Ableitung der Schrödinger-Gleichung aus der Klein-Gordon-QFT mit der Definition ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩\ psi(\textbf{x},t)\equiv \langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle

Question

Ableitung der Schrödinger-Gleichung aus der Klein-Gordon-QFT mit der Definition ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩\ psi(\textbf{x},t)\equiv \langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle

Physik
Fourier-Transformation
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung
Schrödinger-Gleichung
Hausaufgaben-und-Übungen

SRS

In dem Buch "Quantum Field Theory and the Standard Model" von Matthew Schwartz, Seite 23-24 , wird die Ortsraumwellenfunktion definiert als

\begin{matrix} (2,82+2,83) & ψ (X) = ⟨ 0 | ϕ (X) | ψ ⟩, \end{matrix}

$\psi(x)=\langle 0|\phi(x)|\psi\rangle, \tag{2.82+2.83}$

Wo $|\psi\rangle$ ist ein beliebiger Zustand im Fock-Raum. Dann verwendet er die Gleichungen (i) $\partial_t^2\phi_0=(\nabla^2-m^2)\phi_0$ (dh die Klein-Gordon-Gleichung für das freie massive Skalarfeld $\phi_0(\textbf{x},t)$ ) und (ii) $[H,\phi_0]=-i\partial_t\phi_0$ um Gl. 2.85, in folgenden 3 Schritten:

\begin{matrix} (2,85) & ich ⟨ 0 | \partial_{T} ϕ_{0} (X, T) | ψ ⟩ = ⟨ 0 | \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{\sqrt{P^{2} + M^{2}}}{\sqrt{2 ω_{P}}} (A_{P} e^{- ich P \cdot X} - A_{P}^{†} e^{ich P \cdot X}) | ψ ⟩ = ⟨ 0 | \sqrt{M^{2} - \nabla^{2}} ϕ_{0} (X, T) | ψ ⟩ . \end{matrix}

$i\langle 0|\partial_t\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle=\langle 0|\int \frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\frac{\sqrt{\textbf{p}^2+m^2}}{\sqrt{2\omega_\textbf{p}}}(a_p e^{-ip\cdot x}-a^\dagger_p e^{ip\cdot x})|\psi\rangle\\ =\langle 0|\sqrt{m^2-\nabla^2}\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle.\tag{2.85}$

Diese Gleichung wird verwendet, um die Schrödinger-Gleichung in der Quantenmechanik für den Zustand erfolgreich abzuleiten $\psi(\textbf{x},t)\equiv \langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle$ .

Die erste Gleichheit folgt aus Differenzierung von $\phi_0(x)$ wrt $t$ . Wie folgt die zweite Gleichheit aus der ersten? Wie werden die Eingaben (i) und (ii) verwendet, um die zweite Gleichheit aus der ersten abzuleiten?
Stimmt es, dass der Betreiber
$ich \partial_{T} \sim \sqrt{M^{2} - \nabla^{2}} ?$ $i\partial_t\sim\sqrt{m^2-\nabla^2}~?$ Wenn ja, was nützt es, den mittleren Schritt zu tun?

QMechaniker

Für eine Verbindung zwischen Schr. Gl. und Klein-Gordon Gl. siehe zB A. Zee, QFT in a Nutshell, Kap. III.5, und dieser Phys.SE-Beitrag sowie darin enthaltene Links.

SRS

@Qmechanic Ich bin speziell daran interessiert, die Schritte von Schwartz 'Buch zu verstehen. Insbesondere, wie hat es die zweite Gleichheit aus der ersten bekommen und bei welchem Schritt hat er verwendet?

[H, ϕ_{0}] = - i \partial_{t} ϕ_{0}

$[H,\phi_0]=-i\partial_t\phi_0$ ? Und auch, was mit dem Integral vorbei passiert ist

d^{3} p

$d^3\textbf{p}$ ?

Kosmas Zachos

Er verwendete (ii), um (i) abzuleiten/zu bestätigen, das im ersten Schritt verwendet wurde. Dann führte er das Impulsintegral durch, um die Fourier-Transformation, den zweiten Schritt, abzuleiten.

Dwagg

@CosmasZachos Ist dieses Momentum-Integral offensichtlich? Weil die RHS (2,85) ein Minuszeichen hat, das in der Definition von nicht vorhanden ist

ϕ_{0} (x, t)

$\phi_0(\mathbf{x},t)$ .

Dwagg

@CosmasZachos Ich stimme zu, aber ich sehe nicht, wie das Impulsintegral funktioniert. Ich stimme zu

\int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{\sqrt{p^{2} + m^{2}}}{\sqrt{2 ω_{p}}} a_{p} e^{- i p x} = \sqrt{m^{2} - \nabla^{2}} \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{p}}} a_{p} e^{- i p x}

$\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{\sqrt{p^2+m^2}}{\sqrt{2\omega_p}} a_p e^{-ipx} = \sqrt{m^2-\nabla^2} \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} a_p e^{-ipx}$ . Aber der zweite Term hat ein Minuszeichen und ein

e^{+ i p x}

$e^{+ipx}$ anstatt

e^{- i p x}

$e^{-ipx}$ , das ist die FT, die diese Vorzeichenunterschiede aufhebt, um uns zu geben

ϕ_{0} (x, t)

$\phi_0(x,t)$ Verwenden Sie einige Eigenschaften von FT?

Dwagg

@CosmasZachos Der Fehler dieser Frage im Vergleich zu Schwartz ist ein zusätzlicher Faktor von

i

$i$ in der rechten Seite von (2.85). In diesem Fall sehe ich nicht, wie die RHS von (2.85) real ist; Komplexe Konjugation ergibt einen Faktor von

- 1

$-1$ . Und außerdem sehe ich nicht, wie (2.81) und (2.85), dass beide reell sind, meine Frage beantworten. (Verzeihung!)

Kosmas Zachos

Ich habe den Fehler korrigiert. Es gibt keine zweite Amtszeit. Vgl. @Valter Morettis Antwort, die den Mittelsmann ausschaltet.

Quilo

Zugehörige Antwort physical.stackexchange.com/a/734239/226902

Antworten (3)

Ableitung der Schrödinger-Gleichung aus der Klein-Gordon-QFT mit der Definition ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩\ psi(\textbf{x},t)\equiv \langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle

Für eine Verbindung zwischen Schr. Gl. und Klein-Gordon Gl. siehe zB A. Zee, QFT in a Nutshell, Kap. III.5, und dieser Phys.SE-Beitrag sowie darin enthaltene Links.
@Qmechanic Ich bin speziell daran interessiert, die Schritte von Schwartz 'Buch zu verstehen. Insbesondere, wie hat es die zweite Gleichheit aus der ersten bekommen und bei welchem Schritt hat er verwendet? $[H,\phi_0]=-i\partial_t\phi_0$ ? Und auch, was mit dem Integral vorbei passiert ist $d^3\textbf{p}$ ?
Er verwendete (ii), um (i) abzuleiten/zu bestätigen, das im ersten Schritt verwendet wurde. Dann führte er das Impulsintegral durch, um die Fourier-Transformation, den zweiten Schritt, abzuleiten.
@CosmasZachos Ist dieses Momentum-Integral offensichtlich? Weil die RHS (2,85) ein Minuszeichen hat, das in der Definition von nicht vorhanden ist $\phi_0(\mathbf{x},t)$ .
@CosmasZachos Ich stimme zu, aber ich sehe nicht, wie das Impulsintegral funktioniert. Ich stimme zu $\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{\sqrt{p^2+m^2}}{\sqrt{2\omega_p}} a_p e^{-ipx} = \sqrt{m^2-\nabla^2} \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} a_p e^{-ipx}$ . Aber der zweite Term hat ein Minuszeichen und ein $e^{+ipx}$ anstatt $e^{-ipx}$ , das ist die FT, die diese Vorzeichenunterschiede aufhebt, um uns zu geben $\phi_0(x,t)$ Verwenden Sie einige Eigenschaften von FT?
@CosmasZachos Der Fehler dieser Frage im Vergleich zu Schwartz ist ein zusätzlicher Faktor von $i$ in der rechten Seite von (2.85). In diesem Fall sehe ich nicht, wie die RHS von (2.85) real ist; Komplexe Konjugation ergibt einen Faktor von $-1$ . Und außerdem sehe ich nicht, wie (2.81) und (2.85), dass beide reell sind, meine Frage beantworten. (Verzeihung!)
Ich habe den Fehler korrigiert. Es gibt keine zweite Amtszeit. Vgl. @Valter Morettis Antwort, die den Mittelsmann ausschaltet.
Zugehörige Antwort physical.stackexchange.com/a/734239/226902

Valter Moretti · Answer 1

(als persönliche Anmerkung: Ich weiß nicht, warum man sich mit komplizierten Dingen wie der Annäherung von Operatoren und so weiter beschäftigen sollte, wenn die Physik offensichtlich ist ...)

Die einzige Voraussetzung ist die

der Energiegehalt des Zustands muss sehr kleine Werte in Bezug auf die Masse des Teilchens haben.

In der Praxis ist die Unterstützung der ${\bf k}$ -Fourier-Transformation von $\psi({\bf x}, t)$ muss in einem Satz ausreichend konzentriert sein, wo $|{\bf p}|<< m$ . In dieser Situation können wir uns sicher annähern $p^0 \simeq \frac{{\bf p}^2}{2m} + m$ (Ich nehme an $c= \hbar=1$ ). In dieser Situation

ψ (X, T) = ⟨ 0 | ϕ_{0} (X, T) | ψ ⟩ ≃ \frac{e^{- ich M T}}{(2 π)^{3 / 2}} \int D^{3} P e^{ich (P \cdot X - \frac{P^{2}}{2 M} T)} \frac{\hat{ψ} (P)}{2 M}

$\psi({\bf x},t) = \langle 0|\phi_0({\bf x},t)|\psi\rangle \simeq \frac{e^{-imt}}{(2\pi)^{3/2}}\int d^3{\bf p} \: e^{i\left({\bf p}\cdot {\bf x} -\frac{{\bf p}^2}{2m}t\right)}\:\frac{\hat{\psi}({\bf p})}{2m}$ Bis auf den Faktor

e^{- i m t}

$e^{-imt}$ das eine Phase ist (auch wenn sie zeitabhängig ist) und weggelassen werden kann (eigentlich ist sie für Bargamanns Superselektionsregel der Masse verantwortlich), die erhaltene Funktion erfüllt offensichtlich die Standard-freie Schrödinger-Gleichung .

Diese Näherung gilt eindeutig nicht für masselose Teilchen und dies erklärt, warum Photonen die Schrödinger-Gleichung nicht (ungefähr) lösen ...

Gute Antwort. Aber ich denke, es wäre wert, das hinzuzufügen $|\psi \rangle =\int \frac{d^3p}{(2 \pi )^3}\psi({\bf p})a_p{}^{\dagger }|0\rangle$ .

ACuriousMind · Answer 2

Der Schritt folgt einfach durch die übliche Beziehung der Fourier-Transformation $p\cdot \phi(p)$ Ist $\partial_x \tilde{\phi}(x)$ , dh die Multiplikation mit der Variablen wird zur Differentiation.
Es gibt keine allgemeine Beziehung zwischen $\partial_t$ Und $\sqrt{m^2-\nabla^2}$ , da ist im Allgemeinen nicht einmal definiert, was $m$ Ist. Die Operatoren müssen auf eine bestimmte gegebene Funktion einwirken, um überhaupt eine Beziehung herzustellen.

In welchem Schritt hat er die Informationen (i) und (ii) verwendet? @ACuriousMind

Bob Knighton · Answer 3

Wenn Sie zustimmen können, dass der erste Schritt von der zeitlichen Differenzierung herrührt, besteht der zweite Schritt einfach darin, den Operator zu bemerken $\sqrt{m^2-\boldsymbol{\nabla}^2}$ fungiert als $\sqrt{m^2+\textbf{p}^2}$ im Impulsraum. Dies ist nur eine Verallgemeinerung der Tatsache, dass der Operator $\boldsymbol{\nabla}$ verhält sich einfach so $i\textbf{p}$ im Impulsraum. Sie liefern das gleiche Ergebnis. Also, nein, es gibt keine allgemeine Beziehung zwischen $\partial_t$ Und $\sqrt{m^2-\boldsymbol{\nabla^2}},$ da sie unabhängige Differentialoperatoren sind. Das Ergebnis ist nur eine Eigenschaft der Fourier-Transformation. Das Endergebnis ist,

ich \partial_{T} ψ (X) = \sqrt{M^{2} - \nabla^{2}} ψ (X)

$i\partial_t\psi(x)=\sqrt{m^2-\boldsymbol{\nabla}^2}\,\psi(x)$

aus Ihrer Definition der Ortsraumwellenfunktion.

Ich hoffe das hilft! Außerdem hoffe ich, dass Sie Schwartz weiterlesen. Es ist ein fantastisches Buch.

Ihre Antwort gibt nicht an, in welchem Schritt er (ii) verwendet hat $[H,\phi_0]=-i\partial_t\phi_0$ . Außerdem, warum geht das Integral über $d^3\textbf{p}/(2\pi)^3$ Geh weg? @BobKnighton
Die Integration über den Impuls verschwand, indem die räumliche Ableitung herausgezogen und festgestellt wurde, dass die Definition der Fourier-Transformation des Felds übrig bleibt. Ich sehe auch keine Notwendigkeit für den Kommutator, wenn der erste Schritt bereits abgeschlossen ist.
@BobKnighton Ich stimme zu, dass der Betreiber $\sqrt{m^2 - \nabla^2}$ fungiert als $\sqrt{m^2 + \vec p^2}$ im Impulsraum, aber das Ding, auf das es einwirkt, ist nicht der Quantenfeldoperator, oder? Wegen dem Minuszeichen in (2,85)?

Ableitung der Schrödinger-Gleichung aus der Klein-Gordon-QFT mit der Definition ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩\ psi(\textbf{x},t)\equiv \langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle

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