Ableitung des Wegintegrals für periodische Randbedingungen

Question

Ableitung des Wegintegrals für periodische Randbedingungen

Physik
Wegintegral
Quantenmechanik
Partitionsfunktion
Randbedingungen

David

Ich denke über Pfadintegrale mit dem euklidischen Zeitformalismus nach, wo ich eine Partitionsfunktion habe $Z=\operatorname{Tr} e^{-\beta \hat H}$ . Ich bin an folgende Herleitung des Wegintegrals gewöhnt:

\begin{aligned} Z & = \int_{Ω} ⟨ X_{0} | e^{- β \hat{H}} | X_{0} ⟩ D X_{0} \\ = ∭_{Ω^{N}} D X_{0} \dots D X_{N - 1} ⟨ X_{0} | e^{- Δ τ \hat{H}} | X_{1} ⟩ ⟨ X_{1} | (\dots) | X_{N - 1} ⟩ ⟨ X_{N - 1} | e^{- Δ τ \hat{H}} | X_{0} ⟩ \\ = ⋮ \\ = \int [D X] e^{- \int_{0}^{β} L D τ} \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\int_{\Omega} \langle x_0|e^{-\beta \hat H}|x_0\rangle dx_0\\ &=\iiint_{\Omega^N} dx_0\cdots dx_{N-1} \langle x_0|e^{-\Delta\tau\hat H}|x_1\rangle\langle x_1| (\ldots) |x_{N-1}\rangle\langle x_{N-1}|e^{-\Delta \tau \hat H}|x_0\rangle \\ &=\vdots\\ &=\int [Dx] e^{-\int_0^\beta Ld\tau} \\ \end{align*}$

Dies beruht auf der wiederholten Anwendung der Identität ${\bf 1}=\int_{\Omega}|x\rangle\langle x|dx$ ( $\Omega$ das fragliche Volumen ist), und die Spur erzwingt die Periodizität in der euklidischen Zeit $x(\tau)=x(0)$ . Meine Frage ist: Wie kann ich diese Ableitung speichern, wenn ich eine periodische Randbedingung auf den Raum setze?

Zur Konkretheit betrachte ich ein Teilchen in einer Kiste der Größe $2\pi$ . Wenn die Box Dirichlet-Randbedingungen hat, ist die eigentliche Basis der Eigenzustände $\psi_n^d(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(\frac{n\theta}{2})$ , die Orthogonalitätsrelation

\int_{0}^{2 π} ψ_{N}^{D} (θ)^{*} ψ_{M}^{D} (θ) D θ = δ_{N M},

$\int_0^{2\pi}\psi_n^d (\theta)^*\psi_m^d(\theta)d\theta=\delta_{nm},$ und die Vollständigkeitsrelation

\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{π} Sünde (\frac{N θ}{2}) Sünde (\frac{N θ^{'}}{2}) = δ (θ - θ^{'}) .

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\pi}\sin(\frac{n \theta}{2})\sin(\frac{n \theta'}{2})=\delta(\theta-\theta').$ Jedes Mal, wenn wir die Identität einfügen oder die Spur nehmen, verwenden wir wirklich diese Auflösung. Wir sollten die folgende Partitionsfunktion erhalten, bei der Pfade eingeschränkt sind

θ (τ) \in [0, 2 π]

$\theta(\tau)\in [0,2\pi]$ :

\begin{aligned} Z & = \sum_{N = 1}^{\infty} e^{- β \frac{ℏ^{2}}{2 M} {(\frac{N}{2})}^{2}} \\ = \int [D θ] e^{- \int_{0}^{β} L D τ} \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\sum_{n=1}^\infty e^{-\beta \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{n}{2}\right)^2}\\ &=\int [D\theta] e^{-\int_0^\beta Ld\tau} \end{align*}$

Wenn wir periodische Randbedingungen haben, haben wir $\psi^p_k(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ik\theta}$ für jede ganze Zahl $k$ , und Vollständigkeitsbeziehung

\sum_{k \in Z} \frac{1}{2 π} e^{ich k (θ - θ^{'})} = δ (θ - θ^{'}) .

$\sum_{k\in\mathbb{Z}} \frac{1}{2\pi}e^{ik(\theta-\theta')}=\delta(\theta-\theta').$ Wir sollten das folgende Pfadintegral erhalten, das eine Summe über Windungszahlen enthält und zulässt

θ (τ)

$\theta(\tau)$ aus der Region herauszutreten

[0, 2 π]

$[0,2\pi]$ .

\begin{aligned} Z & = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} 2 e^{- β \frac{ℏ^{2}}{2 M} k^{2}} \\ = \int [D θ] e^{- \int_{0}^{β} L D τ} \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=1+\sum_{k=1}^\infty 2e^{-\beta \frac{\hbar^2}{2m}k^2}\\ &=\int [D\theta] e^{-\int_0^\beta Ld\tau} \end{align*}$

Wie kann ich das im zweiten Fall ableiten? Es scheint, als müsste der Schlüssel in den beiden unterschiedlichen Auflösungen der Identität liegen.

Ich habe kein Problem mit der Intuition, nur mit der Mathematik, die Identität mit diesen zwei unterschiedlichen Randbedingungen aufzulösen.

Sunyam

Kleinerts Buch enthält Kapitel 6, das Pfadintegralausdrücken für Propagatoren von Teilchen gewidmet ist, die in Räumen mit topologischen Beschränkungen leben.

David

@Sunyam danke, es sieht so aus, als ob die genaue Ableitung, nach der ich greife, dort angegeben ist!

Quillo

Siehe auch : Physics.stackexchange.com/q/693806/226902Physics.StackExchange.com/q/729770/226902Physics.StackExchange.com/q/220790/226902

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Ableitung des Wegintegrals für periodische Randbedingungen

Kleinerts Buch enthält Kapitel 6, das Pfadintegralausdrücken für Propagatoren von Teilchen gewidmet ist, die in Räumen mit topologischen Beschränkungen leben.
@Sunyam danke, es sieht so aus, als ob die genaue Ableitung, nach der ich greife, dort angegeben ist!
Siehe auch : Physics.stackexchange.com/q/693806/226902Physics.StackExchange.com/q/729770/226902Physics.StackExchange.com/q/220790/226902

David · Answer 1

Wie Sunyam in dem Kommentar, p. 578 von Kleinert „Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets“ behandelt die Ableitung mit im Grunde derselben Terminologie, die ich verwende. Der Schlüssel liegt in der Tat in den unterschiedlichen Schreibweisen $|k\rangle$ .

Periodische Randbedingungen.

Bezeichnen $\Omega=[0,2\pi]$ . Wir haben einen allgemeinen Hamiltonian $H(-i\partial_x,\hat{x})$ . Wir wollen über folgende Energie-Eigenzustände (= Impuls-Eigenzustände) summieren:

| k ⟩ = \int \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{ich k X} | X ⟩ D X

$|k\rangle=\int\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}|x\rangle dx$

Wir können immer noch mit der Auswertung beginnen $Z$ hat eine Summe über Ortseigenzustände:

\begin{aligned} Z & = \int D X_{0} ⟨ X_{0} | e^{- β H} | X_{0} ⟩ \\ = \int D X_{0} \dots D X_{N - 1} ⟨ X_{0} | e^{- Δ τ H} | X_{1} ⟩ ⟨ X_{1} | \dots | X_{N - 1} ⟩ ⟨ X_{N - 1} | e^{- Δ τ H} | X_{0} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\int dx_0\langle x_0 | e^{-\beta H}|x_0\rangle\\ &=\int dx_0\cdots dx_{N-1}\langle x_0 | e^{-\Delta \tau H}|x_1\rangle\langle x_1|\cdots | x_{N-1}\rangle\langle x_{N-1}|e^{-\Delta \tau H}|x_0\rangle \end{align*}$

Der Schlüssel liegt laut Kleinert darin, das innere Produkt auf clevere Weise zu bewerten, indem man Folgendes feststellt:

\begin{aligned} ⟨ X_{N - 1} | X_{N} ⟩ & = \sum_{k} ⟨ X_{N - 1} | k ⟩ ⟨ k | X_{N} ⟩ \\ = \sum_{k} \frac{1}{2 π} e^{ich k (X_{N} - X_{N - 1})} \\ = \sum_{ℓ} δ (X_{N} - X_{N - 1} + 2 π ℓ) \\ = \sum_{ℓ_{N}} \int \frac{D P_{N}}{2 π} \exp (ich P_{N} (X_{N} - X_{N - 1} + 2 π ℓ_{N})) \end{aligned}

$\begin{align*} \langle x_{n-1}|x_n\rangle&=\sum_k\langle x_{n-1}|k\rangle\langle k | x_n\rangle \\ &=\sum_k \frac{1}{2\pi}e^{ik(x_n-x_{n-1})}\\ &=\sum_\ell \delta(x_n-x_{n-1}+2\pi\ell)\\ &=\sum_{\ell_n} \int\frac{dp_n}{2\pi}\exp\left( i p_n(x_n-x_{n-1}+2\pi\ell_n) \right) \end{align*}$

An dieser Stelle haben wir also:

\begin{aligned} Z & = \sum_{ℓ_{0} \dots ℓ_{N - 1}} \int_{0}^{2 π} D X_{0} \dots D X_{N - 1} \int_{R} \frac{D P_{0} \dots D P_{N - 1}}{(2 π)^{N}} \exp \sum_{N} (ich P_{N} (X_{N} - X_{N - 1} + 2 π ℓ_{N}) - Δ τ H (P_{N}, X_{N})) \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\sum_{\ell_0\cdots\ell_{N-1}}\int_0^{2\pi} dx_0\cdots dx_{N-1} \int_\mathbb{R}\frac{dp_0\cdots dp_{N-1}}{(2\pi)^N}\exp\sum_n\left( i p_n(x_n-x_{n-1}+2\pi\ell_n)-\Delta\tau H(p_n,x_n)\right) \end{align*}$

Die folgende Manipulation kann die Summierung loswerden $\ell$ :

\int_{0}^{2 π} D X \sum_{ℓ} F (X + 2 π ℓ) = \int_{- \infty}^{\infty} D X F (X)

$\int_0^{2\pi} dx\sum_\ell f(x+2\pi\ell)=\int_{-\infty}^\infty dx f(x)$

Wir machen diesen Trick weiter $x_1$ , Dann $x_2$ , usw. bis zum Ende der Kette.

\begin{aligned} Z & = \sum_{ℓ_{0}} \int_{0}^{2 π} D X_{0} \int_{R^{2 N - 1}} \frac{D X_{1} \dots D X_{N - 1} D P_{0} \dots D P_{N - 1}}{(2 π)^{N}} \\ \cdot \exp (\sum_{N = 1}^{N - 1} (ich P_{N} (X_{N} - X_{N - 1}) - Δ τ H (P_{N}, X_{N})) + ich P_{0} (X_{0} - X_{N - 1} + 2 π ℓ) - Δ τ H (P_{0}, X_{0})) \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\sum_{\ell_0}\int_0^{2\pi} dx_0 \int_\mathbb{R^{2N-1}}\frac{dx_1\cdots dx_{N-1} dp_0\cdots dp_{N-1}}{(2\pi)^N}\\ &\cdot\exp\left(\sum_{n=1}^{N-1} (i p_n(x_n-x_{n-1})-\Delta\tau H(p_n,x_n))+i p_0(x_0-x_{N-1}+2\pi\ell)-\Delta\tau H(p_0,x_0)\right) \end{align*}$

Dies kann nicht in das Formular eingefügt werden $\sum_\ell f(x_0+2\pi\ell)$ (wegen des Faktors von $\exp-ip_1x_0$ ), und so bleibt uns eine Summe über Wicklungszahlen und unser Phasenraumpfadintegral:

\begin{aligned} Z & = \sum_{ℓ} \int_{X (0) = X (τ) + 2 π ℓ} D [X] D [P] \exp (\int_{0}^{β} D τ (ich P \partial_{τ} X - H (P, X))) \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\sum_{\ell}\int_{x(0)=x(\tau)+2\pi\ell} \mathcal{D}[x]\mathcal{D}[p]\exp(\int_0^\beta d\tau\left( i p\partial_\tau x-H(p,x)\right)) \end{align*}$

Du könntest auch einstecken $H=p^2/(2m)+V(x)$ und bewerten die $p$ Integrale, um die Version ohne Phasenraum zu finden:

\begin{aligned} Z & = \sum_{ℓ} C \int_{X (0) = X (τ) + 2 π ℓ} D [X] \exp (\int_{0}^{β} D τ (- \frac{M}{2} {\dot{X}}^{2} - v (X)) \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\sum_{\ell}C\int_{x(0)=x(\tau)+2\pi\ell} \mathcal{D}[x]\exp(\int_0^\beta d\tau\left( - \frac{m}{2}\dot{x}^2-V(x)\right) \end{align*}$

(Wo $C=\sqrt{\frac{m}{2\pi\Delta\tau}}^N$ ist von der Auswertung der $p$ Integrale)

Ableitung des Wegintegrals für periodische Randbedingungen

David

Sunyam

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David

Periodische Randbedingungen.

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