Ist die Grundzustandsenergie eines Quantenfeldes tatsächlich Null?

Question

Ist die Grundzustandsenergie eines Quantenfeldes tatsächlich Null?

Vakuum
Physik
Antimaterie
Quantenmechanik
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

John Eastmond

Ich beginne damit, das Wenige zu skizzieren, das ich über die Grundlagen der Quantenfeldtheorie weiß.

Die einfachste relativistische Feldtheorie wird durch die Klein-Gordon-Bewegungsgleichung für ein Skalarfeld beschrieben $\phi(\vec{x},t)$ :

\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{2}} - \nabla^{2} ϕ + M^{2} ϕ = 0.

$\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi+m^2\phi=0.$ Wir können die Freiheitsgrade voneinander entkoppeln, indem wir die Fourier-Transformation nehmen:

ϕ (\vec{X}, T) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} e^{ich \vec{P} \cdot \vec{X}} ϕ (\vec{P}, T) .

$\phi(\vec{x},t)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\vec{p}\cdot \vec{x}}\phi(\vec{p},t).$ Wenn wir wieder in die Klein-Gordon-Gleichung einsetzen, finden wir das

ϕ (\vec{p}, t)

$\phi(\vec{p},t)$ erfüllt die einfache harmonische Bewegungsgleichung

\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{2}} = - ({\vec{P}}^{2} + M^{2}) ϕ .

$\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-(\vec{p}^2+m^2)\phi.$ Daher gilt für jeden Wert von

\vec{p}

$\vec{p}$ ,

ϕ (\vec{p}, t)

$\phi(\vec{p},t)$ löst die Gleichung eines harmonischen Oszillators, der mit einer Frequenz schwingt

ω_{\vec{P}} = + \sqrt{{\vec{P}}^{2} + M^{2}} .

$\omega_\vec{p}=+\sqrt{\vec{p}^2+m^2}.$ Somit ist die allgemeine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung eine lineare Überlagerung einfacher harmonischer Oszillatoren mit der Frequenz

ω_{\vec{p}}

$\omega_\vec{p}$ . Wenn diese harmonischen Oszillatoren quantisiert werden, stellen wir fest, dass jeder einen Satz diskreter positiver Energieniveaus hat, die durch gegeben sind

E_{N}^{P} = ℏ ω_{\vec{P}} (N + \frac{1}{2})

$E^p_n=\hbar\omega_\vec{p}(n+\frac{1}{2})$ für

n = 0, 1, 2 \dots

$n=0,1,2\ldots$ Wo

n

$n$ wird als Anzahl der Teilchen mit Impuls interpretiert

\vec{p}

$\vec{p}$ .

Meine Frage ist, was ist mit den harmonischen Oszillatorlösungen, die mit negativer Frequenz schwingen

{\bar{ω}}_{\vec{P}} = - \sqrt{{\vec{P}}^{2} + M^{2}} ?

$\bar{\omega}_\vec{p}=-\sqrt{\vec{p}^2+m^2}?$

Wenn diese harmonischen Oszillatoren quantisiert werden, erhalten wir einen Satz diskreter negativer Energieniveaus, gegeben durch

{\bar{E}}_{N}^{P} = ℏ {\bar{ω}}_{\vec{P}} (N + \frac{1}{2})

$\bar{E}^p_n=\hbar\bar{\omega}_\vec{p}(n+\frac{1}{2})$ für

n = 0, 1, 2 \dots

$n=0,1,2\ldots$ Wo

n

$n$ kann nun als Anzahl der Antiteilchen mit Impuls interpretiert werden

\vec{p}

$\vec{p}$ .

Wenn dies richtig ist, dann die Gesamtenergie des Grundzustands pro Impuls $\vec{p}$ , ist gegeben durch

\begin{array}{rcl} T_{0}^{P} & = & E_{0}^{P} + {\bar{E}}_{0}^{P} \\ = & \frac{ℏ \sqrt{{\vec{P}}^{2} + M^{2}}}{2} + \frac{- ℏ \sqrt{{\vec{P}}^{2} + M^{2}}}{2} \\ = & 0. \end{array}

$\begin{eqnarray} T^p_0 &=& E^p_0+\bar{E}^p_0\\ &=& \frac{\hbar\sqrt{\vec{p}^2+m^2}}{2} + \frac{-\hbar\sqrt{\vec{p}^2+m^2}}{2}\\ &=& 0. \end{eqnarray}$

Somit ist die gesamte Grundzustandsenergie, $T_0$ , ist Null; es gibt keine Nullpunktsenergie.

Ist diese Interpretation der negativen Frequenzlösungen sinnvoll?

wahrscheinlich_jemand

Siehe auch: physical.stackexchange.com/questions/364240/… in dem die Gesamtenergie des realen Klein-Gordon-Feldes in jedem Zustand als unendlich angesehen wird.

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Ist die Grundzustandsenergie eines Quantenfeldes tatsächlich Null?

Siehe auch: physical.stackexchange.com/questions/364240/… in dem die Gesamtenergie des realen Klein-Gordon-Feldes in jedem Zustand als unendlich angesehen wird.

ACuriousMind · Answer 1

Nein, das ergibt keinen Sinn. Hier gibt es keine negativen Momentum-Oszillatoren. Im Impulsraum der Hamiltonoperator eines freien reellen Skalarfeldes $\phi$ Ist

H = \int (\frac{1}{2} | Π (\vec{P}) |^{2} + \frac{ω_{P}^{2}}{2} | ϕ (\vec{P}) |^{2}) \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}},

$H = \int \left(\frac{1}{2} \lvert \Pi(\vec p) \rvert^2 + \frac{\omega_p^2}{2} \lvert \phi(\vec p) \rvert^2 \right)\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3},$ Wo

ω_{p} = \sqrt{{\vec{p}}^{2} + m^{2}}

$\omega_p = \sqrt{\vec p^2 + m^2}$ . Es gibt keine Vorzeichenmehrdeutigkeit:

ω_{p}

$\omega_p$ ist immer positiv, und das freie Skalarfeld kann als eine Ansammlung solcher Oszillatoren mit positiver Frequenz angesehen werden, einer für jeden Impuls

\vec{p}

$\vec p$ .

Die "Negativfrequenzlösungen", von denen Sie wahrscheinlich gehört haben, sind etwas anderes: In der Modenerweiterung für das Feld im Ortsraum haben wir

ϕ (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{P}}} (A (\vec{P}) \exp (ich P X) + A^{†} (\vec{P}) \exp (- ich P X))

$\phi( x) = \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \left( a(\vec p) \exp(\mathrm{i}px) + a^\dagger(\vec p)\exp(-\mathrm{i}px)\right)$ und die präquantenfeldtheoretische Interpretation von

ϕ (x)

$\phi(x)$ als Wellenfunktion würde sich nun identifizieren

a (\vec{p}) \exp (i p x)

$a(\vec p)\exp(\mathrm{i}px)$ als "negative Frequenzlösung", da sich ein Hamiltonscher Eigenzustand entwickelt als

\exp (- i ω_{p} t)

$\exp(-\mathrm{i}\omega_pt)$ aber das enthält den Begriff

\exp (i ω_{p} t)

$\exp(\mathrm{i}\omega_p t)$ . Da identifiziert die Quantenfeldtheorie nicht

ϕ (x)

$\phi(x)$ als Lösung der Schrödinger-Gleichung gibt es hier kein Problem mit diesem Term.

meine2cts · Answer 2

Es gibt keine negativen Energieniveaus. Die zu negativen Frequenzen gehörenden Energieniveaus sind ebenfalls positiv. Die Noetherenergie ist proportional zu $\omega^2$ dividiert durch das Quadrat einer Norm proportional zu $\sqrt{\omega}$ , ist also positiv definit. Die Kreisfrequenz kann positiv oder negativ sein, aber ihr Vorzeichen bestimmt das Vorzeichen der Ladung.

Warum ist die Energie proportional zu $\omega^2$ ? woher hast du das? Und wie impliziert das, dass es positiv-definit ist? $A=-\omega^2$ ist auch proportional zu $\omega^2$ , aber negativ definit.
@accidentalfouriertransform Du hast vollkommen Recht. - E ist negativ definit. Der Punkt ist, dass das Vorzeichen geändert wird $\omega$ ändert nicht das Vorzeichen der Energie, sondern nur das der Ladung.

Ist die Grundzustandsenergie eines Quantenfeldes tatsächlich Null?

John Eastmond

wahrscheinlich_jemand

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ACuriousMind

meine2cts

AccidentalFourierTransform

meine2cts

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