Vereinfachen Sie den Ausdruck der Quantenelektrodynamik

Question

Vereinfachen Sie den Ausdruck der Quantenelektrodynamik

Johanni

Ich habe eine Quantenelektrodynamik-Übung über die Einschleifen-Elektronen-Selbstenergie-Korrektur, in der ich das zeigen muss

\begin{matrix} (1) & ich e^{2} Σ (P) = \frac{{(- ich e)}^{2}}{{(2 π)}^{4}} \int D^{4} Q D_{λ σ} (Q) γ^{λ} S_{F} (P - Q) γ^{σ} \end{matrix}

$\tag{1} ie^{2}\Sigma(p)=\frac{\left(-ie\right)^{2}}{\left(2\pi\right)^{4}}\int d^{4}qD_{\lambda\sigma}\left(q\right)\gamma^{\lambda}S_{F}\left(p-q\right)\gamma^{\sigma}$

Wo

\begin{matrix} (2) & D_{λ σ} (Q) = \frac{- ich η_{λ σ}}{Q^{2} - ich ϵ} S_{F} (P) = \frac{ich (γ^{a} P_{a} - M)}{P^{2} + M^{2} - ich ϵ} \end{matrix}

$\tag{2} D_{\lambda\sigma}\left(q\right)=\frac{-i\eta_{\lambda\sigma}}{q^2-i\epsilon} \qquad\qquad S_{F}\left(p\right)=\frac{i\left(\gamma^{\alpha}p_{\alpha}-m\right)}{p^{2}+m^{2}-i\epsilon}$

kann geschrieben werden als

\begin{matrix} (3) & ich e^{2} Σ (P) = \frac{e^{2}}{{(2 π)}^{4}} \int D^{4} Q \frac{1}{Q^{2} - ich ϵ} \frac{2 (γ^{a} {(P - Q)}_{a} - 2 M)}{{(P - Q)}^{2} + M^{2} - ich ϵ} \end{matrix}

$\tag{3} ie^{2}\Sigma(p)=\frac{e^{2}}{\left(2\pi\right)^{4}}\int d^{4}q\frac{1}{q^2-i\epsilon}\frac{2\left(\gamma^{\alpha}\left(p-q\right)_{\alpha}-2m\right)}{\left(p-q\right)^{2}+m^{2}-i\epsilon}$

Ich kann nahe kommen, um dies zu zeigen, indem ich verwende $\gamma_{\sigma}\gamma^{\sigma}=4$ Und $\gamma_{\mu}\gamma^{\sigma}\gamma^{\mu}=-2\gamma^{\sigma}$ , aber ich konnte es noch nicht ganz. Also, das erste, was ich wissen möchte, ist, ob $D_{\lambda\sigma}\left(q\right)$ Und $S_{F}\left(p\right)$ sind mit diesen Formeln gut definiert, weil die Formeln, die ich studiert habe, unterschiedlich sind,

D_{λ σ} (Q) = \frac{- ich η_{λ σ}}{Q^{2} + ich ϵ} S_{F} (P) = \frac{ich (γ^{a} P_{a} + M)}{P^{2} - M^{2} + ich ϵ}

$D_{\lambda\sigma}\left(q\right)=\frac{-i\eta_{\lambda\sigma}}{q^2+i\epsilon} \qquad\qquad S_{F}\left(p\right)=\frac{i\left(\gamma^{\alpha}p_{\alpha}+m\right)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon}$

Daher möchte ich wissen, ob beide Formen gleichwertig sind. Wenn die ersten richtig sind, kann ich nicht zeigen, was die Übung verlangt. Können Sie raten?

secavara

Auf den ersten Blick scheinen Ihre beiden Ausdrücke für

S_{F} (p)

$S_F(p)$ verwenden unterschiedliche Signaturen, also vergleichen Sie vielleicht zwei Referenzen mit unterschiedlichen Konventionen. Das ist eine erste mögliche Sache zu überprüfen. Das ±iϵ hat mit Ihrer Wahl der Polverschiebung zu tun, die mit Ihren Integrationspfaden zusammenhängt. Auch hier denke ich, dass Sie die beiden Konventionen dafür in der Literatur finden können.

Johanni

@secavara Da bin ich mir nicht sicher. Aber können Sie den zweiten Ausdruck des ersten zeigen?

Knzhou

Es sind nur unterschiedliche Konventionen. Wenn Sie Übungen aus einem Lehrbuch machen, sollten Sie die Konventionen verwenden, die das Buch verwendet, und keine anderen.

flippiefanus

Es kann auch eine Dochtdrehung beteiligt sein, da ich das Vorzeichen der merke

m^{2}

$m^2$ im Nenner ist auch anders.

secavara

Ich denke, die erste Gruppe von Ausdrücken verwendet die

(-, +, +, +)

$(-,+,+,+)$ Unterschrift, genau wie im Srednicki-Buch. Seien Sie vorsichtig, da dies auch die Vorzeichen in den Beziehungen für die Kontraktionen von Gammamatrizen beeinflusst. Siehe Gleichung 59.20 in Srednicki. Überprüfen Sie außerdem überall auf Tippfehler.

Johanni

Ok, meine Frage kann vereinfacht werden: Können Sie mit den in der Übung gegebenen Informationen zeigen, was die Übung verlangt? Ich kann nicht.

CAF

Sind Sie sicher, dass die Terme in Ihrer letzten Integralgleichung nicht so sind?

- q^{2} - i ϵ

$-q^2- i\epsilon$ Und

- (p - q)^{2} + m^{2} - i ϵ

$-(p-q)^2+m^2-i \epsilon$ ?

Johanni

@CAF Ich bin mir sicher, dass sie mir nicht so gegeben wurden; Ich bin mir nicht sicher, ob das Buch keinen Tippfehler enthält...

AccidentalFourierTransform

@johani Welches Buch? Welche Seite? Welche Übung?

Johanni

@AccidentalFourierTransform Es tut mir leid, das Buch ist privat. Meine Frage ist autark.

AccidentalFourierTransform

@johani Nein, die Frage ist nicht autark, da das Problem höchstwahrscheinlich auf einen Tippfehler zurückzuführen ist. Hat dieses private Buch eine Errata?

Johanni

@AccidentalFourierTransform Hallo! Es hat nicht. Ich denke auch, dass es ein Tippfehler ist, aber ich brauchte eine Bestätigung, dann reicht es aus, den richtigen Ausdruck zu zeigen, um zu beweisen, dass (3) falsch ist, was ich vielleicht schon getan habe, wie ich in der Frage sagte. Vielleicht kannst du dir dann den zweiten Teil der Frage ansehen.

Trägheitsbeobachter

Um die Dinge nur ein wenig aufzuräumen, könnten Sie nehmen

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$ im Photonenpropagator

Antworten (2)

Vereinfachen Sie den Ausdruck der Quantenelektrodynamik

Auf den ersten Blick scheinen Ihre beiden Ausdrücke für $S_F(p)$ verwenden unterschiedliche Signaturen, also vergleichen Sie vielleicht zwei Referenzen mit unterschiedlichen Konventionen. Das ist eine erste mögliche Sache zu überprüfen. Das ±iϵ hat mit Ihrer Wahl der Polverschiebung zu tun, die mit Ihren Integrationspfaden zusammenhängt. Auch hier denke ich, dass Sie die beiden Konventionen dafür in der Literatur finden können.
@secavara Da bin ich mir nicht sicher. Aber können Sie den zweiten Ausdruck des ersten zeigen?
Es sind nur unterschiedliche Konventionen. Wenn Sie Übungen aus einem Lehrbuch machen, sollten Sie die Konventionen verwenden, die das Buch verwendet, und keine anderen.
Es kann auch eine Dochtdrehung beteiligt sein, da ich das Vorzeichen der merke $m^2$ im Nenner ist auch anders.
Ich denke, die erste Gruppe von Ausdrücken verwendet die $(-,+,+,+)$ Unterschrift, genau wie im Srednicki-Buch. Seien Sie vorsichtig, da dies auch die Vorzeichen in den Beziehungen für die Kontraktionen von Gammamatrizen beeinflusst. Siehe Gleichung 59.20 in Srednicki. Überprüfen Sie außerdem überall auf Tippfehler.
Ok, meine Frage kann vereinfacht werden: Können Sie mit den in der Übung gegebenen Informationen zeigen, was die Übung verlangt? Ich kann nicht.
Sind Sie sicher, dass die Terme in Ihrer letzten Integralgleichung nicht so sind? $-q^2- i\epsilon$ Und $-(p-q)^2+m^2-i \epsilon$ ?
@CAF Ich bin mir sicher, dass sie mir nicht so gegeben wurden; Ich bin mir nicht sicher, ob das Buch keinen Tippfehler enthält...
@AccidentalFourierTransform Es tut mir leid, das Buch ist privat. Meine Frage ist autark.
@johani Nein, die Frage ist nicht autark, da das Problem höchstwahrscheinlich auf einen Tippfehler zurückzuführen ist. Hat dieses private Buch eine Errata?
@AccidentalFourierTransform Hallo! Es hat nicht. Ich denke auch, dass es ein Tippfehler ist, aber ich brauchte eine Bestätigung, dann reicht es aus, den richtigen Ausdruck zu zeigen, um zu beweisen, dass (3) falsch ist, was ich vielleicht schon getan habe, wie ich in der Frage sagte. Vielleicht kannst du dir dann den zweiten Teil der Frage ansehen.
Um die Dinge nur ein wenig aufzuräumen, könnten Sie nehmen $\epsilon\to 0$ im Photonenpropagator

CAF · Answer 1

In der Signatur „größtenteils plus“ finden Sie eine Modifikation der Propagatoren, wie im OP gezeigt, mit einem entsprechenden Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite der Clifford-Algebra (enthält den metrischen Tensor). Dies alles ist zB in Ref. Srednicki zusammengefasst. Ich werde den zweiten Teil des OP ansprechen, jetzt v2.

Lassen $V^{(1)}$ der Ein-Schleifen-Beitrag zu der Ein-Teilchen-irreduziblen Dreipunkt-QED-Scheitelfunktion sein. Die UV-Divergenz (= Pol in der dimensionalen Regularisierung), die sich im One-Loop-Integral manifestiert, wird über die One-Loop-Ladungsrenormierungskonstante subtrahiert. Wenn Sie noch nie zuvor eine solche Berechnung durchgeführt haben, könnte es nützlich sein, zB die Vier-Punkte-Scheitelfunktion in der skalaren Phi^4-Theorie durchzuführen, damit die Feinheiten in der Dirac-Algebra-Manipulation nicht von der konzeptionellen Idee ablenken.

Ich würde die vollständige QED-Vertexfunktion schreiben $V^{\mu}$ als

v^{μ} = - ich Z_{1} e_{0} γ^{μ} + v^{μ, (1)} (P, P^{'}) + \dots,

$V^{\mu} = -iZ_1 e_0 \gamma^{\mu} + V^{\mu,(1)}(p,p’) + \dots,$ mit

e_{0}

$e_0$ der bloße Parameter, der im Lagrangian erscheint. Dann renormalisiert sich die Ladung auf Baumebene nicht, so dass es eine Expansion in gibt

Z_{1}

$Z_1$ des Formulars

Z_{1} - 1 = Z_{1}^{(1)} e_{0}^{2} + \dots

$Z_1-1 = Z_1^{(1)} e_0^2 + \dots$ Diese einfügen in

V^{μ}

$V^{\mu}$ gibt

v^{μ} = - ich e_{0} γ^{μ} - ich Z_{1}^{(1)} e_{0}^{3} γ^{μ} + v^{μ, (1)} (P, P^{'})

$V^{\mu} = -ie_0\gamma^{\mu} - iZ_1^{(1)} e_0^3 \gamma^{\mu} + V^{\mu,(1)}(p,p’)$ das ist der Scheitelpunkt der bloßen Interaktion auf Baumebene, der Scheitelpunkt des Zählerterms bzw. die Ein-Schleifen-Korrektur.

Wenn Sie die entsprechende Integraldarstellung für das Einschleifendiagramm aufschreiben, wie Sie es für den Eigenenergiebeitrag zum Elektron getan haben, sollten Sie in einer minimalen Subtraktion finden,

Z_{1}^{(1)} \propto - \frac{1}{4 π} \frac{1}{ϵ},

$Z_1^{(1)} \propto -\frac{1}{4 \pi} \frac{1}{\epsilon},$ das ist minus der UV-Divergenz des Integrals mit einer Schleife.

Johanni · Answer 2

Um meine eigene Frage zu beantworten, bin ich mit den angegebenen Propagatoren einer Lösung am nächsten gekommen $(2)$ zeigte $(3)$ bis auf ein Minuszeichen, von dem ich annehme, dass es bei dem Begriff fehlt $\gamma^{\alpha}\left(p-q\right)_{\alpha}$ .

In meiner ersten Ableitung habe ich die Gamma-Matrix-Identitäten zur Signatur verwendet $(+---)$ . Allerdings für die metrische Wahl $(-+++)$ die Identitäten, die man verwenden sollte, sind

γ_{σ} γ^{σ} = - 4

$\gamma_{\sigma}\gamma^{\sigma}=-4$

γ_{μ} γ^{σ} γ^{μ} = 2 γ^{σ}

$\gamma_{\mu}\gamma^{\sigma}\gamma^{\mu}=2\gamma^{\sigma}$

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secavara

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flippiefanus

secavara

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Trägheitsbeobachter

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CAF

Johanni

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