Operatoren, Verteilungen und Zustände in QFT

Zunächst werde ich erwähnen, was ich verstehe (bitte richtig, wenn falsch):

  • Zustände sind Vektoren im Hilbert-Raum, um kontinuierliches Spektrum (und damit Verteilungen) einzuschließen, erweitern wir diesen Raum auf den manipulierten Hilbert-Raum, dann sind Verteilungen, genau wie gewöhnliche Zustände, Vektoren (in einigen Darstellungen) in diesem Raum.
  • Operatoren sind nur eine Karte vom Vektorraum zum anderen, dazu gehört auch der manipulierte Hilbert-Raum.
  • Der A ^ , A ^ † (übliche Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren) sind Operatoren im Fock-Raum, die sich aus einer Menge von manipulierten Hilbert-Räumen (jeweils mit unterschiedlicher Anzahl von Teilchen) aufbauen.

Also meine Fragen sind:

  1. Dosis:

    A ^ ( X ) δ ( X → − j → ) = ? δ ( X → − j → ) A ^ ( X )
    Von oben sollten diese Operatoren auf diese Delta-Verteilung reagieren, genauso wie sie auf Zustände reagieren, nicht wahr?

  2. Wenn oben zutrifft, dann kann ich ersetzen A ^ von jedem anderen Betreiber, wie D / D X , dann haben wir eine Ableitung der Delta-Verteilung, und die obige Beziehung ist nicht gültig. Einige sagten mir, dass der vorherige Differentialoperator und A ^ wirken auf „verschiedene Räume“, es gilt also obige Gleichheit A ^ , aber nicht für den Differentialoperator. Allerdings konnten sie mir nicht erklären, warum sie auf unterschiedliche Räume wirken, obwohl beide nur Operatoren sind, (das verstehe ich D / D X bereits in einer bestimmten Darstellung geschrieben ist, aber wir können sie jederzeit ändern.), wird dies noch seltsamer, wenn ich QFT auf einen Freiheitsgrad herunterkoche und einfache harmonische Quantenoszillatoren bekomme, in denen A ^ wird durch den obigen Differentialoperator (den Impuls) definiert.

  3. Allgemein gilt für beliebige Operatoren offensichtlich:

    D D X A ^ B ^ ≠ D D X A ^ ⋅ B ^ + A ^ ⋅ D D X B ^
    Wie können wir also in QFT „Integrieren nach Teilen“ verwenden, um etwas zu schreiben als:
    ∫ D 3 X A ^ † ∇ 2 A ^ = ∫ D 3 X ∇ 2 A ^ † A ^
    (solche Ausdrücke können in nicht-interagierenden Skalarfeldformulierungen gefunden werden), es sei denn, wir betrachten so etwas wie [ A ^ † ( X ) , ∇ X 2 ] = 0 , was keinen Sinn hat, wenn wir das bedenken ∇ 2 Und A ^ † Handeln auf „verschiedenen Räumen“ und dann ∇ 2 kann als "Konstante" verschoben werden (wie mir vorgeschlagen wurde).

Vielen Dank im Voraus für die Klärung dieser Verwirrungen für mich.

1) ja: A ist eine operatorwertige Verteilung (q-Zahl) und δ ist eine Verteilung (c-Zahl): sie pendeln. 2) nein: A Und D / D X wirken auf verschiedene Räume: sie sind nicht austauschbar (auch, P ^ ≠ − ich D / D X , Weil P wirkt auf H Und D / D X wirkt auf L P ). Dass beides A Und D / D X sind Operatoren bedeutet nicht, dass sie auf demselben Raum agieren: Denken Sie an die Identitätsmatrix in 2 und 3 Dimensionen: Sie sind beide Operatoren, aber sie sind nicht austauschbar 3) was sind A Und B , und warum ist das so offensichtlich?
1) Wie ich beim Googeln festgestellt habe, sind c, q-Zahlen alte Dirac-Notationen. Gibt es einen moderneren Strengegrund? und wird es als Axiom betrachtet? 2) Warum kann ich nicht überlegen D / D X Handeln im Hilbert-Raum? reicht Vollständigkeit nicht aus, um quadratisch integrierbar zu sein? Am Ende sollten beide auf Zustandsvektoren reagieren, wenn nicht, was Nabla in der dritten Frage "tun"? 3) A , B willkürliche Operatoren, wenn ich sie auf irgendeine Funktion einwirke, ist diese Beziehung im Allgemeinen offensichtlich falsch, der Fall ist anders A , A † ?

Antworten (1)

  1. Der A , A † handele auf dem Fock-Raum. Wenn Sie eine zufällige schreiben δ ( X → − j → ) ist es weder ein Element eines Fock-Raums noch ein Operator darauf - die Gleichung macht ohne weiteren Kontext keinen Sinn. Jedoch, δ ist nur eine Verteilung auf Funktionen der Raumzeit und selbst nicht Operator-bewertet, so die Bedeutung von A ( X ) δ ( X − j ) ist offensichtlich, dass es gibt A ( j ) wenn über integriert X , unabhängig von der Reihenfolge.

  2. Bei QFT, A ( X ) ist ein Operator auf dem Zustandsraum, aber D D X ist nicht. Zustände sind keine Funktionen der Raumzeit wie in der Wellenmechanik der üblichen Quantenmechanik, sie sind also Funktionale von Feldkonfigurationen δ δ ϕ ist ein Operator auf dem Raum von Zuständen in einer bestimmten Darstellung, aber die Raumzeitableitung ist es nie. Wenn Sie auf den harmonischen Oszillator reduzieren, müssen Sie nicht A ( X ) mehr - du hast es einfach A , und dann ist Ihr Fock-Raum nur das Übliche L 2 ( R 3 ) . Der Fock-Raum von QFT ist das nicht , es sind Ausdrücke in den Feldern , nicht in den Koordinaten der Raumzeit.

  3. Dein "offensichtlich" ist offensichtlich unsinnig. Wenn A , B keine operatorwertigen Funktionen sind , dann macht es keinen Sinn, ihnen eine Raumzeitableitung voranzustellen. Wenn es sich um operatorwertige Funktionen handelt, dann die D D X ist kein Operator der Zustandssprache selbst und die Produktregel ist offensichtlich wahr.

Ihre grundlegende Verwirrung scheint zu sein, worauf die Raumzeitableitung einwirkt. Es wirkt auf Funktionen der Raumzeit , die möglicherweise operatorwertig sind, aber davon weiß es nichts, da es kein Operator für den Zustandsraum selbst ist - QFT ist keine Quantenmechanik, in der Sie Wellenfunktionen haben.

Thx, es scheint etwas klarer zu sein, aber ich bin nicht mit Objekten wie "Operator-Valued Functions" vertraut, über die Sie sprechen. Vielleicht können Sie auf ein Buch mit strenger Einführung in QM / QFT verweisen (aber nicht zu streng) oder vielleicht erklären diese Konzepte ein wenig, weil klassische Bücher diese Themen nicht berühren, was mich nur verwirrt, danke.
@TMS: Eine operatorwertige Funktion ist genau das, was auf der Dose steht: Es ist eine Funktion R N → Ö ( H ) Wo Ö ( H ) ist die Algebra der Operatoren auf Ihrem Zustandsraum. Es gibt nicht viel zu "vertraut sein", es ist genau wie der Zeitentwicklungsoperator U ( T ) die Sie auch als Operatorwertfunktion sehen könnten T ↦ U ( T ) , nur statt T du hast X als Argument.
Operatoren, Verteilungen und Zustände in QFT
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