Bedingungen zur Bestimmung der Greenschen Funktion für Streuphänomene

„Mein Problem hier ist folgendes: Um G zu finden, brauchen wir Randbedingungen des Problems. Ich verstehe jedoch nicht, welche Randbedingungen wir hier aufstellen sollen.

Um also Streuungsprobleme mit solchen Green-Funktionen zu lösen, was sind die Randbedingungen, die wir auferlegen müssen, um die Green-Funktion zu berechnen?

Warum willst du eine Randbedingung setzen? Hier hat Ihr Problem eindeutig keine Grenzen , da Sie einige Teilchen sehr weit entfernt von dem Ort erkennen können, an dem die Wechselwirkung mit dem Potential stattfindet. Sie benötigen jedoch sicherlich einen Anfangszustand, der von bereitgestellt wird$\psi^0_\textbf{k}(\textbf{r})$.

Ich habe das Gefühl (sagen Sie mir, wenn ich falsch liege), dass sich das, was Sie mit "Randbedingung" meinen , tatsächlich darauf bezieht, an welcher Art von Lösung Sie interessiert sind. Wie Sie betont haben, die Gleichung

$$(\nabla^2+k^2)G(\textbf{r},\textbf{r}')=-4\pi\delta(\textbf{r}-\textbf{r}')$$ hat zwei Lösungen namens verzögert $G^+$und fortgeschritten $G^-$Grüne Funktionen. Dies führt zu zwei verschiedenen Arten von Lösungen für Ihre Differentialgleichung:

• Die kausale Lösung:

  $$\psi_\textbf{k}(\textbf{r})=\psi^{\text{(in)}}_\textbf{k}(\textbf{r})-\frac{1}{4\pi}\int\mathrm{d}\textbf{r}'\,G^+(\textbf{r}-\textbf{r}')\,U(\textbf{r}')\,\psi_\textbf{k}(\textbf{r}')$$ Wo$\psi^{\text{(in)}}_\textbf{k}\equiv \psi^{\text{0}}_\textbf{k}$wird als eingehendes Feld interpretiert , dh das asymptotische Feld, das Sie erhalten, wenn Sie den Grenzwert nehmen$t\rightarrow -\infty$und die sich frei mit der Zeit entwickelt. Dies ist normalerweise die Lösung, an der die Menschen interessiert sind, da sie das Streuereignis als Ergebnis der Wechselwirkung mit dem Potenzial beschreibt.

• Die antikausale Lösung:

  $$\psi_\textbf{k}(\textbf{r})=\psi^{\text{(out)}}_\textbf{k}(\textbf{r})-\frac{1}{4\pi}\int\mathrm{d}\textbf{r}'\,G^-(\textbf{r}-\textbf{r}')\,U(\textbf{r}')\,\psi_\textbf{k}(\textbf{r}')$$ Wo$\psi^{\text{(out)}}_\textbf{k}$wird als ausgehendes Feld interpretiert , dh das asymptotische Feld, das man erhält, wenn man den Grenzwert nimmt$t\rightarrow +\infty$und die sich mit der Zeit aus der Vergangenheit frei entwickelt hatten.

In beiden Fällen sind die Grenzen$t\rightarrow\pm\infty$ermöglichen es Ihnen, die integralen Terme loszuwerden und zu unterschiedlichen Interpretationen der Lösungen zu führen.

• Möglicherweise interessieren Sie sich auch nur für das Strahlungsfeld, das wie folgt definiert ist: $$\psi^{\text{(rad)}}_\textbf{k}(\textbf{r})=\psi^{\text{(out)}}_\textbf{k}(\textbf{r})-\psi^{\text{(in)}}_\textbf{k}(\textbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int\mathrm{d}\textbf{r}'\,\mathcal{G}(\textbf{r}-\textbf{r}')\,U(\textbf{r}')\,\psi_\textbf{k}(\textbf{r}')$$ mit $$\mathcal{G}(\textbf{r})=G^+(\textbf{r})-G^-(\textbf{r})$$

„Ich habe diese Methode in einigen Notizen erwähnt, und so wie die Dinge geschrieben stehen, scheint die einzige auferlegte Bedingung diese zu sein$G(\textbf{r},\textbf{r}')=G(\textbf{r}-\textbf{r}')$."

Es scheint mir, dass dies nicht direkt mit Ihrem ursprünglichen Problem zusammenhängt. Man kann selbstständig zeigen, dass das Eigentum

$$G(\textbf{r},\textbf{r}')=G(\textbf{r}-\textbf{r}')$$ ist nur eine Folge davon, dass die Dispersionsrelation $\langle\textbf{k}| H|\textbf{k}\rangle =E(\textbf{k})$hängt nur von der Größe des Impulses ab, dh $E(\textbf{k})\equiv E(k)$, was eine Folge der Tatsache ist, dass Ihr System unter Übersetzung invariant ist.