Komplexe Skalartheorie: Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren ergeben falsche Kommutatoren mit Hamiltonoperator

Die Theorie eines reellen (hermiteschen) Skalarfeldes findet sich in vielen Büchern und überall im Internet. Nehmen wir dagegen den nicht-hermiteschen Körper, dann finde ich nur Hinweise zu Pfadintegralen. Ich kann nichts über kanonische Kommutierungen finden, also habe ich versucht, es selbst abzuleiten. Die Sache ist, dass ich mit dem Hamiltonoperator einen falschen Kommutator finde und meinen Fehler nicht erkennen kann. Ich fände es sehr hilfreich, wenn jemand etwas dazu sagen könnte.

Ich werde wahrscheinlich einige numerische Faktoren vermissen und ich könnte einige Dolche / Zeichen entlang dieses Beitrags verlegen, aber diese Probleme sind im Moment nicht wichtig. Ich entschuldige mich, wenn es einige kleine Fehler gibt, bitte stört sie nicht. Auf der anderen Seite, wenn es einen größeren Fehler gibt, beachten Sie ihn bitte und sagen Sie es mir :)

Erster Schritt: Die Felder sind$\phi(x)$,$\phi^\dagger(x)$,$\pi(x)$Und$\pi^\dagger(x)$. Diese pendeln wie folgt

$$[\phi,\phi^\dagger]=[\pi,\pi^\dagger]=[\phi,\pi^\dagger]=0\\ [\phi,\pi]=[\phi^\dagger,\pi^\dagger]=i\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$$ (wir nehmen die Felder offensichtlich zu gleichen Zeiten)

Zweiter Schritt: Aus der KG-Gleichung lösen wir auf$\phi$

$$\phi(x)=\int\frac{\mathrm d\boldsymbol k}{2\omega(\boldsymbol k)}\ \mathrm e^{-ikx}a(\boldsymbol k)+\mathrm e^{+ikx}b^\dagger(\boldsymbol k)$$ und ähnliche Gleichungen für die anderen Felder. Wenn wir diese umkehren, finden wir $$a(\boldsymbol k)=\int \mathrm d\boldsymbol x\ \mathrm e^{ikx} \left[\omega(\boldsymbol k)\phi(x)+i\pi^\dagger(x)\right]$$ und ähnliche Gleichungen für $b(\boldsymbol k)$.

Dritter Schritt: Schreiben Sie den Hamiltonian als

$$H=\int\frac{\mathrm d \boldsymbol k}{2\omega(\boldsymbol k)} \frac{1}{2}\omega(\boldsymbol k)\left[ a^\dagger(\boldsymbol k) a(\boldsymbol k)+b^\dagger(\boldsymbol k) b(\boldsymbol k)\right]$$

Das Problem kommt mit dem nächsten (und letzten) Schritt: Wenn ich den Kommutator von ausarbeite$a$Und$b$mit$H$, erhalte ich ein unerwartetes Ergebnis. Zum Beispiel,

$$[H,a(\boldsymbol k)]=-\frac{1}{2}\omega(\boldsymbol k)\left[a(\boldsymbol k)+b(\boldsymbol k)\right]$$ (Ich hatte so etwas erwartet $[H,a]=-\omega a$; Beachten Sie, dass dies wir hätten, wenn $a=b$, dh das Feld war hermitesch)

Daran können wir das erkennen$a$kann nicht als Vernichtungsoperator verwendet werden, denn wenn$|E\rangle$ist ein Zustand mit Energie$E$, Dann$a(\boldsymbol k)|E\rangle$wird kein weiterer Eigenzustand mit Energie sein$E-\omega(\boldsymbol k)$; um dies zu sehen, beachten Sie das

$$Ha(\boldsymbol k)|E\rangle=\big(a(\boldsymbol k)H+[H,a(\boldsymbol k)]\big)|E\rangle=\big(a(\boldsymbol k)E-\frac{1}{2}\omega(\boldsymbol k)\left[a(\boldsymbol k)+b(\boldsymbol k)\right]\big)|E\rangle$$

Wenn das Feld$\phi$war also hermitesch$a=b$damit die letzte Gleichheit lauten würde$Ha|E\rangle=(E-\omega)a|E\rangle$, So$a$ wäre ein Vernichtungsoperator. Andererseits, wenn$a\neq b$, dann noch$a$noch$b$die Energie der Eigenzustände verringern. Was habe ich falsch gemacht?