Sind Skalarfelder bis zu harmonischen Funktionen definiert?

Haftungsausschluss: Diese Frage ist möglicherweise sehr dumm. Es sieht so aus, als ob ich einen grundlegenden Punkt übersehe.

Betrachten wir einen massiven Skalar$\pi$

$$\mathcal{L}_\pi = -\frac{1}{2}(\partial \pi)^2 -\frac{m^2}{2}\pi^2 + g \mathcal{L}_{int}(\pi)\,,\qquad\qquad\qquad Eq.(1)$$ Wo $g$ist eine Kupplung und $\mathcal{L}_{int}$beinhaltet nicht abgeleitete Wechselwirkungen. Das Feld $\pi$erfüllt die übliche Klein-Gordon-Gleichung $(\square - m^2) \pi=-g\mathcal{L}'_{int}$wo das Potential als Quelle fungiert.

Meine Frage : Dürfen wir eine Feldneudefinition durchführen?$\pi(x) \rightarrow \pi(x) + f(x)$Wo$f(x)$ist eine exakte harmonische Funktion (d.h$\square f(x)=0)$?

Ich bin da verwirrt, wenn wir die Interaktionen per Einstellung abschalten$g=0$, das Feld$f(x)$verhält sich wie ein Hilfsfeld. In der Tat wird der Lagrange

$$\mathcal{L}_{\pi+f} = -\frac{1}{2}(\partial \pi)^2 -\frac{m^2}{2}(\pi(x)+f(x))^2\,,\qquad\qquad\qquad Eq.(2)$$

und die Bewegungsgleichungen für$f(x)$Bedingung bedeuten

$$f(x) = -\pi(x).$$

Jetzt ist klar, dass hier etwas falsch läuft. Das kann nicht stimmen. Ich habe mit einem propagierenden freien massiven Skalar begonnen und durch eine ( fragwürdige ) Feldumdefinition den Pol des Propagators auf verschoben$m^2=0$.

BEARBEITEN v1

Nach der ersten Antwort möchte ich die folgenden Punkte hervorheben.

• Unter der Annahme, dass die von mir vorgeschlagene Feldneudefinition sinnvoll ist, sollte ich feststellen, dass die beiden Theorien Gl. (1) und Gl. (2) Äquivalente sind. Einen Hinweis auf eine solche Äquivalenz gibt beispielsweise die Lage der Pole der innerhalb der beiden Theorien berechneten Korrelationsfunktionen. Wenn die Pole bei unterschiedlichen Massen gefunden werden, propagieren die Theorien mit Sicherheit unterschiedliche Freiheitsgrade.
• Wenn man Sie bittet, mit der folgenden Partitionsfunktion zu arbeiten $$Z[J_\pi,J_f] = \int \mathcal{D}\pi \mathcal{D}f e^{iS_{\pi+f} + i \int d^d x J_\pi f(x) + i \int d^d x J_f f(x) }$$ es gibt keine Möglichkeit, das festzustellen$\pi$Und$f$sind abhängige Felder, es sei denn, Sie berechnen die Bewegungsgleichung für beide Felder . Beachten Sie, dass es keine Möglichkeit gibt, dies zu sagen$f(x)$ist ein harmonisches Feld . Die Bewegungsgleichungen sind (im Grenzfall$g=0$)

$$\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial \pi} -\partial_\mu\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial\partial_\mu \pi} = 0 \rightarrow \square\pi = m^2(\pi + f)\,,\qquad \qquad Eq.(3)$$

$$\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial f} -\partial_\mu\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial\partial_\mu f} = 0 \rightarrow f=-\pi\,,\qquad \qquad Eq.(4)$$ und Sie sehen das, wenn Sie Gl. (3) und Gl. (4) kombinieren, erhalten Sie

$$\square \pi = 0\qquad\rightarrow\qquad \square f = 0$$

• Der heikle Punkt kann das sein$f(x)$wird zu einem beschränkten Feld befördert und die Integration in das Pfadintegral sollte in einem beschränkten Feldraum durchgeführt werden. Solche Informationen sollten unter Verwendung eines Lagrange-Multiplikators in den Lagrange gesetzt werden$\lambda(x)$. Wenn ich zum Beispiel zu Gleichung (2) einen "Befestigungsterm" hinzufüge $$\mathcal{L}_{\pi+f} = -\frac{1}{2}(\partial \pi)^2 -\frac{m^2}{2}(\pi(x)+f(x))^2 +\lambda(x) \square f(x)\,,\qquad\qquad Eq.(5)$$ dann hat der Lagrange-Multiplikator die Form$\square \lambda(x) = m^2(\pi(x) + f(x))$was, wieder eingesetzt in Gleichung (5), die Abhängigkeit von beseitigt$f(x)$und wir stellen den ursprünglichen Lagrangian wieder her. Ist das die Lösung?