Etwas Dirakologie in Spuren

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Etwas Dirakologie in Spuren

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Angenommen, ich möchte die Ablaufverfolgung auswerten $p_{\alpha} q_{\beta}\text{Tr}(\gamma^{\alpha} \gamma^0 \gamma^{\beta} \gamma^0)$ . Unter Verwendung der Standardspurenformel für vier Gammamatrizen komme ich zu

P_{a} Q_{β} Tr (γ^{a} γ^{0} γ^{β} γ^{0}) = 4 P_{a} Q_{β} (2 G^{0 a} G^{0 β} - G^{a β})

$p_{\alpha} q_{\beta}\text{Tr}(\gamma^{\alpha} \gamma^0 \gamma^{\beta} \gamma^0) = 4p_{\alpha} q_{\beta}(2g^{0 \alpha} g^{0 \beta} - g^{\alpha \beta})$ Das Kontrahieren der Indizes gibt mir

4 (p^{0} q^{0} + p \cdot q)

$4(p^0 q^0 + \mathbf p \cdot \mathbf q)$ Das ist die Antwort, von der ich weiß, dass sie richtig ist.

Aber gehen wir mal anders vor: Schreiben

P_{a} Q_{β} Tr (γ^{a} γ^{0} γ^{β} γ^{0}) = P_{a} Q_{β} (Tr (γ^{a} γ^{0} (- γ^{0} γ^{β} + 2 G^{0 β}))) = P_{a} Q_{β} (- Tr (γ^{a} γ^{β}) + 2 Tr (γ^{a} γ^{β})))

$p_{\alpha} q_{\beta}\text{Tr}(\gamma^{\alpha} \gamma^0 \gamma^{\beta} \gamma^0) = p_{\alpha} q_{\beta} (\text{Tr}(\gamma^{\alpha} \gamma^0 (-\gamma^0 \gamma^{\beta} + 2g^{0 \beta}))) = p_{\alpha}q_{\beta} (-\text{Tr}(\gamma^{\alpha} \gamma^{\beta}) + 2 \text{Tr}(\gamma^{\alpha} \gamma^{\beta})) )$ mit der Clifford-Algebra und der Tatsache

γ_{0}^{2} = 1

$\gamma_0^2 = 1$ . Dann haben wir

Tr (P Q) = 4 P \cdot Q = 4 (P^{0} Q^{0} - P \cdot Q)

$\text{Tr} (\not p \not q) = 4 p \cdot q = 4(p^0 q^0 - \mathbf{p} \cdot \mathbf q)$ Also habe ich einen Minusfehler im zweiten Term. Habe ich irgendwo einen Begriff übersehen?

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AccidentalFourierTransform · Answer 1

Du gehst aus

Tr [γ^{a} γ^{0} (- γ^{0} γ^{β} + 2 G^{0 β})]

$\text{Tr}\big[\gamma^{\alpha} \gamma^0 (-\gamma^0 \gamma^{\beta} + 2g^{0 \beta})\big]$ Zu

- Tr [γ^{a} γ^{β}] + 2 Tr [γ^{a} γ^{β}]

$-\text{Tr}\big[\gamma^{\alpha} \gamma^{\beta}\big] + 2 \text{Tr}\big[\gamma^{\alpha} \gamma^{\beta}\big]$ aber das ist falsch. Das richtige Ergebnis ist

Tr [γ^{a} γ^{0} (- γ^{0} γ^{β} + 2 G^{0 β})] = - Tr [γ^{a} γ^{β}] + 2 G^{0 β} Tr [γ^{a} γ^{0}]

$\text{Tr}\big[\gamma^{\alpha} \gamma^0 (-\gamma^0 \gamma^{\beta} + 2g^{0 \beta})\big]=-\text{Tr}\big[\gamma^{\alpha}\gamma^{\beta}\big] +2g^{0 \beta}\text{Tr}\big[\gamma^{\alpha} \gamma^0\big]$

Schließlich nehmen $\text{Tr}[\gamma^{\alpha}\gamma^{\beta}]=4g^{\alpha\beta}$ Und $\text{Tr}[\gamma^\alpha\gamma^0]=4g^{\alpha 0}$ :

Tr [γ^{a} γ^{0} (- γ^{0} γ^{β} + 2 G^{0 β})] = - 4 G^{a β} + 8 G^{0 β} G^{a 0}

$\text{Tr}\big[\gamma^{\alpha} \gamma^0 (-\gamma^0 \gamma^{\beta} + 2g^{0 \beta})\big]=-4g^{\alpha\beta}+8g^{0 \beta}g^{\alpha0}$ Das ist das gleiche Ergebnis, das Sie zuerst erhalten haben.

Okay danke! Die einzige Frage, die ich hätte, wäre, warum $\gamma_0 g^{0 \beta} = \gamma^{\beta}$ ungültig?
Weil in $\gamma_0 g^{0\beta}$ es gibt keine Summe: den Index $0$ wird nicht kontrahiert , sondern ist auf den Einzelwert " $0$ ". Nehmen Sie zum Beispiel $\beta=1$ . Dann hast du die linke Seite $\gamma_0 g^{01}=0$ (Weil $g^{01}=0$ ) während Sie auf der rechten Seite haben $\gamma^1\neq 0$ . Sie können sehen, dass lhs $\neq$ rhs (wenn ich mich nicht klar ausgedrückt habe, sagen Sie es bitte und ich werde versuchen, es besser zu erklären).
Ja ist klar! danke, ist mir gerade auch aufgefallen - $γ_{a} G^{a β} = γ^{β} = γ_{0} G^{0 β} + γ_{ich} G^{ich β}$ $\gamma_{\alpha} g^{\alpha \beta} = \gamma^{\beta} = \gamma_0 g^{0 \beta} + \gamma_i g^{i \beta}$ also stimmt das was ich geschrieben habe nicht. Ich schätze aber etwas, das vielleicht eher konzeptionell ist: Die $\gamma_{\mu}$ sind Matrizen, warum gehorchen sie also der gleichen Erhöhungs-/Senkungseigenschaft mit der Metrik wie vier Vektoren?
Hübsch! die Matrizen $\gamma_\mu$ (mit niedrigeren Indizes) definiert werden $\gamma_\mu\equiv g_{\mu\nu}\gamma^\nu$ . Das bedeutet: Sie gehorchen den gleichen Anhebe-/Absenkeigenschaften, weil wir sie so definieren . Die Matrizen mit oberen Indizes sind durch die Clifford-Algebra gegeben. Die Matrizen mit niedrigeren Indizes werden durch Kontraktion mit der Metrik definiert. Es ist nur eine Notation.

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