Partikelerzeugung durch eine Quelle, wie in QFT in a Nutshell von A. Zee erklärt

Stellen Sie sich eine Quelle zunächst wie eine Radioantenne vor (sie ist schließlich eine Quelle für elektromagnetische Felder). Eine Antenne, die gut emittieren kann, kann auch gut absorbieren . So$J(x)$kann sowohl eine Quelle als auch eine Senke modellieren, jeweils mit einem gewissen räumlichen Profil. In Zees Setup wird diese Kombination aus Quelle und Senke modelliert als$J(x)$mit erweitertem Raumprofil.

Wenn Zee sich trennt$J \equiv J_A + J_B$Sie können sie sich als zwei Antennen A und B vorstellen. Die Kreuzbegriffe wie z$J_A^* J_B$Term entspricht A emittierend und B absorbierend und den selbst/diagonalen Termen like$J_A^* J_A$entsprechen einer Antenne, die mit ihrem eigenen Strahlungsmuster interagiert. Wenn Sie die Selbstinteraktion bei der Bestimmung des Strahlungsmusters Ihrer Antenne selbstkonsistent berücksichtigen können, liegt die Physik der Kommunikation im Wesentlichen im Widerspruch.

Der erste Ausdruck, den Sie geschrieben haben, erklärt das$\mathcal{W}[J]$ist eine Summe aller möglichen Wege, auf denen ein Teilchen an einem Punkt emittiert und am anderen Punkt absorbiert wird – deshalb werden Quelle und Senke mit dem Propagator „zusammengezogen“, in der Sprache der Feynman-Diagramme. Jetzt können Sie verstehen, warum dies die Rate des Partikelerzeugungs-Übertragungs-Absorptionsprozesses misst.

Es ist entscheidend, dass Quelle und Senke keine signifikante räumliche Überlappung haben müssen, um Wellen/Partikel/Felder zu übertragen (andernfalls könnten wir EM-Felder nicht zur Kommunikation über große Entfernungen verwenden!). Ihr Sender und Empfänger teilen sich jedoch besser die gleichen Frequenzen! Andernfalls absorbiert der Empfänger (Senke) nur einen sehr kleinen Bruchteil der vom Sender (Quelle) ausgesendeten Signalleistung. Deshalb möchten wir$J_1(k)$Und$J_2(k)$um eine signifikante Überlappung im Frequenzraum zu haben. Außerdem müssen Sie nicht nur eine signifikante Überlappung zwischen dem Quell- und dem Senkenspektrum haben, sondern Ihr Medium sollte die relevanten Frequenzen nicht dissipativ übertragen! Die Resonanz in den Feldmoden$\phi(k)$Dort findet die Ausbreitung am besten statt (im Medium des Feldhintergrunds) mit der geringsten Streuung. In der Feldtheorie wird dies als „On (Masse) Shell Particle“ bezeichnet und entspricht im Grunde den EM-Wellen, mit denen wir es gewohnt sind.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Sie, wenn Sie eine bestimmte Frequenz effektiv senden und empfangen möchten, möchten, dass Ihr Sender und Empfänger auf einer Frequenz schwingen, die das Medium gut unterstützt.

Ihre ersten beiden Fragen, die zugegebenermaßen nicht die wichtigsten sind, kann ich beantworten, aber vielleicht hilft das erstmal weiter.

1. Überlappung bedeutet nur, dass beide Funktionen in einem ähnlichen Bereich von ungleich Null sind$k$-Raum. Angenommen, wo auch immer$J_1(k)$ist ungleich Null$J_2(k)$Null ist und umgekehrt; dann wäre das Integral Null. Wenn andererseits in einigen Bereichen beide Funktionen eine signifikante Amplitude aufweisen, wird ihr Produkt zu einer mäßig hohen Zahl integrieren.

2. Die Resonanzspitze ist eine Eigenschaft der Funktion$1/(k^2-m^2)$, hat es nichts mit der Überlappung an sich zu tun. Gehen wir jedoch zurück zu Antwort 1: Angenommen, das$J_1(k)$Und$J_2(k)$Überschneidung in einigen Regionen, in denen$k^2-m^2$ist sehr groß. In diesem Fall wird das Integral nicht sehr groß sein, weil$1/(k^2-m^2)$ist klein. Wenn Sie ein großes Integral wollen, brauchen Sie die drei Funktionen ($J_1(k)$,$J_2(k)$Und$1/(k^2-m^2)$) in der gleichen Region groß sein.

Ich weiß nicht wirklich, wie ich 3 und 4 beantworten soll. Tatsächlich teile ich Ihre Verwirrung, denn immerhin$W$geht in ein Exponential, also kümmern wir uns nur um seinen Wert modulo$2\pi$. Ich würde sagen, wenn Sie Zee lesen, gewöhnen Sie sich daran. Nicht alles ist rigoros bewiesen; oft spricht er nur über das intuitive bild, ohne tatsächlich zu zeigen, dass die mathematik dem entspricht. Mein Rat ist, einfach weiterzulesen, ohne sich zu sehr mit den Details zu beschäftigen, und dann ein ausführlicheres Buch lesen und später auf Zee zurückkommen; Dinge werden mehr Sinn machen.

Um die letzten beiden Fragen zu beantworten, ist es einfacher, nicht in Begriffen zu denken$W[J]$direkt, sondern nach der ersten Ableitung

Andererseits,$W[J]=\int_{x,y}\langle \phi(y)\rangle(\square^2+m^2)\langle \phi(x)\rangle$bezieht sich auf die Energie des Systems in Gegenwart der Quelle, die nur dann groß ist, wenn die Quellen nahe genug sind (in der Größenordnung von$m^{-1}$), was die "Resonanz"-Bedingung ist.