Wie wird die Lippmann-Schwinger-Gleichung hergeleitet?

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Wie wird die Lippmann-Schwinger-Gleichung hergeleitet?

Physik
Betreiber
Streuung
Greens-Funktionen
Quantenmechanik

Minethlos

Ich würde gerne wissen, wie die Lippmann-Schwinger-Gleichung (LSE) im Operatorformalismus abgeleitet wird und auf welchen Annahmen sie basiert. Ich habe das Ballentine-Buch konsultiert, wie in diesem Phys.SE-Beitrag empfohlen , aber ich verstehe es immer noch nicht.

Es besagt, dass, wenn LSE gilt:

\begin{matrix} (1) & | ψ ⟩ = | ϕ ⟩ + G_{0} (E^{+}) v | ψ ⟩ \end{matrix}

$|\psi\rangle = |\phi\rangle + G_0(E^+) V|\psi\rangle \tag{1}$

Dann $H|\psi\rangle = E|\psi\rangle$ oder alternativ

\begin{matrix} (2) & v | ψ ⟩ = (E - H_{0}) | ψ ⟩ \end{matrix}

$V|\psi\rangle = (E-H_0)|\psi\rangle \tag{2}$

Hier $H_0 |\phi\rangle = E |\phi\rangle$ Und $G_0(E^+)$ bedeutet eine Grenze $G_0(E+i\eta)$ als $\eta \to 0$ .

Nun, es ist leicht, das zu überprüfen $(1) \Rightarrow (2)$ . Aber wie es im Buch heißt, $(1)$ enthält mehr Informationen und ich denke, dass $(2) \nRightarrow (1)$ . Wie wird LSE also wirklich abgeleitet? Wenn wir ein Problem betrachten $(2)$ dann offensichtlich $|\psi\rangle = G_0(E^+) V|\psi\rangle$ ist auch eine Lösung. Warum brauchen wir $|\phi\rangle$ ?

Und schließlich, wie ist $|\psi\rangle$ definiert? Wenn es definiert ist durch $(2)$ warum hat es dann die gleichen Eigenwerte wie $|\phi\rangle$ hat für $H_0$ ? Warum ist es überhaupt wahr, dass das Spektralproblem $(2)$ hat eine lösung?

Antworten (1)

Wie wird die Lippmann-Schwinger-Gleichung hergeleitet?

Dolun · Answer 1

Meistens kann ein ( elastisches ) Streuproblem reduziert werden in :

Eine ankommende Anfangswelle / Quantenzustand $|\phi\rangle$ , die meistens als ebene Welle / freier Zustand angesehen wird $|\textbf{k}\rangle$ Eigenzustand des freien Hamiltonian :
${\hat{H}}_{0} | ϕ ⟩ = E | ϕ ⟩ mit {\hat{H}}_{0} = - \frac{Δ}{2}$ $\hat{\mathcal{H}}_0\,|\phi\rangle=E\,|\phi\rangle\quad\text{with}\quad\hat{\mathcal{H}}_0=-\frac{\Delta}{2}$
Ein Streupotential $\hat{V}(\hat{\textbf{x}})$ , die a priori alles sein kann (kugelsymmetrisch, ungeordnet usw.).

Offensichtlich in diesem Fall $|\phi\rangle$ kein Eigenzustand des vollen Hamiltonian mehr ist:

\hat{H} = {\hat{H}}_{0} + \hat{v}

$\hat{\mathcal{H}}=\hat{\mathcal{H}}_0+\hat{V}$

Was Sie natürlich wollen, ist, einen solchen Eigenzustand zu finden, den Sie notiert haben $|\psi\rangle$ , so dass :

\hat{H} | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ dh (E - {\hat{H}}_{0}) | ψ ⟩ = \hat{v} | ψ ⟩

$\hat{\mathcal{H}}\,|\psi\rangle=E\,|\psi\rangle\quad\text{i.e.}\quad (E-\hat{\mathcal{H}}_0)|\psi\rangle=\hat{V}|\psi\rangle$ Eine solche Gleichung ist nichts anderes als eine Differentialgleichung. Um sie zu lösen, müssen Sie zuerst die homogene Lösung finden, dh ohne das zweite Glied

\hat{V} | ψ ⟩

$\hat{V}|\psi\rangle$ . Es ist leicht zu erkennen, dass die homogene Lösung

| ψ ⟩_{h}

$|\psi\rangle_{h}$ Ist

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ .

Die besondere Lösung $|\psi\rangle_p$ kann gefunden werden, indem man ein wenig mit den Formeln spielt. Per Definition der freien (retardierten) Green-Funktion

{\hat{G}}_{0} (ϵ) = \frac{1}{ϵ - {\hat{H}}_{0} + ich η}

$\hat{G}_0(\epsilon)=\frac{1}{\epsilon-\hat{\mathcal{H}}_0+\mathrm{i}\eta}$ du hast :

lim_{η \to 0} {\hat{G}}_{0}^{- 1} (ϵ) = E - {\hat{H}}_{0} = {\hat{G}}_{0}^{- 1} (E) mit E = lim_{η \to 0} ϵ + ich η

$\lim_{\eta\rightarrow 0}\hat{G}_0^{-1}(\epsilon)=E-\hat{\mathcal{H}}_0=\hat{G}_0^{-1}(E)\quad\text{with}\quad E=\lim_{\eta\rightarrow 0}\epsilon+\mathrm{i}\eta$ Dann folgt

{\hat{G}}_{0}^{- 1} (E) | ψ ⟩ = \hat{v} | ψ ⟩ dh | ψ ⟩ = {\hat{G}}_{0} (E) \hat{v} | ψ ⟩ = | ψ ⟩_{P}

$\hat{G}_0^{-1}(E)|\psi\rangle=\hat{V}|\psi\rangle\quad\text{i.e.}\quad|\psi\rangle=\hat{G}_0(E)\hat{V}|\psi\rangle=|\psi\rangle_p$

Wie immer ist die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung die Summe der homogenen und partikulären Lösungen :

| ψ ⟩ = | ψ ⟩_{H} + | ψ ⟩_{P} = | ϕ ⟩ + {\hat{G}}_{0} (E) \hat{v} | ψ ⟩

$|\psi\rangle=|\psi\rangle_h+|\psi\rangle_p=|\phi\rangle+\hat{G}_0(E)\hat{V}|\psi\rangle$ das ist die sogenannte Lippmann-Schwinger-Gleichung.

Warum also $| \psi \rangle$ Und $| \phi \rangle$ haben die gleichen Eigenenergien $E$ ?
Denn eine solche Herleitung gilt nur für die elastische Streuung, also die Energie $E$ wird durch den gesamten Prozess konserviert.
@dolun: Ausgezeichnete Antwort. Aber wenn man vergleicht $(E-H_0)|\psi\rangle = V|\psi\rangle$ im Ortsraum mit der Form einer inhomogenen ODE, dann stimmen sie eigentlich nicht überein.

Wie wird die Lippmann-Schwinger-Gleichung hergeleitet?

Minethlos

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