Lagrange für ein freies Dirac-Feld gleich Null?

Die Lagrangedichte (Dichte) für ein freies Dirac-Feld ist gegeben als

L D ich R A C = ψ ¯ ( ich γ μ ∂ μ − M ) ψ ,
aber angesichts dessen ψ gehorcht der Dirac-Gleichung,
( ich γ μ ∂ μ − M ) ψ = 0
Bedeutet dies nicht, dass die Lagrange-Funktion (Dichte) null ist?

Antworten (1)

Sie haben herausgefunden, dass die bei der Lösung der Bewegungsgleichung berechnete Lagrange-Funktion konstant (und gleich Null) ist.

Die Lagrange-Dichte ist jedoch für eine generische Feldkonfiguration definiert, nicht nur für die Lösung der Bewegungsgleichung.

Da eoms durch Stabilisierung der Aktion gefunden werden S = ∫ L , nur die Lösung der eoms anstelle einer generischen Feldkonfiguration zu betrachten, ist wie die Betrachtung einer Funktion F ( X ) nur an seinem stationären Punkt; im Allgemeinen reicht es nicht aus, weil Sie wissen müssen, wie sich die Funktion in einer ganzen Nachbarschaft solcher Punkte verhält.

Die Lagrangedichte (Dichte) für das KG-Feld, L K G = 1 2 ( ∂ μ ϕ ) ( ∂ μ ϕ ) − 1 2 M 2 ϕ 2 , verschwindet nicht?
Es tut, in dem Sinne, dass Ihr L KG ist äquivalent zu L ' = − 1 2 ϕ ( ◻ + M 2 ) ϕ bis zu einer 4-Divergenz. Aber selbst wenn es nicht verschwunden wäre, wäre es nur eine Konstante gewesen (in Bezug auf die Felder), und Sie können die Lagrange-Funktion neu definieren, indem Sie sie subtrahieren, sodass sie verschwindet.
Nur um zu spezifizieren, was verschwindet, ist die Lagrange-Funktion, die in der Lösung der Bewegungsgleichung ausgewertet wird, nicht für eine generische Feldkonfiguration. Aber unter Anwendung des Variationsprinzips interessiert uns das Verhalten des Lagrange-Operators in einer Umgebung der Lösung der Eoms, daher ist es oft nicht das, was Sie tun möchten, einen Lagrange-Operator für diesen bestimmten Punkt zu bewerten.
@yoric deine Antwort ist wirklich hilfreich. Ich verstehe jedoch nicht, wie der Energie-Impuls-Tensor berechnet wird T μ v Für ein Dirac-Spinorfeld kann ich den Term mit dem Lagrangian entfernen (basierend auf den obigen Überlegungen), während ich ihn bei der Berechnung des Terms für ein Skalarfeld berücksichtigen muss, um den richtigen Tetraimpulsvektor zu erhalten
Lagrange für ein freies Dirac-Feld gleich Null?
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