Streuamplituden aus Feynman-Diagrammen (Spinor-Helizitäts-Formalismus)

Question

Streuamplituden aus Feynman-Diagrammen (Spinor-Helizitäts-Formalismus)

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$\require{cancel}$ Ich versuche, eine Übung aus Scattering Amplitudes By Elvang (Übung 2.9) zu machen, die besagt:

Zeige, dass $A_5(f^-\bar{f}^-\phi\phi\phi) = g^3\frac{[12][34]^2}{[13][14][23][24]} + 3\leftrightarrow 5 + 4\leftrightarrow 5$ in der Yukawa-Theorie

Also zeichne ich das Feynman-Diagramm, das meiner Meinung nach ungefähr so aussieht (der Interaktionsterm ist $L_i = g\phi\psi\bar{\psi}$ ):

Ist dieses Diagramm korrekt? Unter Verwendung der Feynman-Regeln für die Yukawa-Theorie (im Massless Spinor Helicity-Formalismus) bewerte ich dies als:

A_{5} (F^{-} {\bar{F}}^{-} ϕ ϕ ϕ) = G^{3} ⟨ 2 | \frac{(P_{1} + P_{2})}{((P_{1} + P_{2})^{2}} \frac{(P_{1} + P_{2} + P_{3})}{(P_{1} + P_{2} + P_{3})^{2}} | 5 ⟩ + 1 \leftrightarrow 3 + 1 \leftrightarrow 4 + 3 \leftrightarrow 4

$A_5(f^-\bar{f}^-\phi\phi\phi) = g^3\langle2|\frac{(\cancel{p_1} + \cancel{p_2})}{(({p_1} + p_2)^2}\frac{(\cancel{p_1} + \cancel{p_2} + \cancel{p_3})}{(p_1 + p_2 + p_3)^2}|5\rangle \\~~~\\+ ~1\leftrightarrow 3 + ~1\leftrightarrow 4 + ~3\leftrightarrow 4$

Meine bisherige Strategie bestand darin, den ersten Term zu berechnen und dann ganz am Ende einfach die Permutationen durchzuführen. Ist dies im Allgemeinen eine gute Strategie für Diagramme wie dieses?

Damit komme ich für das erste Semester auf folgendes:

A_{5}^{(1)} = G^{3} ⟨ 2 | \frac{S_{13}}{S_{12} (S_{12} + S_{13} + S_{23})} | 5 ⟩

$A_5^{(1)} = g^3\langle2|\frac{s_{13}}{s_{12}(s_{12} + s_{13} + s_{23})}|5\rangle$

Wo $s_{ij} = -(p_i + p_j)^2 = 2p_i\cdot p_j$ und ich habe die Weyl-Gleichung verwendet $\langle 2|p_2 = 0$ .

Ich kann weiter gehen, indem ich die Tatsache verwende, dass $s_{ij} = \langle ij\rangle[ij]$ , zum Schluss:

A_{5}^{(1)} = G^{3} ⟨ 2 | \frac{⟨ 13 ⟩ [13]}{⟨ 12 ⟩ [12] (⟨ 12 ⟩ [12] + ⟨ 13 ⟩ [13] + ⟨ 23 ⟩ [23])} | 5 ⟩

$A_5^{(1)} = g^3\langle2|\frac{\langle 13\rangle[13]}{\langle 12\rangle[12](\langle 12\rangle[12] + \langle 13\rangle[13] + \langle 23\rangle[23])}|5\rangle$

Ich kann das anscheinend nicht weiter vereinfachen. Gehe ich sofort los, um das zu lösen? Gibt es irgendwelche Tricks, die ich vermisse?

Antworten (1)

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Eduard Hughes · Answer 1

Ich werde Ihnen nicht die ganze Lösung geben, nur einige Hinweise, die Ihnen hoffentlich helfen werden, dorthin zu gelangen.

Beschriften Sie Ihre Partikel richtig, um der Frage zuzustimmen. In diesem Fall haben sie beschriftet $f^- = 1$ , $\bar{f}^- = 2$ , $\phi = 3,4,5$ . Sie müssen Ihr Diagramm mit diesen Konventionen neu zeichnen.
Mit den Permutationen hast du Recht. Im Allgemeinen ist es eine gute Strategie, sich auf ein Diagramm zu konzentrieren und die Permutationen nur am Ende in das Formular aufzunehmen $(3 \leftrightarrow 5) + (4\leftrightarrow 5)$ . Sobald Sie Ihre Partikel korrekt umbenannt haben, sollte dies offensichtlich sein.
Wenn Sie sich den ersten Term ansehen, müssen Sie mit Ihren Spinor-Helizitäts-Variablen vorsichtiger sein. Erinnere dich daran $\not{p} = -|p] \langle p| - |p \rangle [p |$ also insbesondere $\langle a| \not{p}\not{q}\ | b \rangle$ ist nicht gleich $\langle a \ b \rangle p\cdot q$ wie du behauptest.
Wenn du die Spinor-Multiplikation im Zähler des ersten Glieds richtig gemacht hast, solltest du die Summe mehrerer Glieder haben. Ich wäre nicht überrascht, wenn Sie eine Schouten-Identität benötigen, um sie auf die von ihnen zitierte Form zu vereinfachen.

Lassen Sie mich wissen, wie das geht - ich kann weitere Details liefern, wenn Sie nicht weiterkommen. Viel Glück!

Update: Mehr zu Punkt #3

⟨ A | ⧸ P ⧸ Q | B ⟩ = ⟨ A P ⟩ [P Q] ⟨ Q B ⟩

$\langle a| \not{p}\not{q}\ | b \rangle = \langle a \ p \rangle[p \ q] \langle q \ b \rangle$

wo wir verwendet haben

P^{\dot{A} B} = - | P ⟩^{\dot{A}} [P |^{B}

$p^{\dot a b}=-|p\rangle^{\dot a}[p|^b$

und eine ähnliche Formel für $q$ .

Beachten Sie insbesondere, dass dies nicht gleich ist

⟨ A B ⟩ ⟨ P Q ⟩ [P Q]

$\langle a \ b \rangle \langle p\ q \rangle [p \ q]$

Im Algemeinen.

Danke Edward, sehr nützliche Kommentare. Eine kurze Frage zu Punkt 2.... Das habe ich vermutet $\langle a| \not{p}\not{q}\ | b \rangle = \langle a| \frac12\left(\not{p}\not{q} + \not{q}\not{p}\right)\ | b \rangle = \langle a| p\cdot q\ | b \rangle$ , warum stimmt das nicht?
Ich habe meine Antwort aktualisiert, um mehr Details aufzunehmen. Lassen Sie mich wissen, ob das jetzt Sinn macht!

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