Eine Frage auf Seite 65 von Weinbergs QFT Band 1

(Antwort eines Studenten, der auch Weinbergs Buch studiert)

Grundsätzlich werde ich wiederholen, was @Robin Ekman in seinem Kommentar gesagt hat, aber mit einigen Klarstellungen.

Erstens spricht Weinberg hier von den Zuständen eines einzelnen massiven Teilchens. Das ist,$\Psi_{k,~\sigma}$Und$\Psi_{k',~\sigma'}$sind zwei mögliche Impuls-Eigenzustände dieses Teilchens, und ersterer wird zufällig als "Standard"-Zustand gewählt. Nun, wie Ekman betont, ist für ein solches Teilchen der 4-Impuls$k^\mu$ist auf das Hyperboloid beschränkt$k^\mu k_\mu = m$mit$k^0>0$im Impulsraum. Daher nur$3$unabhängige Parameter werden benötigt, um alle Eigenwerte des Impulses "aufzuzählen" (dh um das Hyperboloid im mathematischen Jargon vollständig zu parametrisieren). Diese$3$Parameter können bequem als 3-Impuls gewählt werden$\mathbf{k}$, die nur die räumlichen Komponenten von sind$k^\mu$. In diesem Sinne können wir (ohne Mehrdeutigkeit) schreiben

$$\left|{\mathbf{k}',~\sigma'}\right.\rangle := \Psi_{k',~\sigma'},$$ Wo $\mathbf{k}'$ist der räumliche Teil von $k'$.

Als nächstes betrachten wir die Etiketten$k'$Und$\sigma'$zusammen können wir sehen, dass sie dazu bestimmt sind, einen vollständigen Satz von Quantenzahlen zu bilden. Genauer gesagt die Staaten

$$\left\{\left.\left|{\mathbf{k}',~\sigma'}\right.\rangle\right| \mathbf{k}'\in \mathbb{R}^3,\sigma'=\text{all the allowed discrete eigenvalues}\right\}$$ für eine orthonormale Basis des Hilbert-Raums des einzelnen Teilchens. Hier werden die "erlaubten diskreten Eigenwerte" aus der Darstellung der kleinen Gruppe ermittelt. Die Beziehung $$(\Psi_{k',~\sigma'},\Psi_{k,~\sigma})=\delta(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\delta_{\sigma~\sigma'}$$ ist nur (ein Teil) der Orthonormalitätsbedingung in diesem Hilbert-Raum.

Es könnte hier nützlich sein, darauf hinzuweisen, dass das "induzierte Volumenelement" des Hyperboloids unter Parametrisierung steht$\mathbf{k}$, Ist

$$d^3\mathbf{k}/\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2},$$ wie durch die zweite Gleichung auf Seite 67 von Weinbergs Buch gegeben ist.

Auch wenn Weinberg zu masselosen Teilchen übergeht, ändert sich das Hyperboloid in der gegenwärtigen Diskussion zur Nullfläche (dem "zukünftigen Lichtkegel"$k^\mu k_\mu = 0,~ k^0 > 0$), und die Logik ist ähnlich!