Lösen der Klein-Gordon-Gleichung mit einer Fourier-Transformation

Also versuche ich, die Klein-Gordon-Gleichung nur mit einer Fourier-Transformation der räumlichen Komponenten zu lösen. Die Klein-Gordon-Gleichung lautet:

$$(\partial ^2 + m^2)\phi(x) = 0.$$

Wenn ich lasse

$$\phi(x) = \phi(t, \mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \widetilde{\phi}(t,\mathbf{k})e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} } \mathrm{d}^3k,$$

Ich setze dies in die KG-Gleichung ein, um zu erhalten

$$\frac{\partial^2 \widetilde{\phi}}{\partial t^2} +(\mathbf{k}^2+m^2)\widetilde{\phi}=0.$$

Dies ist die Differentialgleichung für einen einfachen harmonischen Oszillator, damit ich sofort schreiben kann

$$\widetilde{\phi}(t,\mathbf{k})=A(\mathbf{k})e^{i \omega_{\mathbf{k}}t}+B(\mathbf{k})e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t},$$

und deshalb finde ich

$$\phi(x)= \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \bigg(A(\mathbf{k})e^{i \omega_{\mathbf{k}}t-\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}+B(\mathbf{k})e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t -\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\bigg) \mathrm{d}^3k.$$

Jetzt bin ich in diesem Stadium etwas verwirrt. Ich habe die allgemeine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung gesehen und sie hat einen Faktor von$1/2 \omega_{\mathbf{k}}$Gibt es im Integranden Hinweise, wie ich vorgehen kann?

Ich habe auch gelesen, dass ich zwecks aufgeräumter Notation einstellen würde$\mathbf{k} \rightarrow -\mathbf{k}$im zweiten Term des Integranden, aber würde sich das nicht ändern$\mathrm{d}^3k \rightarrow -\mathrm{d}^3k$wie die Jacobi-Determinante ist$-1$, also sollte es doch sicher ein Unterschied zwischen zwei Termen sein?

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Die Lösung, auf die ich versuche:

$$\phi(x)= \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \frac{1}{2\omega_{\mathbf{k}}} \bigg(A(\mathbf{k})e^{i \omega_{\mathbf{k}}t-\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}+B(\mathbf{k})e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t +\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\bigg) \mathrm{d}^3k.$$