Frage zu Eichtransformationen eines nichtlinearen Sigma-Modells

Betrachten Sie eine Reihe von Skalarfeldern$\phi^i$($i = 1, 2, \ldots, N$), die wir nun mit einem Satz von Eichvektorfeldern koppeln würden$A_\mu^A$Wo$A = 1, 2, \ldots \text{dim}(G)$($G$ist im Allgemeinen eine nicht-Abelsche Eichgruppe). Die (minimale Kopplungs-)Vorschrift dazu ist der übliche Ersatz der Standardableitung durch die Eich-kovariante Ableitung:

$$\partial_\mu \phi^i \longrightarrow D_\mu \phi^i \equiv \partial_\mu\phi^i - A_\mu^A K_A{}^i$$

Wo$K_A^i$sind Killing-Vektoren, die die Killing-Bedingung erfüllen$\mathcal{L}_{K_A}g_{ij} = 0$und die Algebra$\mathcal{L}_{K_A}K_{B} = [K_A, K_B] = f_{AB}{}^C K_C$(Hier$f_{AB}{}^C$sind die Strukturkonstanten der Lie-Algebra von$G$, Und$K_A \stackrel{\Delta}{=} K_A{}^i\partial_i$).

Eine infinitesimale Eichtransformation ist gegeben durch

$$\delta\phi^i = \Lambda^A K_A{}^i$$ $$\delta A_\mu^A = \partial_\mu \Lambda^A + f^A{}_{BC}A_\mu^B\Lambda^C$$

Die Parameter$\Lambda^A$sind beliebige Funktionen der Raumzeit. Das ist alles aus dem Buch von Cecotti mit dem Titel "Supersymmetric Field Theories". Für einen Auszug klicken Sie hier .

Nun stellt der Autor fest

$$\label{eq:A}\delta D_\mu\phi^i = \Lambda^A(\partial_j K_A^i)D_\mu\phi^j + A_\mu^B\Lambda^C[K_B{}^j\partial_j K_C^i-K_C{}^i\partial_j K_B{}^i]-f_{BC}{}^A A_\mu^B \Lambda^C K_A^i = \Lambda^A(\partial_j K_A^i)D_\mu\phi^j \qquad \text{(#)}$$

Ich verstehe nicht, wie diese Gleichung (die erste Gleichheit) zustande gekommen ist.

Wenn die Raumzeit mit bezeichnet wird$\Sigma$und mit Koordinaten beschriftet$x^\mu$, und Zielbereich (der Bereich, in dem$\phi^i$'s live) ist mit gekennzeichnet$\mathcal{M}$(also der index$i$Etikettenkoordinaten von$\mathcal{M}$, dh die Felder$\phi^i$), dann verstehe ich das$\delta\phi^i = \Lambda^A K_A^i$ist ein Diffeomorphismus im Zielraum, und ich würde erwarten

$$\delta K_A^i(\phi) \stackrel{?}{=} \Lambda^B \partial_B K^j \partial_j K_A^i - \partial_j(\Lambda^B K_B^i)K_A^j = \Lambda^B (f_{BA}{}^C K_C{}^i) - (\partial_j \Lambda^B)K_B^i K_A^j$$

wo wir hinfahren können$\partial_j \Lambda^B = 0$Weil$\Lambda^B$(als Parameter mit Lie-Algebra-Wert) ist keine Funktion von$\phi^i$'S.

In dem Buch von Cecotti, dem Transformationsgesetz für$K_A^i$ist nicht gegeben. Allerdings wird in einem Buch von Tomás Ortín mit dem Titel „Gravity and Strings“ (für einen Auszug hier klicken ) das Transformationsgesetz für$K_A^i$ist (siehe Anhang J, Gleichung J.8, wenn Sie auf das Buch verweisen möchten)

$$\delta K_A{}^i = \Lambda^B K_B{}^j \partial_j K_A{}^i$$

das ist nur der erste Term (der „Transportterm“) von dem, was ich oben geschrieben habe.

Meine erste Frage ist : Warum gilt das Umwandlungsgesetz nicht für$K_A{}^i$eine Ableitung des Transformationsparameters enthalten, da der Transformationsparameter lokal (im Zielraum) ist$K_A{}^i$hängt im Allgemeinen von den Feldern ab$\phi^1, \ldots, \phi^N$?

Meine zweite Frage bezieht sich auf die tatsächliche Ableitung der Gleichung (#): Ich habe die naive Sache des Schreibens gemacht

$$\delta D_\mu\phi^i = \delta(\partial_\mu \phi^i - A_\mu^A K_A{}^i)$$

und dann die nehmen$\delta$in unter Verwendung der Transformationsgesetze von$\phi^i$,$A_\mu^A$Und$K_A{}^i$. Ich hatte erwartet, (#) zu bekommen, aber ich bekomme nicht einmal den ersten Term auf diese Weise. Was mache ich falsch?