Wie zeigt man, dass sich ψ¯γμψψ¯γμψ\bar\psi\gamma^\mu\psi eines Dirac-Spinors ψψ\psi als Vektor transformiert?

Question

Wie zeigt man, dass sich ψ¯γμψψ¯γμψ\bar\psi\gamma^\mu\psi eines Dirac-Spinors ψψ\psi als Vektor transformiert?

Physik
Dirac-Matrizen
Lorentz-Symmetrie
Quantenfeldtheorie
Hausaufgaben-und-Übungen

Bass

Dies ist Teil 2 der Übung II.1.1 von Zee's QFT in a Nutshell ( hier ist Teil 1 ).

Das ist, was ich habe:

\begin{aligned} \bar{ψ} γ^{λ} ψ \mapsto {\bar{ψ}}^{'} γ^{λ} ψ^{'} & = {ψ^{'}}^{†} {γ^{0}}^{†} γ^{λ} ψ^{'} = (S (Λ) ψ)^{†} γ^{0} γ^{λ} (S (Λ) ψ) \\ = ψ^{†} S (Λ)^{†} γ^{0} γ^{λ} S (Λ) ψ \\ (1) & = ψ^{†} e^{\frac{ich}{4} ω_{μ v} {σ^{μ v}}^{†}} γ^{0} γ^{λ} e^{- \frac{ich}{4} ω_{μ v} σ^{μ v}} ψ \\ = ψ^{†} (1 + \frac{ich}{4} ω_{μ v} (σ^{μ v})^{†} + Ö ({ω_{μ v}}^{2})) γ^{0} γ^{λ} (1 - \frac{ich}{4} ω_{μ v} σ^{μ v} + Ö ({ω_{μ v}}^{2})) ψ \\ = ψ^{†} γ^{0} (γ^{λ} + \frac{ich}{4} ω_{μ v} [[γ^{μ}, γ^{v}], γ^{λ}] + Ö ({ω_{μ v}}^{2})) ψ \\ = ψ^{†} γ^{0} (γ^{λ} + \frac{1}{2} ω_{μ v} [σ^{μ v}, γ^{λ}] + Ö ({ω_{μ v}}^{2})) ψ \end{aligned}

$\begin{align} \bar\psi\gamma^\lambda\psi \mapsto \bar\psi^{\,\prime}\gamma^\lambda\psi^{\,\prime} & = {\psi^{\,\prime}}^\dagger{\gamma^0}^\dagger\gamma^\lambda\psi^{\,\prime} = (S(\Lambda)\psi)^\dagger\gamma^0\gamma^\lambda(S(\Lambda)\psi) \\ & = \psi^\dagger S(\Lambda)^\dagger\gamma^0\gamma^\lambda S(\Lambda)\psi\\ & = \tag{1}\psi^\dagger e^{\frac i4\omega_{\mu\nu}{\sigma^{\mu\nu}}^\dagger}\gamma^0\gamma^\lambda e^{-\frac i4\omega_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu}}\psi\\ & = \psi^\dagger\left(1+\frac i4\omega_{\mu\nu}(\sigma^{\mu\nu})^\dagger+O({\omega_{\mu\nu}}^2)\right)\gamma^0\gamma^\lambda\left(1-\frac i4\omega_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu}+O({\omega_{\mu\nu}}^2)\right)\psi\\ & = \psi^\dagger\gamma^0\left(\gamma^\lambda+\frac i4\omega_{\mu\nu}[[\gamma^\mu,\gamma^\nu],\gamma^\lambda]+O({\omega_{\mu\nu}}^2)\right)\psi\\ & = \psi^\dagger\gamma^0\left(\gamma^\lambda+\frac 12\omega_{\mu\nu}[\sigma^{\mu\nu},\gamma^\lambda]+O({\omega_{\mu\nu}}^2)\right)\psi \end{align}$

Zwei Fragen:

Wie genau beweist das die letzte Zeile $\bar\psi\gamma^\lambda\psi$ als Vektor unter Lorentz-Transformationen transformiert? Aufgrund des Kommutators zwischen den Lorentz-Generatoren und den "Vektorkomponenten" sieht es für mich sicherlich nach einer Vektortransformation aus. $\gamma^\mu$ , aber wie kann ich das quantitativ beweisen?
Dann eine allgemeinere Frage: Wie werde ich die los $O({\omega_{\mu\nu}}^2)$ ? Ich weiß, dass es ignoriert werden kann, da wir nur infinitesimale Transformationen betrachten, sodass das Transformationsverhalten nur von Termen erster Ordnung bestimmt wird. Aber was ist der mathematisch rigorose Weg, sie loszuwerden? Schreibe ich einfach a $\simeq$ unterschreiben und auf der rechten Seite auslassen $\simeq$ ? Das würde mir nicht richtig erscheinen, denn wenn es um Erweiterungen geht, a $\simeq$ bedeutet keine strikte Gleichheit, sondern nur "Gleichheit bis zu einer bestimmten Ordnung".

Benutzer81619

Vielen Dank, dass Sie diese Fragen gestellt haben. Ich lese gerade dieses Buch durch, und möglicherweise wird hier physikalischer Pragmatismus zutreffen: oben (werden in anderen Erweiterungen keine Cutoff-Techniken angewendet?), Aber ich wünsche Ihnen viel Glück, dass Sie eine Antwort erhalten

Antworten (1)

Wie zeigt man, dass sich ψ¯γμψψ¯γμψ\bar\psi\gamma^\mu\psi eines Dirac-Spinors ψψ\psi als Vektor transformiert?

Vielen Dank, dass Sie diese Fragen gestellt haben. Ich lese gerade dieses Buch durch, und möglicherweise wird hier physikalischer Pragmatismus zutreffen: oben (werden in anderen Erweiterungen keine Cutoff-Techniken angewendet?), Aber ich wünsche Ihnen viel Glück, dass Sie eine Antwort erhalten

Noiralef · Answer 1

Einfacher wird es, wenn du das Ergebnis aus Teil 1 verwendest. Dann musst du dich auch nicht mit dem auseinandersetzen $\mathcal O(\omega^2)$ (siehe meine Antwort auf Ihre andere Frage).

In Ihrer Rechnung haben Sie transformiert $\bar\psi$ Und $\psi$ , aber nicht $\gamma^\lambda$ . Das ist richtig, wie ich am Ende zeigen werde, aber ich werde einen anderen Standpunkt einnehmen, der hier wirklich hilfreich ist: $\gamma^\lambda$ ist ein Objekt mit einem Lorentz-Index $\lambda$ und zwei fermionische Indizes, daher sollte es sich umwandeln als

{γ^{'}}^{λ} = {Λ^{λ}}_{v} (S γ^{v} S^{- 1})

${\gamma'}^\lambda = {\Lambda^\lambda}_\nu (S \gamma^\nu S^{-1})$ (nach den allgemeinen Regeln, wie sich Tensoren transformieren).

Denn das kennen wir bereits aus Teil 1 $\bar\psi \to \bar\psi S^{-1}$ , bekommen wir sofort

\bar{ψ} γ^{λ} ψ \to {Λ^{λ}}_{v} \bar{ψ} S^{- 1} S γ^{v} S^{- 1} S ψ = {Λ^{λ}}_{v} \bar{ψ} γ^{v} ψ,

$\bar\psi \gamma^\lambda \psi \to {\Lambda^\lambda}_\nu \bar\psi S^{-1} S \gamma^\nu S^{-1} S \psi = {\Lambda^\lambda}_\nu \bar\psi \gamma^\nu \psi \;,$ dies ist das erwartete Transformationsverhalten eines Lorentz-Vektors.

Was Sie getan haben, ist natürlich auch richtig, aber es fehlt eine Zutat. Seit

{Λ^{λ}}_{v} (S γ^{v} S^{- 1}) = γ^{λ},

${\Lambda^\lambda}_\nu (S \gamma^\nu S^{-1}) = \gamma^\lambda \;,$ Die

γ

$\gamma$ Matrizen transformieren eigentlich nicht. Dies zu beweisen ist der kniffligere Teil (aber auch nicht zu schwer). Ich habe Zees Buch nicht gelesen, aber ich würde vermuten, dass er es irgendwo beweist?

(Sie könnten mit dem Schreiben beginnen $\bar\psi \gamma^\lambda \psi \to \bar\psi S^{-1} \gamma^\lambda S \psi$ und verwenden Sie dann diese Identität, um zum gleichen Ergebnis zu gelangen.)

Danke, aber was genau ist ein fermionischer Index und warum transformieren sich die Gammamatrizen auf diese Weise (Ihre erste Gleichung)? Jede Erklärung oder Buchreferenz wird geschätzt.
Eine andere Sache: Nach den allgemeinen Regeln, wie sich Tensoren transformieren : Ich wusste nicht, dass die Gammamatrizen Tensoren sind? Warum sollten die Tensortransformationsregeln für die Gammas gelten?
Für jede $\mu$ , $\gamma^\mu$ ist eine Matrix, sodass Gamma tatsächlich ein Objekt ist ${(\gamma^\mu)^A}_B$ . Die Indizes $A$ Und $B$ sind fermionische Indizes oder Spinor-Indizes.
Die Definition eines Tensors ist, dass bei der Lorentz-Transformation jeder Lorentz-Index mit a kontrahiert wird ${\Lambda^\mu}_\nu$ und jeder Spinor-Index wird mit an kontrahiert ${S(\Lambda)^A}_B$ . $\psi = \psi^A$ ist ein kontravarianter Spinor und in Teil 1 der Übung zeigen Sie das im Wesentlichen $\bar\psi = \bar\psi_B$ ist ein kovarianter Spinor. Eine andere Art, über das nachzudenken, was ich oben geschrieben habe, ist vielleicht: Die Gleichung ${\gamma'}^\lambda = \gamma^\lambda = {\Lambda^\lambda}_\nu (S \gamma^\nu S^{-1})$ beweist das $\gamma$ ist ein Tensor. Nachdem wir dies gezeigt haben, können wir es in der eigentlichen Berechnung verwenden, wie ich es getan habe.
Wenn dir das jetzt zu viel ist, kannst du die Übung machen, ohne das im Detail zu verstehen (siehe letzte Zeile in meiner Antwort), aber ich finde es ziemlich cool, wie das alles funktioniert :)
Vielen Dank für Ihre Hilfe. Deinen Kommentaren nach zu urteilen, stimme ich dem ganzen zu $\gamma$ ist ein Tensor mit zwei Spinor-Indizes (ein kontravarianter, ein kovarianter) und ein kontravarianter "normaler" Index? Es ist in der Tat ziemlich cool :) aber es ist zu neu für mich, um mir über diese Dinge sicher zu sein.
Ist es möglich zu beweisen, dass sich die Gammas nicht wirklich von ihren Indizes transformieren? Wenn ein (Spinor-)Index eine Kovariante und eine Kontravariante transformiert, heben sich die Transformationen gegenseitig auf, oder? Aber dann bleibt der kontravariante Vektorindex, also sollten sie sich trotzdem transformieren..?
Die drei Transformationen heben sich gegenseitig auf: Der kontravariante Vektorindex ergibt die $\Lambda$ , der kontravariante Spinor-Index der $S$ und der kovariante Spinorindex die $S^{-1}$ . Diese Kombination hebt sich einfach auf.
Tut mir leid, wenn dies eine Noob-Frage ist, sollte aber nicht $S$ Und $S^{-1}$ , per Definition von $S^{-1}$ , heben sich gegenseitig auf?
Es gibt immer noch die $\gamma$ mitten drin: ${\Lambda^\lambda}_\nu (S \gamma^\nu S^{-1}) = \gamma^\lambda$
Gibt es ein Buch, in dem Sie die Seite/den Abschnitt kennen, in dem diese Gleichung bewiesen wird? Peskin/Schröder, Weinberg, Zuber?
Peskin/Schroeder: Gleichung (3.30). Zee: Unter Gleichung (14), Teil 2. Weinberg: (5.4.8)

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