Transformation des Skalarfeldes unter Lorentz Boost [geschlossen]

Question

Transformation des Skalarfeldes unter Lorentz Boost [geschlossen]

Physik
Lorentz-Symmetrie
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung
Hausaufgaben-und-Übungen

Helle Sonne

Nehmen Sie eine Lorentz-Transformation an $\Lambda$ soll als unitärer Operator implementiert werden $U(\Lambda)$ im Hilbert-Raum der Quantenzustände der Fock-Darstellung, auf die das skalare Klein-Gordon-Feld einwirkt:

φ (X) = \int \frac{D^{3} k}{\sqrt{2} k_{0}} (A (k) e^{- ich k \cdot X} + A^{†} (k) e^{+ ich k \cdot X}) \equiv \int D Ω_{M} (A (k) e^{- ich k \cdot X} + A^{†} (k) e^{+ ich k \cdot X})

$\varphi(x)=\int\frac{d^3k}{\sqrt{2}k_0}\left(a(\mathbf{k})e^{-ik\cdot x}+a^\dagger(\mathbf{k})e^{+ik\cdot x}\right)\equiv \int d\Omega_m\left(a(\mathbf{k})e^{-ik\cdot x}+a^\dagger(\mathbf{k})e^{+ik\cdot x}\right)$ Wo

d Ω_{m}

$d\Omega_m$ ist das Lorentz-invariante Maßelement. Wie transformieren sich der Vernichtungs- und der Schöpfungsoperator? Wie kann ich das beweisen

U (Λ) φ (X) U^{†} (Λ) = φ (Λ X) ?

$U(\Lambda)\varphi(x)U^\dagger(\Lambda) = \varphi(\Lambda x)?$

John Rennie

Eine Ablehnung scheint hart. Ich bin mir nicht sicher, warum die Frage in einem "Beantworte deine eigene Frage"-Formular gepostet wurde, aber es wurde viel Mühe darauf verwendet. Wird die Welt durch Heruntervoten und/oder Schließen wirklich zu einem besseren Ort?

Kyle Kanos

Angesichts der Tatsache, dass dies eine Hausaufgabenfrage ist und wir immer wieder gesagt haben, dass hausaufgabenähnliche Fragen und Fragen zur Überprüfung meiner Arbeit nicht zum Thema gehören, sehe ich keinen Grund, warum dies einen Sonderpass erhalten sollte, nur weil das OP darauf geantwortet hat.

Helle Sonne

@Kyle Kanos Ich war in der Tat im Zweifel, ob ich es posten sollte oder nicht: Ich habe den Fehler bemerkt, den ich gemacht habe, als ich es niedergeschrieben habe. Also habe ich den Link "Frage-und-Antwort-Stil" unten überprüft und festgestellt: "Um es ganz klar zu sagen, es ist nicht nur in Ordnung, Ihre eigene Frage zu stellen und zu beantworten, es wird ausdrücklich empfohlen" ...

Kyle Kanos

Ja, Asking & Answering ist akzeptabel ( ich habe es selbst gemacht ). Ihre Frage verstößt jedoch gegen die Fragen vom Typ "Führen Sie diese Berechnung für mich aus" , die wir als nicht zum Thema gehörend betrachten.

glS

verwandt: physical.stackexchange.com/q/154673/58382

Helle Sonne

@Kyle Kanos Schlagen Sie vor, dass ich einen Zweifel an einem bestimmten physikalischen Konzept des Themas vortäuschen sollte, um die im Link aufgeführten Kriterien zu erfüllen? Oder dass ich den Beitrag entfernen soll? Ich dachte, es könnte mir und anderen Benutzern helfen, diese detaillierte Berechnung auf der Website zu finden, also habe ich sie im Q&A-Stil gepostet. Ich meine nichts für ungut: Meine Zweifel sind echt.

Doppelfelix

Nur fürs Protokoll, ich bin auf diese Frage gestoßen, weil ich mir darüber Gedanken gemacht habe, während ich die Theorie studiert habe, und es war kein Hausaufgabenproblem; eher eine konzeptionelle über die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren. Dieser Beitrag und die Lösung waren hilfreich für mich. Es könnte für die Website von Vorteil sein, diese Frage erneut zu öffnen. @John Rennie

Antworten (1)

Transformation des Skalarfeldes unter Lorentz Boost [geschlossen]

Eine Ablehnung scheint hart. Ich bin mir nicht sicher, warum die Frage in einem "Beantworte deine eigene Frage"-Formular gepostet wurde, aber es wurde viel Mühe darauf verwendet. Wird die Welt durch Heruntervoten und/oder Schließen wirklich zu einem besseren Ort?
Angesichts der Tatsache, dass dies eine Hausaufgabenfrage ist und wir immer wieder gesagt haben, dass hausaufgabenähnliche Fragen und Fragen zur Überprüfung meiner Arbeit nicht zum Thema gehören, sehe ich keinen Grund, warum dies einen Sonderpass erhalten sollte, nur weil das OP darauf geantwortet hat.
@Kyle Kanos Ich war in der Tat im Zweifel, ob ich es posten sollte oder nicht: Ich habe den Fehler bemerkt, den ich gemacht habe, als ich es niedergeschrieben habe. Also habe ich den Link "Frage-und-Antwort-Stil" unten überprüft und festgestellt: "Um es ganz klar zu sagen, es ist nicht nur in Ordnung, Ihre eigene Frage zu stellen und zu beantworten, es wird ausdrücklich empfohlen" ...
Ja, Asking & Answering ist akzeptabel ( ich habe es selbst gemacht ). Ihre Frage verstößt jedoch gegen die Fragen vom Typ "Führen Sie diese Berechnung für mich aus" , die wir als nicht zum Thema gehörend betrachten.
@Kyle Kanos Schlagen Sie vor, dass ich einen Zweifel an einem bestimmten physikalischen Konzept des Themas vortäuschen sollte, um die im Link aufgeführten Kriterien zu erfüllen? Oder dass ich den Beitrag entfernen soll? Ich dachte, es könnte mir und anderen Benutzern helfen, diese detaillierte Berechnung auf der Website zu finden, also habe ich sie im Q&A-Stil gepostet. Ich meine nichts für ungut: Meine Zweifel sind echt.
Nur fürs Protokoll, ich bin auf diese Frage gestoßen, weil ich mir darüber Gedanken gemacht habe, während ich die Theorie studiert habe, und es war kein Hausaufgabenproblem; eher eine konzeptionelle über die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren. Dieser Beitrag und die Lösung waren hilfreich für mich. Es könnte für die Website von Vorteil sein, diese Frage erneut zu öffnen. @John Rennie

Helle Sonne · Answer 1

Physikalisch die Entstehung eines Teilchens mit Impuls $\mathbf{p}$ wird von der Lorentz-Gruppe wie folgt beeinflusst: seit

U (Λ) | P ⟩ = | Λ P ⟩

$U(\Lambda)|\mathbf{p}\rangle = |\Lambda\mathbf{p}\rangle$

| P ⟩ = A^{†} (P) | 0 ⟩

$|\mathbf{p}\rangle=a^\dagger(\mathbf{p})|0\rangle$ wir bekommen

U (Λ) A^{†} (k) U^{†} (Λ) = A^{†} (Λ k) .

$U(\Lambda)a^\dagger(\mathbf{k})U^\dagger(\Lambda)=a^{\dagger}(\Lambda\mathbf{k}).$ Tatsächlich ergibt jede Übergangsamplitude:

⟨ Λ P | Λ Q ⟩ = ⟨ 0 | A (Λ P) A^{†} (Λ Q) | 0 ⟩ ⟨ Λ P | Λ Q ⟩ = ⟨ P | U^{†} (Λ) U (Λ) | Q ⟩ = ⟨ 0 | A (P) U^{†} (Λ) U (Λ) A^{†} (Q) | 0 ⟩ = ⟨ 0 | U^{†} (Λ) U (Λ) A (P) U^{†} (Λ) U (Λ) A^{†} (Q) U^{†} (Λ) U (Λ) | 0 ⟩ = ⟨ 0 | U (Λ) A (P) U^{†} (Λ) U (Λ) A^{†} (Q) U^{†} (Λ) | 0 ⟩;

$\langle \Lambda\mathbf{p}| \Lambda \mathbf{q}\rangle=\langle0|a(\Lambda\mathbf{p})a^\dagger(\Lambda\mathbf{q})|0\rangle\\ \langle \Lambda\mathbf{p}| \Lambda \mathbf{q}\rangle= \langle \mathbf{p}|U^\dagger(\Lambda)U(\Lambda)|\mathbf{q}\rangle= \langle0|a(\mathbf{p})U^\dagger(\Lambda)U(\Lambda)a^\dagger(\mathbf{q})|0\rangle=\\ \langle0|U^\dagger(\Lambda) U(\Lambda) a(\mathbf{p})U^\dagger(\Lambda)U(\Lambda)a^\dagger(\mathbf{q})U^\dagger(\Lambda) U(\Lambda)|0\rangle=\langle0|U(\Lambda)a(\mathbf{p})U^\dagger(\Lambda)U(\Lambda)a^\dagger(\mathbf{q})U^\dagger(\Lambda)|0\rangle;$ Vergleich ergibt die Transformationsformel für

a, a^{†}

$a,a^\dagger$ , wobei wir das Postulat verwendet haben:

U (Λ) | 0 ⟩ = | 0 ⟩

$U(\Lambda)|0\rangle = |0\rangle$ . Dann nehmen Sie den Adjunkten des Obigen:

U (Λ) A (k) U^{†} (Λ) = A (Λ k) .

$U(\Lambda)a(\mathbf{k})U^\dagger(\Lambda)=a(\Lambda\mathbf{k}).$ Jetzt

U (Λ) φ (X) U^{†} (Λ) = U (Λ) \int D Ω_{M} (A (k) e^{- ich k \cdot X} + A^{†} (k) e^{+ ich k \cdot X}) U^{†} (Λ) = \int D Ω_{M} (U (Λ) A (k) U^{†} (Λ) e^{- ich k \cdot X} + U (Λ) A^{†} (k) U^{†} (Λ) e^{+ ich k \cdot X}) = \int D Ω_{M} (A (Λ k) e^{- ich k \cdot X} + A^{†} (Λ k) e^{+ ich k \cdot X})

$U(\Lambda)\varphi(x)U^\dagger(\Lambda)= U(\Lambda)\int d\Omega_m\left(a(\mathbf{k})e^{-ik\cdot x}+a^\dagger(\mathbf{k})e^{+ik\cdot x}\right) U^\dagger(\Lambda)=\\ \int d\Omega_m\left(U(\Lambda)a(\mathbf{k})U^\dagger(\Lambda)e^{-ik\cdot x}+U(\Lambda)a^\dagger(\mathbf{k})U^\dagger(\Lambda)e^{+ik\cdot x}\right)=\\ \int d\Omega_m\left(a(\Lambda\mathbf{k})e^{-ik\cdot x}+a^\dagger(\Lambda\mathbf{k})e^{+ik\cdot x}\right)$ Variablen ändern und abrufen

d Ω_{m}

$d\Omega_m$ ist unter einer solchen Änderung unveränderlich, was tatsächlich ein Schub ist,

k = Λ^{- 1} k^{'}

$\mathbf{k}=\Lambda^{-1}\mathbf{k}'$ :

\int D Ω_{M}^{'} (A (k^{'}) e^{- ich (Λ^{- 1} k^{'}) \cdot X} + A^{†} (k^{'}) e^{+ ich (Λ^{- 1} k^{'}) \cdot X}) = \int D Ω_{M}^{'} (A (k^{'}) e^{- ich (Λ^{- 1} k^{'}) \cdot (Λ^{- 1} X^{'})} + A^{†} (k^{'}) e^{+ ich (Λ^{- 1} k^{'}) \cdot (Λ^{- 1} X^{'})})

$\int d\Omega'_m\left(a(\mathbf{k}')e^{-i(\Lambda^{-1}k')\cdot x}+a^\dagger(\mathbf{k}')e^{+i(\Lambda^{-1}k')\cdot x}\right)=\\ \int d\Omega'_m\left(a(\mathbf{k}')e^{-i(\Lambda^{-1}k')\cdot (\Lambda^{-1}x')}+a^\dagger(\mathbf{k}')e^{+i(\Lambda^{-1}k')\cdot (\Lambda^{-1}x')}\right)$ Wo

x^{'} = Λ x

$x'=\Lambda x$ . Aber die

\cdot

$\cdot$ Produkt ist invariant unter

Λ

$\Lambda$ So:

U (Λ) φ (X) U^{†} (Λ) = \int D Ω_{M}^{'} (A (k^{'}) e^{- ich k \cdot X^{'}} + A^{†} (k^{'}) e^{+ ich k^{'} \cdot X^{'}}) = φ (X^{'} = Λ X) .

$U(\Lambda)\varphi(x)U^\dagger(\Lambda) = \int d\Omega'_m\left(a(\mathbf{k}')e^{-ik\cdot x'}+a^\dagger(\mathbf{k}')e^{+ik'\cdot x'}\right)=\varphi(x'=\Lambda x).$

Wie kommst du auf deine dritte Gleichung? Von den ersten beiden: $U (Λ) A^{†} (P) | 0 ⟩ = U (Λ) | P ⟩ = | Λ P ⟩ = A^{†} (Λ P) | 0 ⟩,$ $U(\Lambda) a^\dagger(p) |0\rangle = U(\Lambda) | p \rangle = | \Lambda p \rangle = a^\dagger(\Lambda p)|0\rangle,$ woraus man das schließen würde $U (Λ) A^{†} (P) = A^{†} (Λ P) .$ $U(\Lambda)a^\dagger(p) = a^\dagger(\Lambda p).$
weitere Erklärung für hinzugefügt $U(\Lambda)a^\dagger(p)U^\dagger(\Lambda)=a^\dagger(\Lambda p)$
Danke. Sie sagen also, meine Argumentation sei falsch, weil $U(\Lambda)| 0 \rangle = | 0 \rangle$ , Rechts? Außerdem könnten Sie vielleicht angeben, dass Ihre $\textbf p$ sind 4-Impulse ... die fette Schreibweise lässt an 3-Vektoren denken
Ja, ich glaube nicht, dass es einen Widerspruch zwischen meiner Formel und Ihrer gibt, ich mag meine einfach besser, weil Operatoren normalerweise durch Konjugation transformieren ... Und ja, meine $\mathbf{p}$ sind 3-Impulse, da der physikalische Zustand durch die drei Komponenten des räumlichen Impulses gekennzeichnet werden kann, und addieren $p_0$ von Mass-Shell bei Bedarf.
ok, aber wie interpretierst du dann $\Lambda \textbf p$ Wenn $\textbf p$ ist ein 3-Vektor und $\Lambda$ könnte (zB) ein Schub sein?
$\Lambda\mathbf{p}=\mathbf{\Lambda\mathbf{p}}$ dh der räumliche Teil von $\Lambda p$ Wo $p$ ein Vierervektor ist; es ist nur eine Art zu betonen, dass nur drei dieser Parameter den Quantenzustand charakterisieren.
Hi. Ich denke, es gibt eine solidere Grundlage, um Ihre ersten Annahmen zu rechtfertigen. Ich werde es hier schreiben und wenn Sie möchten, können Sie Ihre Antwort bearbeiten. Lassen Sie uns den Betreiber untersuchen $U(\Lambda)a^\dagger U^\dagger (\Lambda)$ , beachten Sie, dass $U^\dagger (\Lambda)=U(\Lambda^{-1})$ . Die Aktion eines Operators wird durch seine Aktion auf allen Basisvektoren definiert. Im Fock-Space bedeutet dies, dass wir evaluieren müssen $U (Λ) A^{†} (P) U^{†} | P_{1} . . . P_{N} >$ $U(\Lambda)a^\dagger (p) U^\dagger|p_1 ... p_N>$ Der $U$ wandeln Sie jeden Schwung um $\Lambda$ . Alle 3 Operatoren anwenden: $= | P_{1} . . . Λ P . . . P_{N} >$ $=|p_1 ... \Lambda p ... p_N >$ $= A^{†} (Λ P) | P_{1} . . . P_{N} >$ $=a^\dagger (\Lambda p) |p_1 ... p_N>$
In der Antwort wurde das also bewiesen $U a_\textbf{p}^{\dagger} U^{\dagger} = a_{\Lambda \textbf{p}}^{\dagger}$ und im ersten Kommentar wird das gezeigt $U a_\textbf{p}^{\dagger} = a_{\Lambda \textbf{ p}}^{\dagger}$ . Also haben beide recht?

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