Unendliche Korrelationsfunktionen in der Freifeldtheorie

In einer freien Skalarfeldtheorie garantiert das Wicksche Theorem dies ⟨ ϕ ^ ( X ) ⟩ = 0 Und ⟨ ϕ ^ ( X ) 2 ⟩ = ∞ . Angesichts dessen ϕ ^ ( X ) erzeugt ein Teilchen bei X , diese haben die relativ einfachen Interpretationen

⟨ 0 | Teilchen bei x ⟩ = 0
Und
⟨ Teilchen bei x | Teilchen bei x ⟩ ≡ ⟨ X | X ⟩ = ∞
wobei letzteres der Delta-Funktionsnormalisierung von Positions-Eigenkets in der Einzelteilchen-Quantenmechanik entspricht.

Meine Hauptfrage lautet: Welche Auswirkungen haben diese Berechnungen auf die Behandlung ϕ ^ ( X ) als beobachtbares? Das erste Ergebnis ist relativ unproblematisch: Die Vakuumerwartung eines freien Skalarfeldes ist Null. Die zweite scheint jedoch zu implizieren, dass die Varianz des Feldes unendlich ist. Wie sollen wir das interpretieren? Da die Berechnung für ein Vektorfeld auf die gleiche Weise funktioniert, scheint dies zu implizieren, dass das EM-Feld im Vakuum eine unendliche Varianz aufweist, was (zumindest anfangs) etwas faul erscheint.

Meine Hypothese ist nun, dass die oben genannten Unendlichkeiten verschwinden sollten, wenn Sie ein realistischeres Messszenario in Betracht ziehen, wie das Messen des Durchschnittswerts des Felds in einer kleinen Region. Wo F ( X ) eine Gausssche Spitze am interessierenden Punkt ist, sollte der dieser Messung entsprechende Operator etwa so sein

φ ^ ( X ) = ∫ D 4 X ' F ( X ' ) ϕ ^ ( X ' )
wodurch ein Teilchen in einer Gaußschen Verteilung erzeugt wird, das um den Punkt zentriert ist. Dies wird noch haben ⟨ φ ^ ⟩ = 0 , aber anstatt dass die Varianz divergiert, haben wir
⟨ 0 | φ ^ ( X ) 2 | 0 ⟩ = ⟨ Teilchen in der Gaußschen Verteilung | Teilchen in der Gaußschen Verteilung ⟩ = endlich
da Gaußsche Verteilungen normalisierbar sind. Selbst wenn „Vakuumfluktuationen“ an einem Punkt unendlich sind, waschen sie sich, wie wir erwarten würden, in jeder messbaren Größenordnung auf eine kleine, endliche Größe aus. Ist diese Intuition/Erklärung ungefähr richtig?

Ihre Gleichung für "varphi" ergibt keinen Sinn. Es gibt ein "x" auf der linken Seite, das keine Dummy-Variable ist, aber auf der rechten Seite ist das "x" eine Dummy-Integrationsvariable. Woher kommt die "x"-Abhängigkeit von der LHS? Die LHS ist eine Konstante ... Ich denke, Sie meinen, dass f ( x ) bei einem "y" gipfelt und die LHS eine Funktion von "y" (nicht x) ist.
Danke @cosmas zachos – ich habe QFT aus dem Lehrbuch von Schwartz gelernt, und es sieht so aus, als wäre ich ihm in der Frage des Ein-Teilchen-Zustands zu genau gefolgt. Ich habe hier nicht nachgerechnet, aber meiner Intuition nach könnte das Verhalten von 1/x (im Gegensatz zur Delta-Funktion) bei der Konstruktion eines "realistischen" Operators schwieriger zu handhaben sein.

Antworten (2)

Meine Hypothese ist nun, dass die oben genannten Unendlichkeiten verschwinden sollten, wenn Sie ein realistischeres Messszenario in Betracht ziehen, wie das Messen des Durchschnittswerts des Felds in einer kleinen Region.

Wenn es darum geht, das Quantenfeld als „Durchschnittswert des Feldes in einer kleinen Region“ zu behandeln, sind Ihnen zwei Typen namens H. Epstein und V. Glaser zuvorgekommen.

1973 veröffentlichten sie eine Arbeit mit dem Titel „Die Rolle der Lokalität in der Störungstheorie“ (siehe hier ). In der Arbeit werden Quantenfelder als „operator-valued tempered distributions“ betrachtet, wodurch die störenden Unendlichkeiten in der QFT umgangen werden können.

In letzter Zeit wurden enge Verbindungen zwischen Hopf-Algebra und Epstein/Glasers Ansatz zur QFT entdeckt (siehe hier ). Und es ist seitdem zu einem fruchtbaren Forschungsgebiet als alternativer Ansatz zur Renormalisierung geworden. Wenn Sie wirklich interessiert sind, können Sie das Einführungsbuch "Endliche Quantenelektrodynamik: Der kausale Ansatz" von G. Scharf zu Rate ziehen (siehe hier ).

Wo F ( X ) eine Gausssche Spitze am interessierenden Punkt ist, sollte der dieser Messung entsprechende Operator etwa so sein

φ ^ ( X ) = ∫ D 4 X F ( X ) ϕ ^ ( X )
wodurch ein Teilchen in einer Gaußschen Verteilung erzeugt wird, das um den Punkt zentriert ist. Dies wird noch haben ⟨ φ ^ ⟩ = 0 , aber anstatt dass die Varianz divergiert, haben wir
⟨ 0 | φ ^ ( X ) 2 | 0 ⟩ = ⟨ Teilchen in der Gaußschen Verteilung | Teilchen in der Gaußschen Verteilung ⟩ = endlich
da Gaußsche Verteilungen normalisierbar sind. Selbst wenn „Vakuumfluktuationen“ an einem Punkt unendlich sind, waschen sie sich, wie wir erwarten würden, in jeder messbaren Größenordnung auf eine kleine, endliche Größe aus. Ist diese Intuition/Erklärung ungefähr richtig?

Ich denke, Sie meinen, dass f ( x ) eine Funktion ist, die bei einem anderen Wert (z. B. y) gipfelt. Also sollten wir schreiben F j ( X ) um das klar zu machen. Zum Beispiel vielleicht:

F j ( X ) = A e A ( X − j ) 2
oder so etwas.

In diesem Fall:

⟨ φ ( X ) φ ( X ) ⟩ = ∫ D 4 u ∫ D 4 v F X ( u ) F X ( v ) ⟨ 0 | ϕ ( u ) ϕ ( v ) | 0 ⟩
= ∫ D 4 u F X ( u ) F X ( u )

Oben habe ich angenommen, dass Sie Folgendes verwenden können:

⟨ 0 | ϕ ( u ) ϕ ( v ) | 0 ⟩ = ⟨ u | v ⟩ = δ 4 ( u − v )

Danke für den Hinweis auf den Fehler im OP. Der mit Cosmas Zachos verlinkte Beitrag zeigte an, dass die Vakuumerwartung von Phi (u) Phi (v) eigentlich keine Delta-Funktion ist, also frage ich mich, wie sehr sich das auf das auswirkt, was Sie hier geschrieben haben (und auf die Strategie, die ich oben angewendet habe).
Wenn das vev für phi(u)phi(v) keine Delta-Funktion ist, ändert sich das Ergebnis. Wenn <phi(u)phi(v)> bei (uv) gipfelt und im Vergleich zu f(x) schmal ist und zu eins integriert wird, ändert sich das Ergebnis nicht wesentlich. Aber sonst ändert sich das Ergebnis.
Richtig, mich interessiert hauptsächlich, ob das Integral am Ende konvergiert (was wäre, wenn das innere Produkt ein Delta wäre). Interessanterweise geben sowohl Tong als auch Schwarz an, dass der Feldoperator ein Teilchen in einer Delta-Funktionsverteilung erzeugt (Tong ist diesbezüglich sehr entschieden – siehe Gl. 2.52 und 2.116), was mich wundern lässt, ob der mit Cosmas Zachos verknüpfte Post falsch ist.
Ich glaube nicht, dass der verlinkte Beitrag fehlerhaft ist, ich denke, er hat nur eine andere Normalisierungsoption. Das Integral sieht für mich konvergent aus, für das Beispiel f, das ich gegeben habe, aber es hängt natürlich davon ab, was die Funktion "f" ist.
Tong befürwortet ausdrücklich den in dieser Frage verlinkten KG-Propagator in seinem (2.90). Es stimmt mit den meisten QFT-Texten überein.
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