Wann können wir ein Quantenfeld wie ein klassisches Feld handhaben?

Ein sauberer Weg, um das Konzept eines klassischen Felds zu präzisieren, indem es Dinge in Bezug auf eine quantenwirksame Aktion formuliert: Bei einer gegebenen Erzeugungsfunktion verbundener und renormierter grüner Funktionen,$W(J)$, mit

$$e^{W(J)} = \int \mathcal{D}\phi\,e^{-I[\phi]+\int d^dx\,J\phi}$$ die quantenwirksame Wirkung, $\Gamma[\varphi]$, ist die Legendre-Transformation (falls vorhanden), $$W(J) = -\Gamma[\varphi]+\int J\varphi, \quad {\rm where}\quad \varphi(J)\equiv \frac{\delta W(J)}{\delta J}.$$ Davon wird hier ausgegangen $\varphi(J)$kann (zumindest innerhalb der Störungstheorie) in dem Sinne invertiert werden, dass man daraus einen expliziten Ausdruck für ableiten kann $J(\varphi)$. Also müssen wir davon ausgehen $J(\varphi)$existiert und ist einwertig. Dann enthält die quantenwirksame Wirkung exakte Informationen über die volle Quantentheorie.

Nehmen Sie jetzt an, dass$\bar{\varphi}$löst die vollständigen Quantenbewegungsgleichungen von$\Gamma[\varphi]$, das ist:

$$\frac{\delta \Gamma[\varphi]}{\delta \varphi}\Big|_{\varphi=\bar{\varphi}}=0.$$ Aus der obigen Legendre-Transformation folgt dann, dass diese Lösung für die volle quantenwirksame Wirkung die Einpunktfunktion ist: $$\frac{\delta W(J)}{\delta J}\Big|_{J=0}=\bar{\varphi}.$$ Alles wäre konsistent, wenn wir in unserem ursprünglichen Pfadintegral Quantenfluktuationen um den vollen quantenkorrigierten Hintergrund herum berechnen würden, dh wenn wir expandieren würden $\phi=\bar{\varphi}+\tilde{\phi}$und integriert über $\tilde{\phi}$im definierenden Pfadintegral von $W(J)$. Dies ist eine nicht triviale Anforderung, aber es ist klar , wie dies zu tun ist.

Also die Menge$\bar{\varphi}$ist ein exaktes Onshell-Feld, das minimiert wird$\Gamma(\varphi)$und$\varphi$ist das entsprechende Offshell-Feld, das in der generischen Aktion angezeigt wird$\Gamma(\varphi)$. Jetzt kommt ein entscheidender Punkt: Informationen über die vollständige Quantentheorie sind in den Baumdiagrammen von enthalten$\Gamma(\varphi)$, dh in den "klassischen Bewegungsgleichungen" von$\Gamma(\varphi)$. Außerdem beim Rechnen$\Gamma(\varphi)$Innerhalb der Störungstheorie werden Sie feststellen, dass Sie es in einer Schleifenerweiterung neu anordnen können (dh Erweiterung in$\hbar$, vergiss Wilsons effektive Aktionen hier),

$$\Gamma(\varphi) = \sum_{\ell=0}^{\infty}\Gamma_{\ell}(\varphi),$$ wo $\ell$bezeichnet die Schleifenreihenfolge. Die $\ell=0$Begriff ist normalerweise eine offensichtlich lokale Aktion und die höhere Ordnung ( $\ell>0$)-Terme sind oft sehr nichtlokal (insbesondere in masselosen Theorien). (Für massive Theorien können die scheinbar nicht-lokalen Terme als unendliche Überlagerung lokaler Terme geschrieben werden, aber dies ist für masselose Theorien nicht möglich. Es ist diese letztere Erweiterung, die die Verbindung zur Wilsonschen Renormierung herstellt, weil hier diese Überlagerung in Termen organisiert ist von Energieskalen. All diese Konzepte sind also sehr eng und eng miteinander verbunden.)

Endlich können wir Ihre Frage beantworten: Wenn die höhere Schleife ($\ell>0$) Begriffe in der Erweiterung von$\Gamma(\varphi)$vernachlässigbar sind, wird die volle Dynamik im Wesentlichen durch die klassischen Bewegungsgleichungen der erfasst$\ell=0$Begriff,$\Gamma_0(\varphi)$. Es ist diese Größe, die man normalerweise mit der Dynamik des klassischen Feldes identifiziert$\varphi$, und zB im Zusammenhang mit der Inflation$\varphi$(oder, onshell$\bar{\varphi}$) wäre die Inflation. Zu führender Ordnung ist es oft der Fall$\Gamma_0(\varphi)$fällt mit der bloßen Handlung zusammen$I(\phi)$(in der Form), wenn letzteres klassisch behandelt wird. Deshalb können wir klassische Felder und ihre klassische Dynamik betrachten, und dies hat seinen Ursprung in der vollständigen Quantentheorie. Es ist jedoch oft so, dass in der Literatur nicht unterschieden wird$\Gamma_0(\varphi)$und$I(\phi)$, und das verursacht all die Verwirrung, die viele Menschen haben. Das ist zumindest mein Verständnis.

In Bezug auf den Kommentar von @AlQuemist bezüglich einer physikalischen Antwort möchte ich das Konzept der Mean-Field-Instabilität erwähnen (wobei$\bar{\varphi}$aus dem Beitrag von @ Wakabaloola wäre das mittlere Feld). Betrachten Sie zur Veranschaulichung die folgende (komplexe) Modellaktion:

$$S = \int \mathrm{d}t\; \left\{\sum_{\alpha=1,2}\left[ \phi_{\alpha}^{*}i\partial_t\phi_{\alpha}^{} - \tfrac{U}{2} \left| \phi_{\alpha}^{}\right|^{4} \right] -J(\phi_{1}^{*} \phi_{2}^{} + \phi_{2}^{*} \phi_{1}^{}) \right\}.$$

Dies könnte beispielsweise kalte Atome in einem Doppeltopfpotential mit kohärenter Kopplung beschreiben$J$und eine Kontaktinteraktion$U$. Befolgen Sie das von @Wakabaloola skizzierte Verfahren, dh das Berechnen

$$\left.\frac{\delta \Gamma[\phi_\alpha, \phi_\alpha^*]}{\delta\phi_\alpha^*}\right|_{\phi_\alpha=\Phi_\alpha,\; \phi_\alpha^*=\Phi_\alpha^*}=0,$$

man kann zwei sogenannte Gross-Pitaevskii- Gleichungen herleiten

$$\begin{align} \begin{split} i\partial_ t \Phi_{1}^{} &= J \Phi_{2}^{} + U \left| \Phi_{1}^{}\right|^{2} \Phi_{1}^{}, \\ i\partial_ t \Phi_{2}^{} &= J \Phi_{1}^{} + U \left| \Phi_{2}^{}\right|^{2} \Phi_{2}^{}, \end{split} \end{align}$$ das sind die "klassischen" Bewegungsgleichungen im oben diskutierten Sinne ( $\bar{\varphi} \equiv \Phi_\alpha$). Setzen der komplexen Mean-Felder auf $\Phi_{\alpha}^{} = \sqrt[]{N_{\alpha}}e^{i\theta_{\alpha}}$, diese sind äquivalent zu

$$\begin{align} \begin{split} \dot{z} &= 2J\,\sqrt[]{1-z^2}\sin{\theta}, \\ \dot{\theta} &= NUz - 2J\frac{z }{\sqrt[]{1-z^2}}\cos{\theta}, \end{split} \end{align}$$ wo $N = N_1+N_2 = \mathrm{const.}, z = (N_1 - N_2)/N, \theta = \theta_2 - \theta_1$. Siehe auch Referenz [1], wo sie die Analogie eines klassischen nicht starren Pendels angeben, das durch diese beiden Gleichungen beschrieben wird.

Nun wollen wir uns der Frage nach der Stabilität dieses mittleren Feldes widmen, indem wir nach den Fixpunkten dieser Gleichungen suchen. Offensichtlich ist eine Menge von Fixpunkten gegeben durch$(z^*,\theta^*) = (0, n\pi)$, wo$n$gibt ein Vielfaches von an$\pi$und das Sternchen bezeichnet den Fixpunkt ($z$und$\theta$sind real). Beschränken wir uns auf den konkreten Punkt$(z^*,\theta^*) = (0, \pi)$[2]. Die Jacobi-Formel der beiden an dieser Stelle ausgewerteten Gleichungen ist

$$\begin{align} \mathcal{J}(0, \pi) = \begin{pmatrix} 0 & 2J\\ NU - 2J & 0 \end{pmatrix}, \end{align}$$ die Eigenwerte hat

$$\begin{align} \lambda = \begin{cases} \pm \, 2Ji\,\sqrt[]{|\Lambda-1|},\quad \Lambda < 1, \\ \pm \,2J\,\sqrt[]{\Lambda-1},\quad \Lambda > 1. \end{cases} \end{align}$$

Wir haben definiert$\Lambda = NU/2J$. Für$\Lambda > 1$, sind die Eigenwerte offensichtlich reell, was bedeutet, dass wir einen sogenannten hyperbolischen Fixpunkt haben. Der entscheidende Punkt ist nun folgender: Wann immer wir uns in der Nähe eines instabilen Fixpunktes ($\mathrm{Re}\,\lambda > 0$) ist bekannt, dass die Mean-Field-Beschreibung komplett versagt. Beweisen kann man dies zum Beispiel, indem man Schwankungen in die Beschreibung einbezieht, die gerade unter dieser Bedingung groß ausfallen. In Verbindung mit dem Beitrag von @ Wakabaloola müsste man hier höhere Beiträge berücksichtigen$\hbar$mit$l>0$.

Was wir beschrieben haben, ist eine dynamische Instabilität für ein System, das die klassische Analogie eines Pendels hat. Das entstehende physische Bild ist einfach: der Punkt$(0, \pi)$ist wie das, wo das Pendel "auf dem Kopf" steht. Wichtig ist, dass die Nichtlinearität, die von der Wechselwirkung herrührt, für die Existenz dieses Fixpunkts verantwortlich ist. Für "kleine" Interaktionen ($\Lambda < 1$), die Nichtlinearität stabilisiert diesen Punkt, und man erhält nicht-triviale stabile Oszillationen, die durch das mittlere Feld ziemlich gut beschrieben werden. Wenn die Interaktion größer wird ($\Lambda > 1$), bricht die Stabilität zusammen und (Quanten-)Fluktuationen werden relevant. Intuitiv hat dies damit zu tun, dass innerhalb des instabilen Regimes die kleinste Erschütterung das Pendel in eine beliebige Richtung kippen lässt („spontane Symmetriebrechung“). Um diese Richtung vorhersagen zu können, müsste man „alles“ über die über die Quantenfluktuationen eintretende Zufälligkeit wissen. Wenn Fluktuationen vorherrschen, befindet man sich im "nicht-störenden" Bereich, wo (bestenfalls) nur sehr ausgeklügelte Resummationstechniken mit unendlich vielen Diagrammen verwendet werden können.

[1] Smerzi, A., Fantoni, S., Giovanazzi, S. und Shenoy, SR, 1997. Quantenkohärentes Atomtunneln zwischen zwei eingeschlossenen Bose-Einstein-Kondensaten. Physical Review Letters, 79(25), S.4950.

[2] Vardi, A. und Anglin, JR, 2001. Bose-Einstein-Kondensate jenseits der mittleren Feldtheorie: Quantenrückreaktion als Dekohärenz. Physical Review Letters, 86(4), S.568.