Peskin-Gleichung 6.38

Dies in seiner Gesamtheit zu überprüfen ist mühsam, aber eine gute Übung, also ist hier das Skelett dessen, was Sie tun müssen, ohne alles preiszugeben:

1. Erinnern Sie sich an die grundlegende Strukturbeziehung $$\begin{align} \{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2g^{\mu\nu} \end{align}$$ wobei wie üblich auf der rechten Seite eine implizite Identitätsmatrix vorhanden ist.
2. Die Ausdrücke, die Sie wirklich vergleichen möchten, sind der Ausdruck in der ersten Zeile, die lautet $$\begin{align} -ig_{\nu\rho}(-ie\gamma^\nu)i(k_\alpha\gamma^\alpha + m)\gamma^u i (k_\beta \gamma^\beta+m)(-ie\gamma^\rho) \end{align}$$ und der Ausdruck in der zweiten Zeile, der lautet $$\begin{align} 2ie^2(k_\alpha\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\beta k'_\beta -2m(k+k')^\mu+ m^2\gamma^\mu) \end{align}$$
3. Es ist nützlich, die Dinge in jeder Zeile abzugleichen, die nicht von abhängen$k$Und$k'$zuerst und passen Sie dann die Dinge an, von denen dies abhängt$k$Und$k'$. Zum Beispiel der Begriff in der ersten Zeile, der nicht hat$k$Und$k'$darin ist $$\begin{align} -ie^2g_{\nu\rho}\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma^\rho m^2 \end{align}$$ während das Zeug in der zweiten Zeile das nicht hat$k$Und$k'$darin ist $$\begin{align} 2ie^2m^2\gamma^\mu \end{align}$$ Diese Dinge sind seitdem gleich $$\begin{align} g_{\nu\rho}\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma^\rho &= g_{\nu\rho}\gamma^\nu(\{\gamma^\mu, \gamma^\rho\} - \gamma^\rho\gamma^\mu) \\ &= g_{\nu\rho}\gamma^\nu(2g^{\mu\rho}-\gamma^\rho\gamma^\mu) \\ &= 2\gamma^\mu-g_{\nu\rho}\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\mu \\ &= 2\gamma^\mu-\frac{1}{2}(g_{\nu\rho}\gamma^\nu\gamma^\rho + g_{\rho\nu}\gamma^\rho\gamma^\nu)\gamma^\mu \\ &= 2\gamma^\mu - \frac{1}{2}g_{\nu\rho}\{\gamma^\nu,\gamma^\rho\}\gamma^\mu \\ &= 2\gamma^\mu - \frac{1}{2}g_{\nu\rho}(2g^{\nu\rho})\gamma^\mu \\ &= 2\gamma^\mu-4\gamma^\mu \\ &= -2\gamma^\mu \end{align}$$
4. Machen Sie eine ähnliche (aber langwierigere) Sache für die Sachen, die davon abhängen$k$Und$k'$.