Matrixoperation in Dirac-Matrizen

Es ist nur eine Matrixmanipulation. Lassen$\sigma_i$Pauli-Matrizen.

$$\begin{equation} \alpha_i p_i= \begin{pmatrix} 0& \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix} p_i . \end{equation}$$ $\alpha_i p_i= \begin{pmatrix} 0& p_1 \sigma_1 \\ p_1\sigma_1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0& p_2 \sigma_2 \\ p_i\sigma_2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0& p_3 \sigma_3 \\ p_3\sigma_3 & 0 \end{pmatrix}$

Aber$\sigma_1 p_1 = \begin{pmatrix} 0& 1 \\\ 1 & 0 \end{pmatrix}p_1=\begin{pmatrix} 0& p_1 \\\ p_1 & 0 \end{pmatrix}$,

$\sigma_2 p_2= \begin{pmatrix} 0& -i \\\ -i & 0 \end{pmatrix}p_2=\begin{pmatrix} 0& -ip_2 \\\ ip_2 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 p_3= \begin{pmatrix} 1& 0 \\\ 0 & -1 \end{pmatrix}p_3= \begin{pmatrix} p_3& 0 \\\ 0 & -p_3 \end{pmatrix}$

Wenn wir diese nun hinzufügen, erhalten wir ($1\rightarrow x$,$2\rightarrow y$,$3\rightarrow z$),

$$\begin{equation} \alpha_i p_i= \begin{pmatrix} p_z & p_x-ip_y \\ p_x+ip_y & -p_z \end{pmatrix} . \end{equation}$$

Die Gleichung, die Sie geschrieben haben, trifft nur eine Wahl, die alle Fragen zu diesem Kontext beantworten sollte: Sie wählt eine Darstellung von$\alpha_i$Matrizen mit

$$\alpha_i = \sigma_i$$ Wo $\sigma_i$sind die drei Pauli-Matrizen . Sie können dies überprüfen, indem Sie die Pauli-Matrizen (insbesondere $2\times 2$Matrizen, die in dem im vorherigen Satz verlinkten Wikipedia-Artikel aufgeführt sind) für $\alpha_i$Auf der linken Seite deiner Gleichung erhältst du die rechte Seite.

Wenn Ihre Formel den griechischen Buchstaben hätte$\sigma$anstatt$\alpha$auf der linken Seite wäre es unstrittig. Allerdings mit$\alpha$, es ist problematisch. Der$\alpha_i$Matrizen sind wirklich$4\times 4$, nicht$2\times 2$, also müssen alle obigen Gleichungen so interpretiert werden, dass jeder Matrixeintrag der Pauli-Matrizen tatsächlich ein Block ist

$$z \to \pmatrix {z&0 \\ 0&-z }.$$ Wir sagen, dass die Pauli-Matrizen mit a tensormultipliziert wurden $2\times 2$Einheitsmatrix (in bestimmter Reihenfolge). Dieser zusätzliche Tensorfaktor kann eigentlich nicht die Einheitsmatrix sein, weil man keine Matrix finden konnte $\beta$das antipendelt mit all dem $\alpha_i$Matrizen. Aber es kann ein anderer sein $\sigma_z$, zum Beispiel, in diesem Fall $\beta$gewählt werden kann ${\rm diag}(\sigma_x,\sigma_x)$, Zum Beispiel. Alternativ sollten Sie die Quelle ignorieren und einige/alle Standarddarstellungen der Dirac-Matrizen lernen .

Auf jeden Fall ist etwas schlampig an der Notation, in der$\alpha_i$wurden geschrieben als$2\times 2$Matrizen und das einfachste Rezept zu bekommen$4\times 4$Matrizen (Tensorprodukt mit der$2\times 2$Einheitsmatrix) funktioniert nicht. So sollte man erstmal was sehen$4\times 4$Matrizen bedeutet Ihre Quelle (wenn sie überhaupt richtig ist) tatsächlich.