Lippmann-Schwinger-Gleichung mit ausgehenden Lösungen

Eine Möglichkeit, es zu betrachten, ist einfach ein mathematischer Trick, der die Randbedingungen der Schrödinger-Gleichung codiert. Eine alternative und nur geringfügig intuitivere Ansicht ist die folgende. Um nur ausgehende Lösungen zu erhalten, muss man unbedingt davon ausgehen, dass das Streupotential langsam adiabatisch eingeschaltet wird. Formal kann man dies erreichen, indem man das Streupotential als Funktion der Zeit der Form behandelt$V(r,t) = V(r)e^{\epsilon t}$, so dass$V\to 0$für großes Negativ$t$. Wenn Sie die Algebra durcharbeiten, stellen Sie fest, dass genau der gleiche Effekt erzielt wird, wenn Sie einen kleinen imaginären Term hinzufügen$i\epsilon$stattdessen zu den Energien. Dies wird in Landau & Lifshitz QM , Abschnitt 43, diskutiert und auch irgendwo in den ausführlichen Abschnitten zur Streutheorie im selben Text erwähnt. Wie Sie wahrscheinlich bereits wissen, verschiebt dieses Verfahren den Pol der Green-Funktion in die richtige Richtung, so dass Sie die ausgehende Kugelwelle nach Konturintegration in der komplexen Impulsebene aufnehmen.

Solange die Wechselwirkung sehr langsam eingeschaltet wird, sagt Ihnen das adiabatische Theorem , dass das System im selben Eigenzustand bleibt, obwohl sich die Form dieses Eigenzustands selbst ändert, wenn der Hamilton-Operator geändert wird. Es ist nicht so schwer zu glauben, dass die adiabatische Verformung einer kohärenten ebenen Welle im Impulszustand ist$\mathbf{k}$ist wieder eine Welle in Schwung$\mathbf{k}$, aber jetzt mit einer kleinen ausgehenden Kugelwellenkomponente. Wenn Sie stattdessen das Streupotential abrupt einschalten, wird der plötzliche "Ruck", den dies dem System gibt, Moden in allen möglichen Momenten anregen. Die Interferenz zwischen diesen unterschiedlichen Moden kann im Allgemeinen sowohl zu ankommenden als auch zu abgehenden sphärischen Wellenkomponenten führen.

Streng genommen erfordert die Adiabatizität, dass die Wechselwirkung langsamer eingeschaltet wird als jede inverse Frequenzdifferenz. Zum Streuen in großen Mengen$L^3$, ist dies im Wesentlichen unmöglich, da die Frequenzunterschiede proportional zu sind$1/L^2$. Solange die Wechselwirkung jedoch nicht unendlich schnell eingeschaltet wird (was natürlich auch unmöglich ist), erwartet man, dass sich die anfänglichen Transienten schließlich auf Null mitteln und nur die ausgehende Kugelwelle übrig bleibt. Und genau das passiert natürlich auch im Experiment.

Erstens, so wie ich die Lippman-Schwinger-Gleichung verstehe, gibt es tatsächlich zwei verschiedene Fälle, die mit bezeichnet werden$\pm$in der Standardform der Gleichung:

Auf diese Weise sprechen wir nicht nur über die ausgehende Lösung (die$+$Gleichungen), sondern auch eine eingehende Lösung (die$-$). Außerdem die$i\epsilon$Term in der Lippman-Schwinger-Gleichung existiert, bevor Sie die Green-Funktion einführen (Sie könnten die Green-Funktion beim Lösen der Gleichung einführen).

Wie auf der Wikipedia-Seite ( hier ) beschrieben, wird der komplexe Begriff, auf den Sie sich beziehen, einfach eingeführt, um zu vermeiden, dass der Ausdruck explodiert$(E-H_0)\rightarrow 0$. Sie können dann auf die übliche Weise Konturen um die Stange herum integrieren. Vielleicht irre ich mich (und ich würde das gerne tiefer verstehen), aber ich denke nicht an die$i\epsilon$Begriff als physikalisch interessant; Stattdessen sehe ich es eher als einen mathematischen Trick, mit dem wir es lösen können.