Ich studiere die kanonische Quantisierung der Klein-Gordon-Real-Skalar-Quantenfeldtheorie, die durch die klassische Lagrange-Dichte gegeben ist
Die ebenen Wellenlösungen der Euler-Lagrange-Gleichung (die zur KG-Gleichung wird) haben natürlich die Form
Wo Und . Um beliebige Lösungen zu finden, nimmt man Überlagerungen über die drei räumlichen Dimensionen vor , und daher beginnen die meisten Ihrer Integrale mit etwas, das aussieht wie
Tatsächlich haben der Hamiltonoperator und die Operatoren für Erzeugung und Vernichtung solche integralen Formen, und wenn Sie dem Vakuum Bosonen hinzufügen, ist der Parameter dieser mysteriöse Vektor . Hat dies irgendeine intuitive physikalische Bedeutung (vielleicht mit den Bosonen zu tun, für die es ein Anfangsparameter ist) oder ist es einfach ein Nebenprodukt der abstrakten Mathematik?
Dies ist einfach eine Fourier-Transformation. Die Wellengleichung, die Hamilton-Funktion und die Green-Funktionen sind im Impulsraum alle einfacher als im Ortsraum. Dies liegt daran, dass sich für die kostenlose Theorie die verschiedenen Impulse entkoppeln und Sie ein Teilchen mit Impuls erzeugen können mit , und dieser Zustand wird sich auf angenehme Weise entwickeln. Dies ist unter anderem abhängig von der Übersetzungsinvarianz der Lagrangefunktion.
Wenn Sie handeln Auf dem Vakuum bekommt man ein Teilchen zu , das ist . Es ist eine Fourier-Transformation. Und das bedeutet, wenn ein Teilchen drin sein will dann sollte es alle Arten von Impulsen haben, was eigentlich die Unschärferelation ist. Für @lionelbrits ist der Lagrange nicht übersetzungsinvariant, aber die Aktion ist es.
Robin Ekmann