Betrachten Sie die holomorphe Darstellung des Pfadintegrals (für einen einzelnen Freiheitsgrad):
Die richtigen Randbedingungen sind von Form
Meine Frage ist: wie sind Und verwandt und warum?
Eine Beobachtung ist, dass wir sie im Pfadintegral als unabhängige Variablen behandeln, sodass sie nicht ad hoc komplex konjugiert werden können.
Eine andere Beobachtung ist, dass wir der Grenze die Realitätsbedingung auferlegen sollten (was analog zu der ist Zustand in der Koordinatendarstellung). Aber wie (und warum) sollten wir uns darauf beziehen Zu die zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen werden ?
UPDATE: Meine ursprüngliche Idee war, dass sie überhaupt nicht verwandt sind . Wir beschränken unsere Beschreibung einfach auf holomorphe Wellenfunktionen Und was analog dazu ist, es auf die Wellenfunktionen der reellen Variablen in der Koordinatenbasis zu beschränken. Aber mein Professor beharrt immer wieder auf etwas anderem (er will aber eigentlich keine überzeugenden Argumente liefern, sondern sagt immer nur "nein").
Die Frage von OP ist im Wesentlichen die Überlegung (im Kontext des holomorphen / kohärenten Zustandspfadintegrals), ob ein Variablenpaar ein komplexes konjugiertes Paar ist oder Wirklich unabhängige Variablen?
TL;DR: Nun, es kommt darauf an.
Notation in dieser Antwort: In dieser Antwort let bezeichnen zwei unabhängige komplexe Zahlen. Lassen bezeichnen das komplexe Konjugat von .
Erinnern Sie sich, dass der kohärente Ket-Zustand ist
Es ist üblich um den kohärenten BH-Zustand zu definieren
zum kohärenten Ket-Zustand (1) durch Einbeziehung einer komplexen Konjugation vgl. zB Art.-Nr. 1. Mit anderen Worten, wir haben die bequeme Regel, dass
Mit dieser Konvention (2) lautet die Vollständigkeitsrelation
Es ist wichtig zu erkennen, dass die kohärenten Zustände eine übervollständige Menge von Zuständen sind
mit nicht orthogonalen Überlappungen. Das Integral des kohärenten Zustandspfads lautet
Wo ist eine reelle Konstante, von der die Aktion (7) aufgrund des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung eigentlich nicht abhängt . Die Hamilton-Funktion
ist die normale/Wick-geordnete Funktion/das Symbol, das dem Quanten-Hamilton-Operator entspricht
Zur Reihenfolge der Operatoren im Pfadintegral siehe zB auch diesen Phys.SE-Beitrag.
Im Standard- Feynman-Pfadintegral gibt es 2 reale Randbedingungen (BCs), typischerweise Dirichlet-BCs
Die Position und der Schwung Operatoren verwandt sind
bzw. Im kohärenten Zustandspfadintegral (6) gibt es 2 komplexe (= 4 reelle) BCs
Mit anderen Worten, wir geben sowohl die Anfangsposition als auch den Anfangsimpuls an und verletzen naiverweise das HUP . Ähnlich für den Endzustand. Dies hängt mit der Übervollständigkeit (5) der kohärenten Zustände zusammen.
Die übervollständigen BCs (12) bedeuten, dass es typischerweise keinen zugrunde liegenden physikalischen klassischen Pfad mit gibt
das erfüllt [neben den Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen
dh die Hamilton-Gleichungen] alle BCs (12) gleichzeitig, es sei denn, wir stimmen die BCs (12) entsprechend ab, vgl. zB Art.-Nr. 1. Die genaue Abstimmung hängt von der vorliegenden Theorie ab.
Trotzdem finden wir im Prinzip immer einen klassischen Weg in doppelt so vielen Variablen, die Gl. (12) und (14) aber nicht unbedingt Gl. (13). Wir können dann die komplexe Funktionstheorie verwenden, um zu verformen die Integrationskontur im kohärenten Zustandspfadintegral, um nur über Quantenfluktuationen zu integrieren
und auf diese Weise immer noch eine WKB/stationäre Phasennäherung um einen klassischen Pfad herum erreichen .
Verweise:
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Weitere Informationen zu komplexer Konjugation und Unabhängigkeit von Variablen finden Sie beispielsweise auch in diesem Phys.SE-Beitrag.
Anmerkung: Einige Autoren nehmen keine komplexe Konjugation in die Definition (2) auf, vgl. zB Wikipedia !
Mit der angezeigten Reihenfolge funktionieren die Formeln in dieser Antwort auch für das Integral des Grassmann-ungerade/fermionischen kohärenten Zustandspfads, außer man sollte den Normalisierungsfaktor weglassen in Gl. (4) & (6).
Die Deformation der Integrationskontur lässt sich am einfachsten mit Orts- und Impulsvariablen begründen
das dürfte komplex sein.
Nogueira
QMechaniker