ist jetzt$\mathbf{v}^2$? Wir müssen davon ausgehen, dass in jedem Punkt die Geschwindigkeit tangential zur Oberfläche ist. Dann wissen wir das$\mathbf{v}^2 = g_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b$wobei wir über die Indizes summieren und die Oberfläche durch eine Metrik beschrieben wird$g_{ab}(x)dx^adx^b$und wir haben die Geschwindigkeit durch die zeitliche Ableitung der Position des Teilchens ersetzt.

Zur Lösung des Systems benötigen wir zwei Terme. Zuerst wollen wir rechnen

$$\frac{\partial{L}}{\partial{x^k}} = \frac{m}{2}\partial_k{g_{ab}(x)}\dot{x}^a\dot{x}^b$$

zweite,

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}^k}} = \frac{d}{dt}\frac{m}{2}g_{ab}(x) \left( \delta^a_k\dot{x}^b + \dot{x}^a\delta^b_k \right) = m\frac{d}{dt}g_{kb}(x)\dot{x}^b$$

seit$g$ist symmetrisch. Jetzt,

$$m\frac{d}{dt}g_{kb}(x)\dot{x}^b = m\left( \partial_lg_{kb}(x)\dot{x}^l\dot{x}^b + g_{kb}(x)\ddot{x}^b\right)$$

Schließlich sind die Bewegungsgleichungen gegeben durch

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}^k}} - \frac{\partial{L}}{\partial{x^k}} = 0$$

und m fallenlassen, wobei die Symmetrie in wiederverwendet wird$g$und einige Indizes umbenennen, kommen wir zu

$$g_{kb}\ddot{x}^b+\frac{1}{2}\left( \partial_a g_{kb} + \partial_b g_{ka} - \partial_k g_{ab} \right)\dot{x}^a\dot{x}^b = 0$$

das ist genau durch die Bewerbung$g^{ik}$

$$\ddot{x}^i + \Gamma^i_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b = 0$$

Wo die Christoffel-Symbole direkt zu sehen sind

$$\Gamma^i_{ab} = \frac{1}{2}g^{ik}\left( \partial_a g_{kb} + \partial_b g_{ka} - \partial_k g_{ab} \right)$$

und ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet.

Bezug zur Elektrodynamik

Nun ist diese Bewegungsgleichung schon magisch, da sie genau die Bewegungsgleichung für ein Testteilchen in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist . Aber was ist mit (anderen) Eichfeldtheorien?
Hier wird die Krümmung nicht direkt in Bezug auf die Mannigfaltigkeit definiert, sondern in Bezug auf eine Gruppe, die irgendwie daran „angehängt“ ist. Aus diesem Grund wird es einige Gruppenindizes geben, aber man kann diese weglassen, wenn die Lie-Algebra der Gruppe eindimensional ist, wie im Fall der Elektrodynamik. Dort ist unsere Krümmung$F_{\mu\nu}$aber wir könnten auch sagen$F^a_{\mu b\nu}$wo jetzt$a$und$b$sind Indizes der Gruppe. Dies sieht für die Krümmung der Allgemeinen Relativitätstheorie viel vertrauter aus,$R^{\mu}_{\nu\alpha\beta}$wo alle Indizes der Mannigfaltigkeit entsprechen, ist der Tangentialraum in gewisser Weise die Gruppe der allgemeinen Relativitätstheorie, grob gesagt.

Aus historischen Gründen werden die Christoffel-Symbole, die irgendwie (nicht immer!) die aufgrund der Krümmung auf das Teilchen wirkende Kraft auffangen, in Eichtheorien als Eichfelder bezeichnet$A$und neu skaliert,

$$\beta A^a_{\mu b}dx^{\mu}" = "\Gamma^a_{\mu b}dx^\mu$$

mit wieder Gruppenindizes$a$und$b$.

Wenn Sie nun etwas auf der Mannigfaltigkeit ableiten, müssen Sie diese Ableitung immer in Bezug auf die Christoffel-Symbole definieren, um "in der Mannigfaltigkeit" zu bleiben. Andererseits muss die Ableitung auch den Gruppencharakter respektieren, man könnte sagen, das Ergebnis muss „in der Gruppe“ bleiben. Dies wird durch eine kovariante Ableitung realisiert und hier werden die "Christoffel-Symbole" Eichfelder genannt.

Aufrichtig

Robert

Das beste Buch, das ich dazu gesehen habe, ist von Chris Isham mit dem Titel Modern Differential Geometry for Physicists . Es ist schwer, weil er alles rigoros macht, aber es lohnt sich am Ende für die konzeptionelle Klärung.

Es gibt im Grunde zwei Konzepte, die man sich besorgen muss: Hauptbündel und Vektorbündel. Der Begriff einer Verbindung kann in beiden unabhängig voneinander definiert werden und es ist nützlich zu wissen, wie man zwischen den beiden übersetzt.

Ein Hauptbündel hat eine Strukturgruppe, die in der Physik allgemein als Eichgruppe bekannt ist, und die Hauptkonstruktion, die daraus ein Vektorbündel ergibt, wird als assoziiertes Bündel bezeichnet, das durch Bereitstellung einer Darstellung der Struktur/Eichgruppe erhalten wird.

1) Die Notation ist schwer, weil es eine Menge Details zu beachten gibt. Jeder Schritt ist einfach, aber es ist die schiere Menge davon.

2) Eine Verbindung auf einem Hauptbündel$E$ist eine Aufspaltung seines Tangentialbündels$TE$in ein vertikales Bündel$VE$und ein horizontales Bündel$HE$das heißt äquivariant , das heißt, es ist kompatibel mit der Wirkung der Strukturgruppe auf die Fasern. Die Verbindung 1-Form ergibt sich aus der Beobachtung, dass wir die Fasern des vertikalen Bündels mit dem tangentialen Bündel der Gruppe identifizieren können$G$am Ursprung$e$, das bekommen wir$T_eG$, und das ist genau die Lie-Algebra der Gruppe.

3) Man verwendet die Verbindung 1-Form nicht direkt so, wie Sie es angegeben haben. Stattdessen wird aus der Verbindung 1-Form eine kovariante Ableitung konstruiert, die selbst keine 1-Form ist.

Es ist erwähnenswert, dass Haupt- und Vektorbündel und die Verbindungen darauf globale Konstruktionen sind, während die Konstruktionen, die man normalerweise in der Physik sieht, typischerweise lokal sind. Um das lokale Bild zu erhalten, nimmt man normalerweise einen Abschnitt des Bündels und zieht dann die geometrische Struktur zurück.

Das war ein Punkt, der mich verwirrte. Zum Beispiel ist die mathematische Verbindung 1-Form global, aber die Physiker-Verbindung 1-Form ist lokal und sie sind unterschiedlich.