Physikalische Interpretation von Feldern in QFT

In Quantenfeldtheorien sind die Felder dazu da, Lokalität und Kausalität zu manifestieren. Diese Felder sind geeignete lineare Kombinationen von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren von Ein-Teilchen-Zuständen. Sie sind nicht unbedingt hermitesch, was (in QM) bedeutet, dass sie nicht unbedingt beobachtbar sind.

Sie sind etwas wie:

$$\phi_{\alpha}(x)=\sum_{p,\sigma,n}A_{\alpha}^{p,\sigma,n}(x)a_{p,\sigma,n}+\sum_{p,\sigma,n}B_{\alpha}^{p,\sigma,n}(x)a^{\dagger}_{p,\sigma,n}$$

wo$\alpha$trägt eine endliche Darstellung der Lorentz-Symmetriegruppe. Sie sind so aufgebaut, dass$[\phi_{\alpha}(x),\phi^{(\dagger)}_{\beta}(y)]=0$für raumartige Intervalle. Dies macht es unserem Leben leicht, Interaktionen zu konstruieren, die Zufälligkeit und Lokalität respektieren. Nur machen Bedingungen als

$$V=\int d^4x\, \partial^{(m)}\phi(x)^n...\partial^{(k)}\psi(x)^l$$

Oder jede andere Nichtlinearität im Lagragian oder Hamiltonian. Wir müssen dies tun, weil alle physikalischen Größen für Wechselwirkungen über die Zeitordnung empfindlich sind:

$$\mathcal{T}\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int_{t1}^{t2}V(t)dt\right)$$ und im Allgemeinen die zeitliche Ordnung eines Produkts von Feldern $\mathcal{T}(\phi_{\alpha}\phi^{\dagger}_{\beta})$wäre abhängig vom Bezugsrahmen if $[\phi_{\alpha}(x),\phi^{(\dagger)}_{\beta}(y)]\neq0$.

Der Punkt ist: Es gibt vielleicht andere Möglichkeiten, sich der relativistischen QM ohne Felder zu nähern, siehe zum Beispiel dies .

Nun fragen Sie sich vielleicht nach Feldern, die im makroskopischen Maßstab wie dem EM-Feld erscheinen. Es stellt sich heraus, dass sich masselose Teilchen mit massiven Teilchen auf eine solche Weise koppeln ( Eichwechselwirkungen ), dass einige Arten von Mehrteilchenzuständen leicht entstehen, nämlich die kohärenten Zustände .

Dieser Zustand hat eine unbestimmte Anzahl von Teilchen und ein gut geformtes Feld. Sie können sich das als die erste Manifestation der Welle-Teilchen-Dualität vorstellen. Es gibt ein beobachtbares Feld$\mathcal{O}(x)$, mit Erwartungswert$\langle\mathcal{O}(x)\rangle = \mathcal{O}_{\mathcal{cl}}(x)$, und eine minimale Standardabweichung. Der Vakuumzustand ist ein kohärenter Zustand für$\mathcal{O}_{\mathcal{cl}}(x)=0$überall, überallhin, allerorts. Alle Systeme können diese Zustände im Prinzip erreichen, aber es sollte Wechselwirkungen geben, die solche Zustände physikalisch realisieren. In der speziellen Relativitätstheorie sind diese Zustände sehr natürlich, besonders für masselose Teilchen.

In der nichtrelativistischen QM bleibt die Anzahl der Teilchen immer erhalten, und Überlagerungen von Zuständen mit unterschiedlicher Teilchenzahl sind unmöglich, was die Nichtrealisierung kohärenter Zustände impliziert. Dies liegt daran, dass in der Lie-Algebra der Galileischen Gruppe eine zentrale Ladung vorhanden ist . Zentralladungen sind Bedrohungen für Symmetrien. Sie stören nicht unbedingt die Symmetrie, können aber stören, wenn die Superselektionsregeln missachtet werden.

Beginnend mit nichtrelativistischen Feldern (und später unter Einbeziehung der Quantenmechanik):

Ein Feld ist ein Objekt/Gebilde, das zu jedem Zeitpunkt in Raum und Zeit einen Wert hat, also „Funktionen“ von Raum und Zeit sind. Ein Feld erfüllt auch eine Bewegungsgleichung, und sie haben eine physikalische Bedeutung in dem Sinne, dass sie Energie von einem Ort zum anderen tragen und physikalische Prozesse beeinflussen können.

Weiter zu relativistischen Feldern:

Relativistische Felder fallen in 2 Gruppen, basierend darauf, eine Bewegungsgleichung einer der beiden Klassen zu erfüllen$0$oder$1$, (das sind Klassen von Gleichungen, abhängig von der Art der Funktion$Z$).

$$\frac {d^2Z}{dt^2} – c^2 \frac {d^2Z}{dx^2} = 0,\qquad \mathrm{Equations\ of\ class\ } 0.$$ (Elektromagnetische Wellen, die sich durch Vakuum bewegen, entsprechen den Gleichungen der Klasse 0 und bewegen sich bei c).

oder eine Bewegungsgleichung

$$\frac {d^2Z}{dt^2} – c^2 \frac {d^2Z}{dx^2} = – (2\pi \nu_{\mathrm{min}} )^2 (Z-Z_0) \qquad \mathrm{Equations\ of\ class\ }1.$$

$\nu_{\mathrm{min}}$ist die minimale Frequenz für Wellen in diesem Feld.

Wenn Gleichung der Klasse$1$Lösungen mit Amplitude haben$A$, Frequenz$\nu$, Wellenlänge$\lambda$und Gleichgewichtswert$Z_0$, dann erfordert die Bewegungsgleichung, dass Frequenz und Wellenlänge auf die Größe bezogen werden$\nu_{\mathrm{min}}$ das erscheint in der Gleichung durch die Formel:

$$\begin{align} \nu^2 &= \left(\frac{c}{\lambda}\right)^2+ (\nu_{\mathrm{min}})^2 \\ &= \left(\frac{c}{\lambda}\right)^2+ (\nu_{\mathrm{min}})^2 \end{align}$$

Die minimale Frequenz für jede Welle ist gerecht$\nu_{\mathrm{min}}$, und Einstellung$\nu = \nu_{\mathrm{min}}$ (und somit$\lambda \rightarrow \infty$) entspricht einer vertikalen Linie.

Es ist möglich, die ähnliche Klasse zu erhalten$1$Beziehung durch nur Einstellung$\mu = \nu_{\mathrm{min}}$ bis Null; Erhalten der Quadratwurzel haben wir$\nu = c/\lambda$, was im Grunde eine gerade Linie ist.

In dieser Situation,$\nu_{\mathrm{min}}$ist null; Das Feld kann bei jeder Frequenz schwingen.

Jetzt müssen wir QM einbeziehen, indem wir diskrete Werte auf die Amplitude setzen$A$und diese Werte sind proportional zur Quadratwurzel von$n$, eine positive ganze Zahl (oder Null), die die Anzahl der Schwingungsquanten in der Welle ist. Die in der Welle gespeicherte Energie ist:

$$E = \left(n+\frac{1}{2}\right) h \nu$$

wo$h$ist die Plancksche Konstante. Die jedem Schwingungsquant zugeordnete Energie hängt nur von der Schwingungsfrequenz der Welle ab und ist gleich

$$\begin{align} E &= h \nu,\ (\mathrm{for\ each\ additional\ quantum\ of\ oscillation}). \\ E^2 &= (h\nu)^2 \\ &= \left(\frac{hc}{\lambda}\right)^2 + (h \nu_{\mathrm{min}})^2 \end{align}$$

Einsteins Relativitätstheorie liefert uns die relativistische Energiegleichung.

$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$

Die minimale Energie, die ein Objekt haben kann, ist gerecht$mc^2$, (es ist Ruheenergie), was die Aussage verstärkt, dass die minimale Frequenz, die eine Welle der Klasse 1 haben kann, ist$\nu_{\mathrm{min}}$. Dies führt zu dem Schluss, dass für ein Quant eines relativistischen Feldes

$$\begin{align} p c & = \frac{hc}{\lambda},\ \mathrm{and} \\ m c^2 & = h \nu_{\mathrm{min}}, \end{align}$$ die bekannten Einstein-De-Broglie-Beziehungen.

Klasse$0$relativistische Felder umfassen elektrische Felder und ihre Wellen sind elektromagnetische Wellen. Die Version der obigen Formel, die wir für den Unterricht erhalten$0$Quanta ist dasselbe wie für Klasse$1$Felder mit$\mu = \nu_{\mathrm{min}}$ gleich Null gesetzt — mit anderen Worten$m = 0$.

Die Quadratwurzel ist:

$$E = p c$$ das ist Einsteins Beziehung für masselose Teilchen. Die Quanten elektromagnetischer Wellen sind in der Tat, wenn wir die beiden obigen Gleichungen anwenden, masselose Teilchen, also Photonen.

Aus der zweiten obigen Gleichung können wir endlich sehen, was die Masse eines Teilchens ist. Jedes Teilchen, das eine Masse hat, ist ein Quant einer Klasse$1$Feld, dessen Wellen eine minimale Frequenz haben$ν_{min}$; die minimale Energie eines einzelnen Quants dieser Wellen ist$h$durch Frequenz, und die Teilchenmasse ist diese minimale Energie dividiert durch$c^2$.

$$m = \frac{h \nu_{\mathrm{min}} }{c^2}$$

Um die Quelle der Teilchenmasse zu entdecken, müssen wir lernen, was sie bestimmt$\nu_{\mathrm{min}}$, und warum es eine Mindesthäufigkeit gibt. Das sind noch offene Fragen.

Teilchen sind Quanten relativistischer Quantenfelder. Masselose Teilchen sind Wellenquanten in Feldern, die eine Klasse erfüllen$0$Gleichung. Massive Teilchen beziehen sich auf Felder mit einer Klasse$1$Gleichung.

Mein Dank geht an @flippiefanus für den Hinweis, dass sich die obigen Bemerkungen auf bosonische Felder beziehen.

Fermionische Felder

Die Weyl-Gleichung beschäftigt sich mit masselosem Spin$\frac {1}{2}$Teilchen können geschrieben werden: 

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

explizit in SI-Einheiten:

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

wo

${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(\sigma ^{0},\sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3})=(I_{2},\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$

ist ein Vektor, dessen Komponenten die 2 × 2-Identitätsmatrix für sind$\mu$= 0 und die Pauli-Matrizen für$\mu$= 1,2,3 und$\psi$ist die Wellenfunktion - einer der Weyl-Spinoren.

Am peinlichsten ist, dass ich die Dirac-Gleichung (für massiven Spin) weggelassen habe$\frac {1}{2}$Teilchen, die in der ursprünglich von Dirac vorgeschlagenen Form:

${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n{\mathop {=}}1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}$

wo $\psi = \psi(x, t)$ ist die Wellenfunktion für das Elektron der Ruhemasse $m$ mit Raumzeitkoordinaten $x$, $t$. Das $p_1$, $p_2$, $p_3$ sind die Komponenten des Impulses, verstanden als Impulsoperator in der Schrödinger-Gleichung.

Verwenden$\gamma$Matrizen kann die Dirac-Gleichung reduziert werden auf:

${\displaystyle i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc\psi =0}$

Diese Antwort basiert auf dieser Website, Matt Strassler - Fields und meinen Notizen, die auf anderen Seiten derselben ausgezeichneten Website basieren. (Einschließlich Illustrationen, von denen ich annehme, dass sie urheberrechtlich geschützt sind). Auszüge aus der Wikipedia -Weyl-Gleichung und der Dirac-Gleichung sind ebenfalls enthalten.