Kohärente Zustandsbasis des (relativistischen) Teilchen-Fock-Raums

Für ein neutrales skalares bosonisches Massenteilchen$m$, betrachte ich einen Fock-Raum mit orthonormaler Basis von Impuls-Eigenzuständen

$$\begin{equation}\label{Fock-p-states} \left|p_1p_2\cdots p_n\right\rangle=\frac{1}{n!}\sum_\sigma\left|p_{\sigma(1)}\right\rangle\otimes\left|p_{\sigma(2)}\right\rangle\otimes \cdots\otimes\left|p_{\sigma(n)}\right\rangle\,, \end{equation}$$ mit einer bestimmten Anzahl von Teilchen, die von 1 bis läuft$\infty$, zusammen mit dem Vakuumzustand$|0\rangle$; die Summe geht über alle Permutationen$\sigma$der Partikel. Die Normalisierung muss die Form haben$\langle p'|p\rangle=2E\delta(\vec{p}-\vec{p}')$, Wo$E=\sqrt{m^2+\vec{p}^2}$, für$\langle p'|p\rangle$Lorentz-invariant sein.

Ich definiere den Erstellungsoperator$\hat{a}^\dagger(p)$als

$$\begin{equation*} \hat{a}^\dagger(p)|p_1p_2\cdots p_n\rangle=\sqrt{n+1}|p_1p_2\cdots p_np\rangle\,, \end{equation*}$$ und ein kohärenter Zustand$|a\rangle$als Eigenzustand des Vernichtungsoperators$\hat{a}(p)$mit Eigenwert$a(p)$für alles Mögliche$p$: $$\begin{equation*} \hat{a}(p)|a\rangle=a(p)|a\rangle\:\:\:\forall p\,. \end{equation*}$$ Der Satz$\{|a\rangle\}$aller kohärenten Zustände wird also durch das Funktional ($\langle 0|a\rangle\equiv a_0$wird durch Normalisierung fixiert) $$\begin{equation*} a(p)\mapsto|a\rangle=a_0|0\rangle +\frac{a_0}{\sqrt{n!}}\sum_{n=1}^\infty\int\!\!\bar{d}^3\!p_1\cdots\bar{d}^3\!p_n a(p_1)\cdots a(p_n)|p_1\cdots p_n\rangle\,,\hspace{5pt} \int\!\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2<\infty\,, \end{equation*}$$ mit einem kohärenten Zustand für jedes Element der Menge$A$aller betragsquadratintegrierbaren komplexen Funktionen$a(p)$; Und $$\begin{equation}\label{square-integrable} \langle b|a\rangle=b^*_0a_0\exp\!\int\!\!\bar{d}^3\!p\,b^*(p)a(p)\,. \end{equation}$$ Integrationen werden mit dem Lorentz-invarianten Impulselement durchgeführt $$\begin{equation*} \bar{d}^3\!p_i\equiv\frac{d^3\!p_i}{2\sqrt{\vec p_i^2+m^2}} =\frac{d^3\!p_i}{2E_i}\,. \end{equation*}$$

Nun ist die Frage ob$\{|a\rangle\}$ist eine Basis, eine übervollständige Basis des Fock-Raums; genauer gesagt, wenn es eine geeignete Definition der Maßnahme gibt$\mathcal{D}a$einer modulo-quadratintegrierbaren komplexen Funktion$a(p)$ein funktionales Integral geben

$$\begin{equation}\label{identity-alpha} \int_A\!\!\mathcal{D}a|a\rangle\langle a|=\hat{1}\,, \end{equation}$$ mit$|a\rangle$normalisiert zu$1$, dh,$|a_0|^2\exp\int\!\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2=1$. In der Impulsbasis wird dies übersetzt in $$\begin{equation}\label{identity-alpha-p} \delta_{\!mn}\sum_\sigma\prod_i2E_i\delta(\vec{p}_i-\vec{p}'_{\sigma(i)}) =\int\!\!\mathcal{D}a\,e^{-\int\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2}a(p_1)\cdots a(p_n)a^*(p'_1)\cdots a^*(p'_m)\,; \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{identity-alpha-0} 1=\int\!\!\mathcal{D}a\,e^{-\int\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2}\,,\:\:m=n=0\,. \end{equation}$$