Was ist die genaue Beziehung zwischen Antimaterie und Relativität?

Um den Zusammenhang besser zu verstehen, ist es am besten, die Geschichte der Entdeckungen zurückzuverfolgen, wie sie in den frühen Tagen der Quantenfeldtheorie gemacht wurden.

Beginnen wir mit der Schrödinger-Gleichung:

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(t, {\bf x}) = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi(t, {\bf x}).$$

Es beschreibt ein Quanten-Newtonsches Teilchen. Die Standardterminologie ist die Verwendung des Wortes „klassisch“ für „nicht quantenmechanisch“ und „newtonisch“ für „nicht relativistisch“.

Die Schrödinger-Gleichung im Vakuum lässt sich leicht lösen. Seine Lösungen sind ebene Wellen

$$\Psi_{\bf k}(t, {\bf x}) = e^{-i E({\bf k}) t + i {\bf k} {\bf x}},$$

Wo$E({\bf k}) = {\bf k}^2 / 2m$ist die Newtonsche Formel für die Energie des Teilchens. Die Welle ist nicht normalisierbar, was signalisiert, dass reale physikalische Zustände Überlagerungen von Wellen sind, die zusätzlichen Einschränkungen unterliegen (der relevante Unterraum von$L_2(\mathbb{R}^3)$wird Sobolev-Raum genannt, er besteht aus exponentiell abfallenden Wellenfunktionen im räumlichen Unendlichen).

Trotzdem gibt es eine einfache physikalische Interpretation einer einzelnen Welle$\Psi_{\bf k}$– es ist ein Eigenzustand des Impulsoperators mit Eigenwert${\bf k}$. Es beschreibt also ein Teilchen positiver Energie$E$und Schwung${\bf k}$. So weit, ist es gut.

Aber obwohl Schrödingers Gleichung ein riesiger Erfolg war, hat sie ein großes konzeptionelles Problem – sie ist nicht relativistisch.

Jetzt gibt es eine relativistische Wellengleichung namens Klein-Gordon-Gleichung:

$$\frac{\partial^2}{c^2\,\partial t^2} \Psi(t, {\bf x}) - \Delta \Psi(t, {\bf x}) + m^2 \Psi(t, {\bf x}) = 0.$$

Zu sehen, dass diese Gleichung relativistisch ist, ist einfach – Sie schreiben sie einfach um als

$$\left( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + m^2 \right) \Psi = 0,$$

was offensichtlich Lorentz-invariant ist.

Wie verstehen wir seine Lösungen? Was sind die Lösungen?

Nun, eine offensichtliche Strategie wäre es, die ebene Welle einzustecken$\Psi_{{\bf k}, E}$. Sie werden feststellen, dass es sich tatsächlich um eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung handelt, wenn

$$E({\bf k}) = \pm c \sqrt{{\bf k}^2 + m^2 c^2},$$

der Ausdruck, in dem man leicht Einsteins eigene Formel für die relativistische Abhängigkeit der Energie vom Impuls erkennen könnte.

Wir haben also eine schöne Grenze$c \rightarrow \infty$in der die Spezielle Relativitätstheorie zur Newtonschen Physik wird. Was tatsächlich passiert ist natürlich$k \ll m c$, was die Einstellung rechtfertigt$c$Zu$\infty$da es viel größer ist als der typische Maßstab der Dimension$m/s$welches ist$k/m$.

Aber nun zeigt sich diese Grenze, die uns schon aus der Einführungsveranstaltung zur Speziellen Relativitätstheorie bekannt war, in der Quantentheorie . ZB ist dies jetzt eine Grenze von Wellen:

$$e^{-ic\sqrt{{\bf k}^2 + m^2 c^2} + i {\bf k} {\bf x}} \rightarrow e^{-i m c^2 t} e^{-i c t {\bf k}^2 / 2m + i {\bf k} {\bf x}}.$$

Das ist großartig – wir haben eine nichtrelativistische Grenze in der Quantentheorie, daher kann die Klein-Gordon-Gleichung als die tiefste und grundlegendste Beschreibung eines Teilchens angesehen werden (weil sie sowohl quanten- als auch relativistisch ist), aber ... Wir haben die vollständig ignoriert andere Klasse von Lösungen – diejenigen mit$E$negativ (erinnern Sie sich an das Seltsame$\pm$Zeichen vor der Quadratwurzel?).

Lösungen mit negativer Energie haben keine Newtonschen Gegenstücke. Diese sind uns bei der Analyse der Schrödinger-Gleichung einfach nicht begegnet! Gleichzeitig sind sie in der Speziellen Relativitätstheorie allgegenwärtig – ihre Existenz lässt sich auf eine der bekanntesten kinematischen Identitäten zurückführen, die die gesamte moderne Physik zusammenhält – die Einstein-Formel

$$E^2 - {\bf k}^2 c^2 = m^2 c^4.$$

Tatsächlich ist diese Formel quadratisch$E$, und somit wenn$E_0$eine Lösung ist, dann ist es so$-E_0$.

Wie sind diese Lösungen zu interpretieren? Was bedeutet es, dass ein Teilchen negative Energie hat, und warum wurde dies in Experimenten nicht beobachtet?

Dirac betrachtete eine andere Art von Wellengleichung, die ein Teilchen mit Spin beschreibt$1/2$. Es ist größtenteils analog zu Klein-Gordon: eine Newtonsche Version für Spin$1/2$existiert auch (als Pauli-Gleichung bezeichnet) und die Dirac-Gleichung lässt positive und negative Energielösungen zu, von denen positive Energie eine schöne Interpretation in Bezug auf Lösungen der Pauli-Gleichung in der Newtonschen Grenze hat und negative Lösungen nicht. Das Problem ist also im Wesentlichen dasselbe.

Aber es gibt einen wichtigen Unterschied – Diracs Teilchen sind Fermionen, dh sie gehorchen der Fermi-Dirac-Statistik und damit dem Pauli-Ausschlussprinzip. Dies kann nur in einer Mehrteilchentheorie verstanden werden, auf der Ebene einer Einteilchentheorie gibt es keine Austauschstatistik.

Dies veranlasste Dirac zu der Hypothese, dass negative Energiezustände bereits perfekt in das gefüllt sind, was wir Vakuum nennen (das resultierende Objekt wird Dirac-Meer genannt). Das war damals die einzig gute Lösung für die Existenz negativer Energiezustände. Aber die Existenz des Meeres bedeutet, dass genauso positive Energiezustände, die nicht im Vakuum gefüllt sind, gefüllt werden können (was wir als einzelne Elektronen interpretieren), die negativen Energiezustände, die es sindim Vakuum gefüllt, kann geräumt werden. Das resultierende "Loch" würde sich genau wie ein Elektron verhalten, außer dass alle seine Quantenzahlen umgekehrt wären (weil es eigentlich ein Loch ist, dh die Abwesenheit eines erwarteten Elektrons). Dazu gehören seine Energie und elektromagnetische Ladung. Da dies jedoch ein Zustand negativer Energie ist, würde sich das Loch tatsächlich wie ein Teilchen positiver Energie und Ladung verhalten – ein Positron.

Es ist erstaunlich, wie wenig sich das Bild seitdem verändert hat. Wenn Sie sich die moderne Formulierung der relativistischen QFT von Elektronen ansehen, hätte ihr Fock-Raum genau die gleiche Struktur wie Diracs Meer. Dieser Fock-Raum wird durch eine Algebra von Fermi-quantisierten Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren für Elektronen und Positronen erzeugt. Eine der Eigenschaften der Fermi-Quantisierung ist, dass die leeren und gefüllten Zustände gleichberechtigt sind, was bedeutet, dass Materie und Antimaterie in der QFT gleichberechtigt sind.

Etwas anders verhält es sich mit dem ursprünglichen Problem – dem mit der Klein-Gordon-Gleichung. Es beschreibt Spin-0-Teilchen, die Bosonen sind, also steht uns das Pauli-Ausschlussprinzip nicht zur Verfügung, und die Dirac-Meer-Konstruktion funktioniert nicht.

Ziemlich auffallend scheint es, dass die QFT-Lösung immer noch funktioniert. Der bosonische Fock-Raum wird durch Bose-quantisierte Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren für Teilchen und Antiteilchen erzeugt.

Wie können wir schließlich sicherstellen, dass die resultierende Theorie keine Teilchen mit negativer Energie enthält? Wir betrachten den Hamilton-Operator der QFT selbst, nicht den Hamilton-Operator des einzelnen Teilchens:

$$H = \sum_{\bf k} \left( E_{\bf k} a_{\bf k}^{\dagger} a_{\bf k} + E_{\bf k} b_{\bf k}^{\dagger} b_{\bf k} \pm \frac{1}{2} \right)$$

Wo$a$Und$b$die Vernichtungsoperatoren für Teilchen bzw. Antiteilchen sind, und$\pm$entspricht jeweils dem bosonischen/fermionischen Fall (für das Dirac-Feld wird eine Summe über Spin-Indizes verstanden). Es ist leicht zu zeigen, dass der Vakuumzustand$\left| 0 \right>$der QFT (definiert als der von allen vernichtete Staat$a$Und$b$) ist der Zustand mit der niedrigsten Energie, was bedeutet, dass$H$wird von unten begrenzt.

Daher gibt es in der QFT keine Zustände negativer Energie. Stattdessen gibt es Antiteilchen. Antiteilchen sind die Mehrteilchen-Manifestationen der Existenz von Lösungen negativer Energie, die in der Speziellen Relativitätstheorie allgegenwärtig sind.

Hoffe das beantwortet deine Frage.